Fiche premium — Racine carrée
Carrés parfaits • définition • encadrements • comparaisons • applications géométriques.
1) Définition essentielle
Pour \(a \ge 0\), la racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est le
nombre positif tel que :
\[
(\sqrt{a})^2 = a
\]
👉 \(\sqrt{a}\) n’existe que si \(a \ge 0\) (en nombres réels).
À ne jamais oublier :
\[
\sqrt{49}=7 \quad \text{(et pas } -7\text{)}
\]
2) Carrés parfaits (à connaître)
\[
\begin{aligned}
1^2&=1 \quad &2^2&=4 \quad &3^2&=9 \quad &4^2&=16 \\
5^2&=25 \quad &6^2&=36 \quad &7^2&=49 \quad &8^2&=64 \\
9^2&=81 \quad &10^2&=100
\end{aligned}
\]
Bonus utile : \(11^2=121\), \(12^2=144\), \(13^2=169\).
3) Calculs directs
- \(\sqrt{0}=0\)
- \(\sqrt{1}=1\)
- \(\sqrt{9}=3\)
- \(\sqrt{16}=4\)
- \(\sqrt{81}=9\)
Important :
\[
\sqrt{a^2} = |a|
\]
Exemple : \(\sqrt{(-5)^2}=5\).
4) Encadrer une racine
Si \(n^2 \le a < (n+1)^2\), alors :
\[
n \le \sqrt{a} < n+1
\]
Exemples :
- \(49 \le 50 < 64 \Rightarrow 7 \le \sqrt{50} < 8\)
- \(100 \le 120 < 121 \Rightarrow 10 \le \sqrt{120} < 11\)
Méthode contrôle :
- Je cherche le carré parfait juste en dessous.
- Je cherche le suivant juste au-dessus.
- Je conclus avec les racines.
5) Comparer des racines
- Pour \(a,b \ge 0\) : \[ \sqrt{a} \le \sqrt{b} \iff a \le b \]
- Pour comparer \(\sqrt{a}\) à un entier \(n\), on compare \(a\) à \(n^2\).
Exemples :
- \(\sqrt{45} < \sqrt{50}\) car \(45<50\).
- \(\sqrt{70} > 8\) car \(70>64\).
6) Applications géométriques
- Diagonale d’un carré de côté \(a\) : \[ d = a\sqrt{2} \]
- Triangle rectangle (Pythagore) : \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Exemples :
- Carré de côté 5 : diagonale \(=5\sqrt{2}\).
- Triangle rectangle (6 ; 8) : hypoténuse \(=\sqrt{36+64}=10\).
7) Pièges classiques
- \(\sqrt{a}\) est toujours positif ou nul.
- \(\sqrt{-9}\) n’existe pas en réels.
- \(\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}\).
- Ne jamais encadrer directement la racine sans passer par les carrés.
- Ne pas confondre \(a^2\) et \(\sqrt{a}\).
✅ À retenir absolument
3 réflexes gagnants :
(1) connaître les carrés parfaits,
(2) encadrer avec des carrés,
(3) comparer en comparant les nombres sous la racine.