Fiche ultra-synthèse — Notion de fonction
L’essentiel : formule • tableau • graphique • image et antécédent • lecture rapide + pièges.
1️⃣ Définition & notations
Une fonction \(f\) associe à chaque nombre \(x\) un seul nombre \(f(x)\).
\[ y = f(x) \]
\[ y = f(x) \]
- \(x\) : antécédent
- \(f(x)\) : image de \(x\)
⚠️ Piège : une image est unique, mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents (sur un graphique, une horizontale peut couper la courbe en plusieurs points).
2️⃣ Fonction définie par une formule
Calculer une image
Si \(f(x)=2x+3\), alors :
\[ f(4)=2\times4+3=11 \]Réflexe : on remplace \(x\) par la valeur demandée.
Trouver un antécédent
Chercher \(x\) tel que \(f(x)=11\) :
\[ 2x+3=11 \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x=4 \]Réflexe : résoudre une équation.
⚠️ Pièges :
- Oublier les parenthèses : \(f(-2)=2(-2)+3\) (et pas \(2-2+3\)).
- Confondre \(f(x)\) et \(f\) : \(f(x)\) est une valeur, \(f\) est la fonction.
3️⃣ Tableau de valeurs
Lecture :
- 1re ligne : antécédents \(x\)
- 2e ligne : images \(f(x)\)
Exemple :
\[ \begin{array}{c|c|c|c} x & -1 & 0 & 2 \\ \hline f(x) & 1 & 3 & 7 \end{array} \]- L’image de \(2\) est \(7\).
- \(0\) est un antécédent de \(3\).
⚠️ Pièges tableau :
- Lire “à l’envers” (prendre l’image pour l’antécédent).
- Confondre “valeur de \(x\)” et “valeur de \(f(x)\)”.
4️⃣ Graphique : points, images, antécédents
Point-clé : sur la courbe de \(f\), chaque point a la forme :
\[
(x ; f(x))
\]
- Abscisse \(x\) = antécédent
- Ordonnée \(y\) = image
Lire une image \(f(a)\)
- Repérer \(a\) sur l’axe des abscisses
- Monter jusqu’à la courbe
- Lire l’ordonnée : c’est \(f(a)\)
Lire un antécédent de \(b\)
- Repérer \(b\) sur l’axe des ordonnées
- Aller horizontalement jusqu’à la courbe
- Redescendre : abscisse(s) = antécédent(s)
⚠️ Pièges lecture graphique :
- Ne pas vérifier l’échelle (graduations pas forcément de 1 en 1).
- Une horizontale peut couper la courbe en plusieurs points : plusieurs antécédents.
- Ne pas confondre “lire” (approx.) et “calculer” (exact avec formule).
5️⃣ Linéarité : ne pas confondre
Fonction linéaire : \(f(x)=ax\) → droite qui passe par \((0 ; 0)\).
Fonction affine : \(f(x)=ax+b\) → droite qui ne passe pas forcément par \((0 ; 0)\).
Fonction affine : \(f(x)=ax+b\) → droite qui ne passe pas forcément par \((0 ; 0)\).
⚠️ Pièges :
- “Droite” ne signifie pas “passe par l’origine”.
- Si \(b\neq 0\), alors \((0 ; 0)\) n’est pas sur la droite.
6️⃣ Unités : cohérence des grandeurs
Si \(x\) est un temps (en h) et \(f(x)\) une distance (en km), alors le graphique représente une relation “distance en fonction du temps”.
On doit toujours garder les unités cohérentes.
On doit toujours garder les unités cohérentes.
⚠️ Pièges unités :
- 30 min = 0,5 h
- 200 m = 0,2 km
- Confondre l’unité de \(x\) (abscisse) et celle de \(f(x)\) (ordonnée)
✅ Checklist express (anti-erreurs)
- Je sais identifier : antécédent = abscisse, image = ordonnée.
- Je sais calculer \(f(a)\) en remplaçant \(x\) par \(a\).
- Je sais chercher un antécédent en résolvant \(f(x)=b\).
- Je vérifie l’échelle du repère avant de lire.
- Je garde les unités cohérentes.