Pythagore et réciproque

Calculs de longueurs • théorème de Pythagore • réciproque (démontrer qu’un triangle est rectangle) • problèmes concrets (programme de 4e).

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Fiche ultra-synthèse — Pythagore et réciproque
L’essentiel : hypoténuse • formules • calculs de longueurs • démontrer rectangle • pièges.
4e Formules Méthodes Pièges
1️⃣ Hypoténuse : le réflexe n°1
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse.
✅ L’hypoténuse est toujours le plus long côté (dans un triangle rectangle).
⚠️ Piège : “le plus long côté” ne suffit pas si on n’a pas prouvé que le triangle est rectangle. On repère l’hypoténuse seulement après avoir identifié l’angle droit.
2️⃣ Théorème de Pythagore
Si le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), alors \(BC\) est l’hypoténuse et : \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]
⚠️ Condition : Pythagore s’utilise uniquement dans un triangle rectangle.
3️⃣ Calculer une longueur : les 2 cas
Cas A — Chercher l’hypoténuse

Si \(AB\) et \(AC\) connus :

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} \]
Cas B — Chercher un côté de l’angle droit

Si \(BC\) (hypoténuse) et \(AB\) connus :

\[ AC^2 = BC^2 - AB^2 \] \[ AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} \]
⚠️ Pièges “racine” :
  • On calcule d’abord les carrés, puis on fait la racine à la fin.
  • Ne jamais écrire \(BC = AB^2 + AC^2\) (il manque les carrés !).
  • Si on obtient \(BC^2 = 50\), alors \(BC=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) (ou ≈ \(7{,}07\)).
4️⃣ Réciproque de Pythagore (démontrer rectangle)
Si dans un triangle : \[ (\text{plus grand côté})^2 = (\text{autre côté})^2 + (\text{autre côté})^2 \] alors le triangle est rectangle.
Méthode express :
  1. Repérer le plus grand côté
  2. Calculer les carrés
  3. Comparer : grand carré = somme des deux autres ?
  4. Conclure : triangle rectangle (angle droit opposé au plus grand côté)
⚠️ Pièges réciproque :
  • Il faut prendre le plus grand côté comme “côté candidat” à l’hypoténuse.
  • Si l’égalité n’est pas vraie → triangle non rectangle.
  • Comparer des longueurs au lieu des carrés (erreur).
5️⃣ Unités : cohérence obligatoire
✅ Avant d’appliquer Pythagore, toutes les longueurs doivent être dans la même unité : cm avec cm, m avec m, etc.
⚠️ Piège : ne jamais mélanger (ex : 3 m et 40 cm).
Convertir : 40 cm = 0,40 m (ou 3 m = 300 cm).
6️⃣ Rédaction type (à copier)
Utiliser Pythagore (triangle rectangle connu) :

« Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), d’après le théorème de Pythagore :
\(BC^2 = AB^2 + AC^2\).
Donc \(BC^2 = \dots\) puis \(BC = \sqrt{\dots} = \dots\).
Ainsi, \(BC = \dots\) (unité). »

Utiliser la réciproque (démontrer rectangle) :

« On a \(BC\) le plus grand côté. Calculons : \(BC^2 = \dots\), \(AB^2=\dots\), \(AC^2=\dots\).
Or \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).
Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). »

⚠️ Pièges rédaction :
  • Nommer le triangle et préciser où est l’angle droit.
  • Écrire l’égalité avec les carrés.
  • Conclure avec une phrase + unité.
✅ Checklist express (anti-erreurs)
  • J’ai converti toutes les longueurs dans la même unité.
  • Je sais repérer l’hypoténuse (opposée à l’angle droit).
  • Je choisis la bonne formule : + pour hypoténuse, − pour un côté.
  • Je fais la racine carrée à la fin et je n’oublie pas l’unité.
  • Pour la réciproque, je prends bien le plus grand côté.