Racine carrée

Carrés parfaits • racines carrées • encadrements • comparaisons • applications géométriques (programme de 4e).

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Cours premium — Racine carrée
Carrés parfaits • racines carrées • encadrements • comparaisons • applications géométriques.
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Objectifs
  • Reconnaître et utiliser les carrés parfaits.
  • Comprendre la définition de \(\sqrt{a}\) (et ses conditions).
  • Simplifier les racines dans les cas simples (ex : \(\sqrt{49}=7\)).
  • Encadrer \(\sqrt{a}\) entre deux entiers.
  • Comparer des racines sans calculatrice.
  • Appliquer aux problèmes géométriques (diagonale, distances, Pythagore).
1) Carrés parfaits : la base indispensable
Un carré parfait est un nombre qui s’écrit \(n^2\) avec \(n\) entier. Exemple : \(25=5^2\), \(49=7^2\), \(100=10^2\).
Table express (à apprendre)
\[ 1^2=1,\ 2^2=4,\ 3^2=9,\ 4^2=16,\ 5^2=25,\ 6^2=36,\ 7^2=49,\ 8^2=64,\ 9^2=81,\ 10^2=100 \]
Bonus utile : \(11^2=121,\ 12^2=144,\ 13^2=169,\ 14^2=196,\ 15^2=225\).
Exemples
  • \(64\) est un carré parfait car \(64=8^2\).
  • \(50\) n’est pas un carré parfait car aucun entier \(n\) ne vérifie \(n^2=50\).
2) Définition de \(\sqrt{a}\)
Pour \(a \ge 0\), la racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est le nombre positif tel que : \[ (\sqrt{a})^2 = a \]
Condition
\(\sqrt{a}\) existe (en nombres réels) seulement si \(a \ge 0\).
Exemple : \(\sqrt{-9}\) n’existe pas dans \(\mathbb{R}\).
Attention au signe
\(\sqrt{a}\) est toujours positive ou nulle.
Exemple : \(\sqrt{49}=7\) (et pas \(-7\)).
Exemples immédiats
  • \(\sqrt{0}=0\)
  • \(\sqrt{1}=1\)
  • \(\sqrt{9}=3\)
  • \(\sqrt{81}=9\)
3) Propriétés utiles (à maîtriser)
  • Pour \(a \ge 0\) : \(\sqrt{a^2} = |a|\). Ex : \(\sqrt{(-5)^2}=5\).
  • Si \(0 \le a \le b\), alors \(\sqrt{a} \le \sqrt{b}\). La racine carrée conserve l’ordre.
  • Pour comparer \(\sqrt{a}\) et \(\sqrt{b}\) (avec \(a,b\ge0\)), il suffit de comparer \(a\) et \(b\).
Exemples
  • Comme \(16 < 25\), on a \(\sqrt{16} < \sqrt{25}\), donc \(4 < 5\).
  • Comme \(50 < 64\), on a \(\sqrt{50} < \sqrt{64}=8\).
⚠️ Piège classique
\[ \sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}\quad \text{en général.} \]
Exemple : \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\) alors que \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7\).
4) Encadrer \(\sqrt{a}\) entre deux entiers
Idée : trouver deux carrés parfaits consécutifs qui encadrent \(a\). Si \(n^2 \le a < (n+1)^2\), alors : \[ n \le \sqrt{a} < n+1 \]
Exemple 1
Encadrer \(\sqrt{50}\). Or \(7^2=49 \le 50 < 64=8^2\). Donc : \[ 7 \le \sqrt{50} < 8 \]
Exemple 2
Encadrer \(\sqrt{120}\). \(10^2=100 \le 120 < 121=11^2\). Donc : \[ 10 \le \sqrt{120} < 11 \]
Méthode ultra-sûre (à recopier)
  1. Je cherche \(n^2\) juste en dessous de \(a\).
  2. Je vérifie \((n+1)^2\) juste au-dessus.
  3. Je conclus : \(n \le \sqrt{a} < n+1\).
5) Comparer des racines sans calculatrice
Cas 1 : même forme \(\sqrt{\cdot}\)
Pour \(a,b\ge 0\) : \[ \sqrt{a} \ \square \ \sqrt{b} \iff a \ \square \ b \]
Exemple : \(\sqrt{45} < \sqrt{50}\) car \(45<50\).
Cas 2 : comparer à un entier
Pour comparer \(\sqrt{a}\) à \(n\), on compare \(a\) à \(n^2\).
Exemple : \(\sqrt{70} \ ? \ 8\). Comme \(70 > 64\), on a \(\sqrt{70} > 8\).
Cas 3 (piège) : comparer à un décimal
Exemple : comparer \(\sqrt{45}\) et \(6{,}5\). On compare \(45\) et \(6{,}5^2 = 42{,}25\). Comme \(45 > 42{,}25\), alors \(\sqrt{45} > 6{,}5\).
6) Applications géométriques
Les racines carrées apparaissent dès qu’on calcule des longueurs issues d’un carré, d’un rectangle, ou d’un triangle rectangle (théorème de Pythagore).
Diagonale d’un carré
Carré de côté \(a\) : \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\), donc : \[ d = a\sqrt{2} \]
Exemple : côté \(a=5\) → \(d=5\sqrt{2}\).
Pythagore (triangle rectangle)
Si le triangle est rectangle : \(c^2=a^2+b^2\). Donc \(c=\sqrt{a^2+b^2}\).
Exemple : côtés \(6\) et \(8\) → \(c=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\).
Encadrer une longueur
Exemple : \(d=5\sqrt{2}\). Comme \(1{,}4^2=1{,}96\) et \(1{,}5^2=2{,}25\), on a \(1{,}4<\sqrt{2}<1{,}5\). Donc : \[ 7 \lt 5\sqrt{2} \lt 7{,}5 \]
Checklist : erreurs à éviter
Racines
  • \(\sqrt{49}=7\) (pas \(-7\)).
  • \(\sqrt{a}\) existe seulement si \(a\ge 0\).
  • \(\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}\) (en général).
Encadrements
  • On encadre \(a\) entre deux carrés parfaits, puis on “passe à la racine”.
  • Si \(n^2 \le a < (n+1)^2\) alors \(n \le \sqrt{a} < n+1\).
✅ À retenir
Les racines carrées se maîtrisent avec 3 réflexes : (1) connaître les carrés parfaits, (2) encadrer, (3) comparer en comparant les carrés. En géométrie, elles apparaissent naturellement avec la diagonale et Pythagore.