Classe de 4e — Probabilités

Cours — Probabilités

Issues • événements • événement contraire • calculs en fraction, décimal et pourcentage

Hasard Méthodes Programme de 4e

1) Expérience aléatoire et issues

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l’avance avec certitude (ex : lancer un dé, tirer une carte, lancer une pièce).

Une issue est un résultat possible de l’expérience. L’ensemble de toutes les issues s’appelle l’univers et se note souvent \(\Omega\).

Exemple : lancer un dé équilibré.
\[ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \] Chaque nombre de 1 à 6 est une issue.

Réflexe : avant tout calcul, écrire \(\Omega\) (les issues possibles).

2) Événement

Un événement est un ensemble d’issues (une “condition”). On le note souvent \(A\), \(B\), etc.

Exemple (dé) :
Événement \(A\) : “obtenir un nombre pair”.
\[ A=\{2,4,6\} \] Événement \(B\) : “obtenir un nombre \(\ge 5\)”.
\[ B=\{5,6\} \]

Important : un événement peut contenir 1 issue (événement “simple”) ou plusieurs issues.

3) Probabilité d’un événement (équiprobabilité)

En 4e, on travaille souvent en équiprobabilité : toutes les issues ont la même chance de se produire (dé équilibré, pièce équilibrée, tirage au hasard…).

Formule (équiprobabilité) : \[ P(A)=\frac{\text{nombre d’issues favorables à }A}{\text{nombre total d’issues}} =\frac{|A|}{|\Omega|} \]

Exemple : dé équilibré, \(A\) : “nombre pair”.
Issues favorables : \(\{2,4,6\}\) → 3 issues.
Total : 6 issues.
\[ P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0{,}5=50\% \]

À connaître : une probabilité est toujours entre 0 et 1 : \[ 0 \le P(A) \le 1 \]

4) Écrire une probabilité : fraction, décimal, pourcentage

On peut exprimer une probabilité sous trois formes : fraction, nombre décimal ou pourcentage.

Conversions :

Fraction → décimal : on effectue la division.
Décimal → % : on multiplie par 100.
% → décimal : on divise par 100.

Exemples : \[ \frac{1}{4}=0{,}25=25\% \qquad \frac{3}{5}=0{,}6=60\% \qquad 12\% = 0{,}12 = \frac{12}{100}=\frac{3}{25} \]

Piège : \(0{,}4\neq 4\%\). En réalité, \(0{,}4=40\%\).

5) Événement contraire

L’événement contraire de \(A\) (noté \(\overline{A}\) ou \(A^c\)) est l’événement “ne pas réaliser \(A\)”.

Exemple (dé) : \(A\) : “obtenir un nombre pair” \(\{2,4,6\}\).
Alors \(\overline{A}\) : “obtenir un nombre impair” \(\{1,3,5\}\).

Formule clé : \[ P(\overline{A})=1-P(A) \]

Exemple : si \(P(A)=0{,}3\), alors \[ P(\overline{A})=1-0{,}3=0{,}7=70\% \]

Réflexe : quand “c’est plus simple de compter ce qui n’arrive pas”, utilise le contraire.

6) Exemples guidés (méthode complète)

Exemple 1 — Pièce équilibrée :
\(\Omega=\{\text{Pile},\text{Face}\}\).
\(A\) : “obtenir Pile” → 1 issue favorable sur 2.
\[ P(A)=\frac{1}{2}=0{,}5=50\% \]

Exemple 2 — Dé équilibré :
\(B\) : “obtenir un nombre \(\ge 5\)” → \(\{5,6\}\) (2 issues).
\[ P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx 0{,}333 \approx 33{,}3\% \]

Exemple 3 — Tirage dans un sac :
Un sac contient 3 boules rouges, 2 bleues, 1 verte (toutes identiques). On tire 1 boule au hasard.
Total \(=6\).
\(C\) : “tirer une boule bleue” → 2 favorables.
\[ P(C)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx 33{,}3\% \] \(\overline{C}\) : “ne pas tirer bleu” → 4 favorables.
\[ P(\overline{C})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\approx 66{,}7\% \]

Pièges fréquents :

Oublier une issue dans \(\Omega\) (erreur dès le départ).
Confondre “favorable” et “total”.
Écrire un pourcentage sans convertir (ex : \(\frac{1}{4}=0{,}25\) donc 25 %).

À retenir

\(\Omega\) = ensemble des issues possibles.
Un événement \(A\) est un ensemble d’issues.
En équiprobabilité : \(P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}\).
Conversion : décimal ↔ % (×100 / ÷100).
Événement contraire : \(P(\overline{A})=1-P(A)\).
\(0 \le P(A) \le 1\).