Pythagore et réciproque

Calculs de longueurs • théorème de Pythagore • réciproque (démontrer qu’un triangle est rectangle) • problèmes concrets (programme de 4e).

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Cours — Pythagore et réciproque
Hypoténuse • calculs de longueurs • démontrer qu’un triangle est rectangle • problèmes concrets.
4e Géométrie Méthodes
1️⃣ Triangle rectangle et hypoténuse

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (90°).

Définition :
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse.

👉 L’hypoténuse est toujours le plus long côté du triangle rectangle.

⚠️ Piège classique : ne pas confondre hypoténuse et « côté le plus long » sans vérifier que le triangle est rectangle.
2️⃣ Théorème de Pythagore
Énoncé :
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Formule :

Si le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), alors : \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] (ici \(BC\) est l’hypoténuse)

⚠️ Important : le théorème de Pythagore s’utilise uniquement dans un triangle rectangle.
3️⃣ Calculer une longueur avec Pythagore
Méthode :
  1. Vérifier que le triangle est rectangle
  2. Repérer l’hypoténuse
  3. Écrire la formule de Pythagore
  4. Remplacer par les valeurs connues
  5. Calculer et conclure avec l’unité

Exemple guidé :

Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), on a : \[ AB = 6\text{ cm}, \quad AC = 8\text{ cm} \] Calculer \(BC\).

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] \[ BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \] \[ BC = \sqrt{100} = 10 \] Conclusion : \(BC = 10\) cm.

⚠️ Pièges fréquents :
  • Oublier la racine carrée à la fin
  • Écrire la formule dans le mauvais ordre
  • Oublier l’unité dans la conclusion
4️⃣ Calculer un côté de l’angle droit

Si on connaît l’hypoténuse et un autre côté, on peut calculer le troisième côté.

Exemple :

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse mesure \(13\) cm et un côté mesure \(5\) cm. Calculer l’autre côté.

\[ \text{(côté inconnu)}^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \] \[ \text{(côté inconnu)} = \sqrt{144} = 12 \] Conclusion : le côté mesure \(12\) cm.

5️⃣ Réciproque du théorème de Pythagore
Énoncé :
Si, dans un triangle, le carré de la plus grande longueur est égal à la somme des carrés des deux autres longueurs, alors ce triangle est rectangle.

Méthode pour démontrer qu’un triangle est rectangle :

  1. Repérer le plus long côté
  2. Calculer le carré de chaque longueur
  3. Comparer : plus grand carré ? somme des deux autres ?
  4. Conclure : le triangle est rectangle (préciser en quel point)

Exemple guidé :

Un triangle a pour côtés \(5\) cm, \(12\) cm et \(13\) cm. Est-il rectangle ?

Le plus long côté est \(13\) cm. \[ 13^2 = 169,\quad 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \] Les deux valeurs sont égales.

Conclusion : le triangle est rectangle, et l’angle droit est opposé au côté de longueur \(13\) cm.

6️⃣ Applications concrètes
  • Calculer une distance inaccessible
  • Vérifier si un angle est droit dans un plan ou un schéma
  • Problèmes de construction, d’échelle, de terrain
👉 Toujours écrire une phrase de conclusion avec l’unité ou la propriété démontrée.