Cosinus dans le triangle rectangle

Cosinus dans un triangle rectangle • calcul d’une longueur • calcul d’un angle • interprétation (côté adjacent / hypoténuse) • problèmes concrets (programme de 4e).

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Fiche ultra-synthèse — Cosinus dans le triangle rectangle
L’essentiel : vocabulaire • formule du cosinus • calcul d’une longueur • calcul d’un angle • degrés • arrondis.
4e Formules Méthodes Pièges
1️⃣ Vocabulaire : le bon côté au bon endroit
Dans un triangle rectangle :
  • Hypoténuse : côté opposé à l’angle droit (le plus long côté)
  • Adjacent à un angle aigu : côté qui touche l’angle (≠ hypoténuse)
  • Opposé à un angle aigu : côté en face de l’angle
⚠️ Piège : “adjacent” dépend de l’angle choisi. On doit toujours dire : « adjacent à l’angle … ».
2️⃣ Cosinus : la formule à connaître
Dans un triangle rectangle : \[ \cos(\text{angle})=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \] Donc : \[ \text{adjacent}=\text{hypoténuse}\times \cos(\text{angle}) \]
⚠️ Pièges :
  • Le cosinus s’utilise uniquement si le triangle est rectangle.
  • Ne pas confondre “adjacent” et “opposé”.
3️⃣ Calculer une longueur (méthode express)
Objectif : trouver le côté adjacent à l’angle \(\\alpha\).
  1. Repérer l’angle \(\\alpha\)
  2. Repérer l’hypoténuse
  3. Écrire \(\cos(\\alpha)=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\)
  4. Multiplier : \(\text{adjacent}=\text{hypoténuse}\times\cos(\\alpha)\)
⚠️ Piège : ne pas oublier l’unité (cm, m…) dans la conclusion.
4️⃣ Calculer un angle (arccos)
Si on connaît adjacent et hypoténuse : \[ \cos(\\alpha)=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \] Puis : \[ \\alpha=\cos^{-1}\!\left(\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\right) \] (sur calculatrice : arccos ou \(\cos^{-1}\)).
⚠️ Pièges calculatrice :
  • Mettre la calculatrice en mode degrés (°).
  • Ne pas confondre \(\cos\) et \(\cos^{-1}\) (arccos).
  • Le quotient \(\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\) doit être entre 0 et 1.
5️⃣ Arrondis et unité “degré”
Arrondir une longueur
  • Au dixième : ex. \(16{,}37 \to 16{,}4\)
  • Au centième : ex. \(16{,}374 \to 16{,}37\)
  • Toujours écrire l’unité : m, cm…
Arrondir un angle
  • Au degré près : ex. \(53{,}2^\circ \to 53^\circ\)
  • Écrire le symbole : \(^{\circ}\)
  • Vérifier le mode “DEG”
⚠️ Piège : un angle n’est pas en “cm” ! Et une longueur n’est pas en “°”.
6️⃣ Rédaction type (anti-zéro)
Pour une longueur :

« Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), \(BC\) est l’hypoténuse. Pour l’angle \(\widehat{B}\), le côté adjacent est \(AB\). D’après la définition du cosinus : \(\cos(\widehat{B})=\frac{AB}{BC}\). Donc \(AB=BC\times\cos(\widehat{B})\). »

Pour un angle :

« \(\cos(\widehat{B})=\frac{AB}{BC}\). Donc \(\widehat{B}=\cos^{-1}\!\left(\frac{AB}{BC}\right)\). On obtient \(\widehat{B}\approx \dots^\circ\). »

✅ Checklist express
  • Triangle rectangle ? (sinon stop)
  • Hypoténuse repérée (opposée à l’angle droit)
  • Adjacent repéré par rapport à l’angle choisi
  • Formule : \(\cos=\frac{adj}{hyp}\)
  • Mode calculatrice : degrés (°)
  • Arrondi + unité (cm/m ou °) + phrase de conclusion