Fiche méthode — Probabilités
Issues • événements • événement contraire • écritures fraction / décimal / %
1) Lexique express
- Expérience aléatoire : résultat incertain (dé, carte, sac…).
- Issue : résultat possible.
- Univers \(\Omega\) : ensemble de toutes les issues.
- Événement \(A\) : ensemble d’issues qui vérifient une condition.
- Événement contraire \(\overline{A}\) : “\(A\) ne se produit pas”.
Réflexe : on commence toujours par écrire \(\Omega\) et l’événement \(A\) sous forme d’ensemble.
2) Formule clé (équiprobabilité)
Cas le plus fréquent en 4e : toutes les issues sont équiprobables.
\[
P(A)=\frac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}
=\frac{|A|}{|\Omega|}
\]
\[
0 \le P(A) \le 1
\]
Exemple : dé, \(A=\{2,4,6\}\) (pair).
\[ P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0{,}5=50\% \]
\[ P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0{,}5=50\% \]
3) Événement contraire (astuce de calcul)
Formule :
\[
P(\overline{A})=1-P(A)
\]
Exemple : si \(P(A)=0{,}27\), alors
\[
P(\overline{A})=1-0{,}27=0{,}73=73\%
\]
Quand l’utiliser ? Quand il est plus simple de compter “ce qui n’arrive pas”
que “ce qui arrive”.
4) Écritures : fraction, décimal, pourcentage
Conversions rapides :
- Fraction → décimal : division
- Décimal → % : \(\times 100\)
- % → décimal : \(\div 100\)
Références utiles :
\[
\frac{1}{2}=0{,}5=50\%
\qquad
\frac{1}{4}=0{,}25=25\%
\qquad
\frac{3}{4}=0{,}75=75\%
\]
\[
\frac{1}{5}=0{,}2=20\%
\qquad
\frac{3}{5}=0{,}6=60\%
\]
\[
12\%=0{,}12=\frac{12}{100}=\frac{3}{25}
\]
Piège classique : \(0{,}4=40\%\) (et pas 4 %).
5) Méthode en 4 étapes
Recette :
- Écrire l’univers \(\Omega\) (toutes les issues).
- Décrire l’événement \(A\) (issues favorables).
- Compter : \(|A|\) et \(|\Omega|\).
- Calculer : \(P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}\) puis convertir si demandé.
Mini-exemple : sac : 3 rouges, 2 bleues, 1 verte. \(A\) = “bleue”.
\(|A|=2\), \(|\Omega|=6\).
\[ P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx 0{,}333 \approx 33{,}3\% \]
\(|A|=2\), \(|\Omega|=6\).
\[ P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx 0{,}333 \approx 33{,}3\% \]
6) Anti-pièges (contrôle express)
- Oubli d’issues : si \(\Omega\) est incomplet, tout est faux.
- Non-équiprobable : la formule \(\dfrac{|A|}{|\Omega|}\) ne s’applique que si toutes les issues ont la même chance.
- Conversion : ne pas confondre \(0{,}07\) et 7 % (ici c’est correct : 7 %), mais \(0{,}7\) = 70 %.
- Conserver la fraction : si on peut simplifier (ex : \(\dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5}\)).
- Contrôle : \(P(A)+P(\overline{A})=1\).
Résumé flash
- \(P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}\) (équiprobabilité).
- \(P(\overline{A})=1-P(A)\).
- Décimal ↔ % : \(\times 100\) / \(\div 100\).
- \(0 \le P(A) \le 1\).
- Méthode : \(\Omega\) → \(A\) → compter → calculer → convertir.