Probabilités

Issues • événements • événement contraire • calculs de probabilités en fraction, décimal et pourcentage (programme de 4e).

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Issues • événements • événement contraire • calculs en fraction / décimal / pourcentage (niveau 4e)
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Exercice 1 — Issues, univers et événements (dé)

On lance un dé équilibré à 6 faces.

  1. Écrire l’univers \(\Omega\).
  2. Écrire l’événement \(A\) : “obtenir un nombre impair”.
  3. Écrire l’événement \(B\) : “obtenir un nombre \(\ge 5\)”.
  4. Donner \(|\Omega|\), \(|A|\) et \(|B|\).
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  1. \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\).
  2. \(A=\{1,3,5\}\).
  3. \(B=\{5,6\}\).
  4. \(|\Omega|=6,\ |A|=3,\ |B|=2\).
Réflexe : écrire l’événement comme un ensemble d’issues.
Exercice 2 — Calculer une probabilité + convertir

On lance un dé équilibré.

  1. Calculer \(P(A)\) pour \(A\) : “obtenir un multiple de 3”.
  2. Donner la réponse sous forme de fraction simplifiée.
  3. Donner la réponse en décimal.
  4. Donner la réponse en pourcentage.
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Multiples de 3 sur un dé : \(\{3,6\}\) donc \(|A|=2\) et \(|\Omega|=6\).

\[ P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx 0{,}333 \approx 33{,}3\% \]
Piège : le pourcentage n’est pas exactement 33 % : c’est environ 33,3 %.
Exercice 3 — Événement contraire : gagner du temps

On lance un dé équilibré.

  1. Soit \(C\) : “obtenir un nombre \(\le 4\)”. Calculer \(P(C)\).
  2. Calculer \(P(\overline{C})\) en utilisant la formule du contraire.
  3. Écrire \(\overline{C}\) comme ensemble d’issues.
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  1. \(C=\{1,2,3,4\}\) donc \(P(C)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\).
  2. \[ P(\overline{C})=1-P(C)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} \]
  3. \(\overline{C}=\{5,6\}\).
Contrôle : \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}=1\).
Exercice 4 — Tirage dans un sac

Un sac contient 5 boules identiques : 2 rouges (R), 2 bleues (B), 1 verte (V). On tire 1 boule au hasard.

  1. Décrire l’univers \(\Omega\) en “types” de boules (R, B, V) et donner \(|\Omega|\).
  2. Soit \(A\) : “tirer une boule bleue”. Calculer \(P(A)\) en fraction simplifiée.
  3. Soit \(D\) : “ne pas tirer rouge”. Calculer \(P(D)\).
  4. Donner \(P(D)\) en décimal et en %.
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  1. Total : 5 boules donc \(|\Omega|=5\). (On peut dire : 2 R, 2 B, 1 V).
  2. \(A\) : bleue → 2 favorables sur 5 : \[ P(A)=\frac{2}{5}=0{,}4=40\% \]
  3. \(D\) : “ne pas rouge” → bleue ou verte → \(2+1=3\) favorables : \[ P(D)=\frac{3}{5} \]
  4. \(\dfrac{3}{5}=0{,}6=60\%\).
Astuce : “ne pas rouge” = contraire de “rouge”.
Exercice 5 — Conversions rapides

Convertir (sans calculatrice si possible) :

  1. \(\dfrac{1}{4}\) en décimal puis en %
  2. \(\dfrac{3}{5}\) en décimal puis en %
  3. \(0{,}08\) en % puis en fraction simplifiée
  4. \(75\%\) en décimal puis en fraction simplifiée
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  1. \(\dfrac{1}{4}=0{,}25=25\%\).
  2. \(\dfrac{3}{5}=0{,}6=60\%\).
  3. \(0{,}08=8\%\) et \(8\%=\dfrac{8}{100}=\dfrac{2}{25}\).
  4. \(75\%=0{,}75\) et \(0{,}75=\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}\).
Piège : \(0{,}08\) c’est 8 %, pas 0,8 %.
Exercice 6 — Pièges (compter juste)

On lance un dé équilibré.

  1. Soit \(E\) : “obtenir un nombre strictement inférieur à 4”. Calculer \(P(E)\).
  2. Soit \(F\) : “obtenir un nombre au moins 4”. Calculer \(P(F)\).
  3. Vérifier que \(F=\overline{E}\) (événements contraires) et contrôler avec les probabilités.
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  1. “strictement inférieur à 4” : \(\{1,2,3\}\) → \(P(E)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\).
  2. “au moins 4” : \(\{4,5,6\}\) → \(P(F)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\).
  3. Oui : \(F=\overline{E}\). Contrôle : \[ P(E)+P(F)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \]
Piège : “strictement” (\(<\)) n’inclut pas 4, “au moins” (\(\ge\)) inclut 4.