Fiche premium — Puissances et notation scientifique
Ultra-synthèse : puissances de 10 • règles • notation scientifique • ordre de grandeur • pièges.
1) Puissances de 10 — l’essentiel
Valeurs à connaître
Grands nombres
\[
10^1=10,\quad 10^2=100,\quad 10^3=1\,000,\quad 10^4=10\,000
\]
Petits nombres
\[
10^{-1}=0{,}1,\quad 10^{-2}=0{,}01,\quad 10^{-3}=0{,}001
\]
Cas clé
\[
10^0=1
\]
Plus généralement : \(a^0=1\) si \(a\ne 0\).
Réflexe virgule :
\(\times 10^n\) → virgule de \(n\) rangs à droite • \(\times 10^{-n}\) → virgule de \(n\) rangs à gauche.
\(\times 10^n\) → virgule de \(n\) rangs à droite • \(\times 10^{-n}\) → virgule de \(n\) rangs à gauche.
Exemples “premium”
Exemple
\[
3{,}47 \times 10^2 = 347
\]
Exemple
\[
5{,}2 \times 10^{-3} = 0{,}0052
\]
Attention : \(-3^2 = -(3^2) = -9\).
La puissance porte sur \(3\), pas sur le signe.
La puissance porte sur \(3\), pas sur le signe.
2) Règles de calcul — express
Règles
Produit
\(\;10^a \times 10^b = 10^{a+b}\)
Quotient
\(\;\dfrac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}\)
Puissance
\(\;(10^a)^b = 10^{ab}\)
Négatif
\(\;10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}\)
Exemples + piège
Exemple
\[
10^3 \times 10^5 = 10^{3+5}=10^8
\]
Exemple
\[
\frac{10^7}{10^2} = 10^{7-2}=10^5
\]
Piège : \(10^a + 10^b\) ne se simplifie pas.
Exemple : \(10^2 + 10^3 = 100 + 1\,000 = 1\,100\).
Exemple : \(10^2 + 10^3 = 100 + 1\,000 = 1\,100\).
3) Notation scientifique
Définition :
\[
a \times 10^n \quad \text{avec } 1 \le a < 10 \text{ et } n\in\mathbb{Z}.
\]
Mettre en notation scientifique
- Mettre la virgule pour obtenir \(a\) entre 1 et 10.
- Compter les déplacements : c’est \(n\).
- Virgule vers la gauche → \(n>0\) ; vers la droite → \(n<0\).
Exemples
\[
63\,000 = 6{,}3 \times 10^4
\]
\[
0{,}00072 = 7{,}2 \times 10^{-4}
\]
Revenir à l’écriture décimale
- Si \(n>0\) : virgule de \(n\) rangs à droite.
- Si \(n<0\) : virgule de \(|n|\) rangs à gauche.
Exemple
\[
2{,}1 \times 10^{-3} = 0{,}0021
\]
Piège :
\[
12 \times 10^3 \text{ n’est pas “scientifique” car } 12 \not< 10.
\]
✅ Correction : \(\;12 \times 10^3 = 1{,}2 \times 10^4\).
4) Comparer et ordre de grandeur
Comparer vite
- Comparer d’abord les exposants \(n\).
- Si mêmes exposants, comparer les coefficients \(a\).
Exemple
\[
6{,}1\times10^5 > 9{,}8\times10^4
\]
Car \(10^5\) est plus grand que \(10^4\).
Ordre de grandeur
Pour \(a\times10^n\) (avec \(1 \le a < 10\)), un ordre de grandeur simple est \(10^n\).
Exemples
\[
3{,}2\times10^5 \Rightarrow 10^5
\]
\[
8{,}9\times10^{-4} \Rightarrow 10^{-3}
\]
Astuce : si \(a \ge 5\), l’ordre de grandeur est souvent plutôt \(10^{n+1}\)
(ex. \(7{,}8\times10^3\) est proche de \(10^4\)).
Checklist express (avant un contrôle)
- \(10^0=1\) et \(10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}\).
- \(10^a\times10^b=10^{a+b}\) ; \(\dfrac{10^a}{10^b}=10^{a-b}\) ; \((10^a)^b=10^{ab}\).
- Notation scientifique : \(a\times10^n\) avec \(1 \le a < 10\).
- Comparer : exposant \(n\) d’abord, coefficient \(a\) ensuite.
- Pièges : \(10^a+10^b\) (pas de règle) • \(-3^2\neq (-3)^2\).