On considère la fonction \(f\) définie par :
\[
f(x) = 2x - 5
\]
1) Calculer \(f(0)\), \(f(3)\), \(f(-2)\).
2) Donner une phrase correcte pour chaque résultat (« l’image de … est … »).
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\[ f(0)=2\times0-5=-5 \] Donc l’image de \(0\) est \(-5\).
\[ f(3)=2\times3-5=6-5=1 \] Donc l’image de \(3\) est \(1\).
Attention aux parenthèses : \[ f(-2)=2\times(-2)-5=-4-5=-9 \] Donc l’image de \(-2\) est \(-9\).
On considère \(g(x)=3x+2\).
1) Trouver l’antécédent de \(11\) par \(g\) (résoudre \(g(x)=11\)).
2) Trouver l’antécédent de \(-4\) par \(g\).
3) Vérifier tes réponses en recalculant l’image.
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1) \(g(x)=11\) : \[ 3x+2=11 \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x=3 \] Vérification : \(g(3)=3\times3+2=11\).
2) \(g(x)=-4\) : \[ 3x+2=-4 \Rightarrow 3x=-6 \Rightarrow x=-2 \] Vérification : \(g(-2)=3\times(-2)+2=-6+2=-4\).
Conclusion : \(3\) est un antécédent de \(11\), et \(-2\) est un antécédent de \(-4\).
On donne le tableau suivant :
\[
\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & -1 & 0 & 2 & 5 \\
\hline
h(x) & 4 & 1 & -3 & -9
\end{array}
\]
1) Donner \(h(0)\) et \(h(2)\).
2) Donner un antécédent de \(-9\).
3) Compléter : « … est l’image de … » et « … est un antécédent de … » (au moins 2 phrases).
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1) On lit dans le tableau : \[ h(0)=1 \quad\text{et}\quad h(2)=-3 \]
2) \(-9\) apparaît sur la ligne \(h(x)\) en face de \(x=5\), donc \(5\) est un antécédent de \(-9\).
3) Exemples de phrases :
- \(1\) est l’image de \(0\).
- \(-3\) est l’image de \(2\).
- \(5\) est un antécédent de \(-9\).
- \(-1\) est un antécédent de \(4\).
Un taxi facture un forfait de 3 € puis 1,8 € par kilomètre parcouru.
On note \(p(x)\) le prix (en €) pour \(x\) kilomètres.
1) Écrire la formule de \(p(x)\).
2) Calculer \(p(0)\), \(p(5)\), \(p(12)\).
3) Interpréter \(p(0)\) et \(p(5)\) avec une phrase.
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1) Forfait + prix au km : \[ p(x)=3+1{,}8x \]
2) \[ p(0)=3+1{,}8\times0=3 \] \[ p(5)=3+1{,}8\times5=3+9=12 \] \[ p(12)=3+1{,}8\times12=3+21{,}6=24{,}6 \]
3) Interprétation :
- \(p(0)=3\) : même sans parcourir de distance, on paie le forfait de 3 €.
- \(p(5)=12\) : pour 5 km, le trajet coûte 12 €.
La courbe de la fonction \(f\) passe par les points suivants :
\[
(-2 ; 3)\quad (-1 ; 1)\quad (0 ; 0)\quad (1 ; 1)\quad (2 ; 3)
\]
1) Donner \(f(-2)\), \(f(0)\), \(f(2)\).
2) Donner un (ou des) antécédent(s) de \(1\).
3) Donner un (ou des) antécédent(s) de \(3\).
4) Dire si \(0\) a une image. Justifier.
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1) On lit l’ordonnée : \[ f(-2)=3,\quad f(0)=0,\quad f(2)=3 \]
2) L’image vaut \(1\) pour les points \((-1 ; 1)\) et \((1 ; 1)\).
Donc \(-1\) et \(1\) sont des antécédents de \(1\).
3) L’image vaut \(3\) pour \((-2 ; 3)\) et \((2 ; 3)\).
Donc \(-2\) et \(2\) sont des antécédents de \(3\).
4) Oui : on voit le point \((0 ; 0)\) sur la courbe, donc l’image de \(0\) existe et vaut \(0\).
On sait que \(f(4)=9\). Répondre sans se tromper :
- Quelle est l’image de \(4\) ?
- Donner un antécédent de \(9\).
- Peut-on affirmer que \(4\) est l’unique antécédent de \(9\) ? Expliquer.
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- L’image de \(4\) est \(9\).
- \(4\) est un antécédent de \(9\).
- Non : savoir que \(f(4)=9\) ne dit pas qu’il n’y a pas d’autre antécédent. Il peut exister un autre nombre \(x\) tel que \(f(x)=9\).
On considère \(k(x)=x^2-1\).
1) Compléter le tableau pour \(x\in\{-2,-1,0,1,2\}\).
2) Écrire la liste des points \((x ; k(x))\) correspondants.
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1) Calculs :
\[ k(-2)=(-2)^2-1=4-1=3 \] \[ k(-1)=(-1)^2-1=1-1=0 \] \[ k(0)=0^2-1=-1 \] \[ k(1)=1^2-1=0 \] \[ k(2)=2^2-1=3 \]Tableau :
\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline k(x) & 3 & 0 & -1 & 0 & 3 \end{array} \]2) Points :
\[ (-2 ; 3),\; (-1 ; 0),\; (0 ; -1),\; (1 ; 0),\; (2 ; 3) \]Une piscine se remplit à débit constant de 120 litres par minute. Au départ, elle contient déjà 300 litres. On note \(V(t)\) le volume (en litres) au bout de \(t\) minutes.
1) Donner l’expression de \(V(t)\).
2) Calculer \(V(0)\), \(V(10)\), \(V(25)\).
3) Trouver au bout de combien de minutes le volume atteint 1500 litres.
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1) Volume initial + débit × temps : \[ V(t)=300+120t \]
2) \[ V(0)=300,\quad V(10)=300+120\times10=1500,\quad V(25)=300+120\times25=3300 \]
3) Résoudre \(V(t)=1500\) : \[ 300+120t=1500 \Rightarrow 120t=1200 \Rightarrow t=10 \] Le volume atteint 1500 L après 10 minutes.