Exercices corrigés — Théorème De Pythagore Et Réciproque (4e)
On considère un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\).
- Quel est le nom de l’hypoténuse ?
- Écrire l’égalité de Pythagore correspondante.
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- L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit en \(A\) : c’est \(BC\).
- D’après Pythagore : \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]
Dans le triangle \(DEF\) rectangle en \(D\), on a : \[ DE = 9\text{ cm},\quad DF = 12\text{ cm} \] Calculer \(EF\).
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Le triangle est rectangle en \(D\), donc \(EF\) est l’hypoténuse. D’après Pythagore : \[ EF^2 = DE^2 + DF^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \] \[ EF = \sqrt{225}=15 \] Conclusion : \(EF=15\) cm.
Dans un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), on sait que : \[ BC = 13\text{ cm},\quad AB = 5\text{ cm} \] Calculer \(AC\).
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Dans \(ABC\) rectangle en \(A\), \(BC\) est l’hypoténuse. \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow AC^2 = BC^2 - AB^2 \] \[ AC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \] \[ AC = \sqrt{144}=12 \] Conclusion : \(AC=12\) cm.
Dans un triangle \(MNP\) rectangle en \(M\) : \[ MN = 7\text{ cm},\quad MP = 9\text{ cm} \] Calculer \(NP\) (laisser sous forme de racine si nécessaire).
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\(NP\) est l’hypoténuse. \[ NP^2 = MN^2 + MP^2 = 7^2 + 9^2 = 49 + 81 = 130 \] \[ NP = \sqrt{130} \] Conclusion : \(NP=\sqrt{130}\) cm (≈ \(11{,}4\) cm).
Un triangle \(RST\) est rectangle en \(R\). On a : \[ RS = 3\text{ m},\quad RT = 40\text{ cm} \] Calculer \(ST\) en mètres.
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On met tout en mètres : \(40\text{ cm} = 0{,}40\text{ m}\).
\(ST\) est l’hypoténuse, donc :
\[
ST^2 = RS^2 + RT^2 = 3^2 + 0{,}40^2 = 9 + 0{,}16 = 9{,}16
\]
\[
ST=\sqrt{9{,}16}
\]
Or \(\;9{,}16 = 2{,}? \) (pas un carré parfait), donc
\[
ST \approx 3{,}03
\]
Conclusion : \(ST \approx 3{,}03\) m.
Un triangle \(ABC\) a pour côtés : \[ AB=6\text{ cm},\quad AC=8\text{ cm},\quad BC=10\text{ cm} \] Démontrer que le triangle \(ABC\) est rectangle.
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Le plus grand côté est \(BC=10\). Calculons :
\[
BC^2 = 10^2 = 100
\]
\[
AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
\]
On a \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).
Conclusion : d’après la réciproque de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\)
(l’angle droit est opposé à \(BC\)).
Un triangle \(DEF\) a pour côtés : \[ DE=7\text{ cm},\quad DF=9\text{ cm},\quad EF=12\text{ cm} \] Ce triangle est-il rectangle ? Justifier.
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Le plus grand côté est \(EF=12\). Calculons :
\[
EF^2 = 12^2 = 144
\]
\[
DE^2 + DF^2 = 7^2 + 9^2 = 49 + 81 = 130
\]
Or \(144 \neq 130\).
Conclusion : le triangle \(DEF\) n’est pas rectangle.
Un écran rectangulaire mesure 48 cm de largeur et 36 cm de hauteur. Quelle est la longueur de sa diagonale ? (arrondir au mm).
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La diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 48 cm et 36 cm : \[ d^2 = 48^2 + 36^2 = 2304 + 1296 = 3600 \] \[ d = \sqrt{3600} = 60 \] Conclusion : la diagonale mesure \(60\) cm, soit \(600\) mm (au mm près : 600 mm).
Dans un parc, deux allées se coupent à angle droit. On part du point \(A\), on marche 120 m vers l’est,
puis 50 m vers le nord pour arriver en \(B\).
Quelle est la distance “à vol d’oiseau” \(AB\) ?
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Les déplacements sont perpendiculaires, donc triangle rectangle. \[ AB^2 = 120^2 + 50^2 = 14400 + 2500 = 16900 \] \[ AB = \sqrt{16900} = \sqrt{169\times100} = 13\times10 = 130 \] Conclusion : \(AB = 130\) m.
On a un triangle \(ABC\) avec :
\[
AB=10\text{ cm},\quad AC=24\text{ cm},\quad BC=26\text{ cm}
\]
1) Démontrer que \(ABC\) est rectangle.
2) Préciser en quel point est l’angle droit.
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Le plus grand côté est \(BC=26\).
\[
BC^2 = 26^2 = 676
\]
\[
AB^2 + AC^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676
\]
Donc \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).
Conclusion : d’après la réciproque de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).