Cours premium — Puissances et notation scientifique
Puissances de 10 • exposants positifs et négatifs • notation scientifique • ordres de grandeur.
Objectifs
- Comprendre ce que signifie \(10^n\) pour \(n\) positif, nul ou négatif.
- Savoir utiliser les règles de calcul sur les puissances de 10.
- Écrire un nombre en notation scientifique \(a\times10^n\).
- Comparer des nombres grâce aux puissances et donner un ordre de grandeur.
1) Puissances de 10 : définition et sens
Une puissance de 10 est un nombre de la forme \(10^n\), où \(n\) est un entier.
L’exposant \(n\) indique « combien de fois on multiplie (ou divise) par 10 ».
a) Exposants positifs
Pour \(n \ge 1\), \(10^n\) est un grand nombre :
\[
10^1=10,\quad 10^2=100,\quad 10^3=1\,000,\quad 10^4=10\,000
\]
👉 Multiplier par \(10^n\) revient à décaler la virgule de \(n\) rangs vers la droite.
Exemple
On décale la virgule de 2 rangs vers la droite.
\[
3{,}47 \times 10^2 = 347
\]
b) Exposants négatifs
Pour \(n \le -1\), \(10^n\) est un très petit nombre :
\[
10^{-1}=0{,}1,\quad 10^{-2}=0{,}01,\quad 10^{-3}=0{,}001
\]
👉 Multiplier par \(10^{-n}\) revient à décaler la virgule de \(|n|\) rangs vers la gauche.
Exemple
On décale la virgule de 3 rangs vers la gauche.
\[
5{,}2 \times 10^{-3} = 0{,}0052
\]
Cas important
\[
10^0 = 1
\]
👉 C’est vrai pour toute base non nulle : \(a^0 = 1\) (si \(a \ne 0\)).
2) Règles de calcul sur les puissances de 10
Ces règles te permettent de calculer très vite sans écrire tous les zéros.
Produit
\[
10^a \times 10^b = 10^{a+b}
\]
Exemple
\[
10^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8
\]
Quotient
\[
\frac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}
\]
Exemple
\[
\frac{10^7}{10^2} = 10^{7-2} = 10^5
\]
Puissance d’une puissance
\[
(10^a)^b = 10^{ab}
\]
Exemple
\[
(10^2)^3 = 10^{2\times 3} = 10^6
\]
Attention au piège
❌ \(10^a + 10^b\) ne se simplifie pas avec une règle d’exposants.
\[
10^2 + 10^3 = 100 + 1\,000 = 1\,100
\]
3) Notation scientifique
La notation scientifique permet d’écrire des nombres très grands ou très petits
de manière simple.
Définition
\[
a \times 10^n \quad \text{avec } 1 \le a < 10 \text{ et } n \in \mathbb{Z}.
\]
a) Mettre en notation scientifique
- Déplacer la virgule pour obtenir un nombre \(a\) entre 1 et 10.
- Compter le nombre de déplacements : c’est \(n\).
- Virgule vers la gauche → \(n\) positif ; vers la droite → \(n\) négatif.
Exemples
\[
63\,000 = 6{,}3 \times 10^4
\]
\[
0{,}00072 = 7{,}2 \times 10^{-4}
\]
b) Revenir à l’écriture décimale
- Si \(n>0\) : on décale la virgule de \(n\) rangs vers la droite.
- Si \(n<0\) : on décale la virgule de \(|n|\) rangs vers la gauche.
Exemple
\[
2{,}1 \times 10^{-3} = 0{,}0021
\]
Piège classique
\[
12 \times 10^3 \text{ n’est pas une notation scientifique, car } 12 \not< 10.
\]
✅ On corrige : \(12 \times 10^3 = 1{,}2 \times 10^4\).
4) Comparer des nombres et ordre de grandeur
Comparer en notation scientifique
- On compare d’abord les exposants \(n\).
- Si les exposants sont égaux, on compare les coefficients \(a\).
Exemple
\[
6{,}1\times10^5 \;>\; 9{,}8\times10^4
\]
Car \(10^5\) est plus grand que \(10^4\).
Ordre de grandeur
Pour \(a\times10^n\) avec \(1 \le a < 10\), un ordre de grandeur simple est \(10^n\).
\[
3{,}2\times10^5 \Rightarrow 10^5
\]
\[
8{,}9\times10^{-4} \Rightarrow 10^{-3}
\]
👉 Astuce : si \(a \ge 5\), l’ordre de grandeur peut être plutôt \(10^{n+1}\)
(ex : \(7{,}8\times10^3\) est “proche” de \(10^4\)).
À retenir
- \(10^0=1\), \(10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}\).
- \(10^a\times10^b=10^{a+b}\), \(\dfrac{10^a}{10^b}=10^{a-b}\), \((10^a)^b=10^{ab}\).
- Notation scientifique : \(a\times10^n\) avec \(1 \le a < 10\).
- Comparer : d’abord l’exposant, puis le coefficient.
- Ordre de grandeur : souvent \(10^n\) (parfois \(10^{n+1}\) si \(a\ge 5\)).