On considère un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\). On regarde l’angle \(\widehat{B}\).
- Quel est le nom de l’hypoténuse ?
- Quel côté est adjacent à \(\widehat{B}\) ?
- Quel côté est opposé à \(\widehat{B}\) ?
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- Hypoténuse : \(BC\) (opposée à l’angle droit en \(A\)).
- Adjacent à \(\widehat{B}\) : \(AB\).
- Opposé à \(\widehat{B}\) : \(AC\).
Dans un triangle rectangle, on a \(\widehat{B}=60^\circ\) et l’hypoténuse vaut \(10\) cm. Calculer la longueur du côté adjacent à \(\widehat{B}\).
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\[ \cos(60^\circ)=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \Rightarrow \text{adjacent}=10\times\cos(60^\circ) \] Or \(\cos(60^\circ)=0{,}5\). \[ \text{adjacent}=10\times0{,}5=5 \] Conclusion : le côté adjacent mesure \(5\) cm.
Dans un triangle rectangle, \(\widehat{C}=35^\circ\) et l’hypoténuse mesure \(20\) m. Calculer la longueur du côté adjacent à \(\widehat{C}\). (Arrondir au dixième de mètre.)
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\[ \cos(35^\circ)=\frac{\text{adjacent}}{20} \Rightarrow \text{adjacent}=20\times\cos(35^\circ) \] \[ \text{adjacent}\approx 20\times0{,}8192\approx16{,}384 \] Conclusion : \(\text{adjacent}\approx16{,}4\) m.
Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à l’angle \(\widehat{B}\) mesure \(6\) cm et l’hypoténuse mesure \(10\) cm. Calculer \(\widehat{B}\) au degré près.
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\[ \cos(\widehat{B})=\frac{6}{10}=0{,}6 \] \[ \widehat{B}=\cos^{-1}(0{,}6)\approx53{,}1^\circ \] Conclusion : \(\widehat{B}\approx53^\circ\) (au degré près).
Vérification : calculatrice en mode degrés.
Triangle \(ABC\) rectangle en \(A\). On connaît \(BC=12\) cm et \(AB=9\) cm.
- Calculer \(\cos(\widehat{B})\).
- Calculer \(\cos(\widehat{C})\).
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\(BC\) est l’hypoténuse.
1) Pour \(\widehat{B}\), le côté adjacent est \(AB\) : \[ \cos(\widehat{B})=\frac{AB}{BC}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}=0{,}75 \]
2) Pour \(\widehat{C}\), le côté adjacent est \(AC\), pas \(AB\). Or on ne connaît pas \(AC\), donc on ne peut pas calculer \(\cos(\widehat{C})\) directement avec les données (il faudrait \(AC\) ou un autre renseignement).
Le piège : utiliser \(AB\) comme adjacent pour \(\widehat{C}\) est faux.
Une échelle mesure \(5\) m et fait un angle de \(20^\circ\) avec le sol. Le pied de l’échelle est au sol, le haut touche le mur : on a un triangle rectangle. À quelle distance du mur se trouve le pied de l’échelle ? (Arrondir au cm près.)
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L’échelle est l’hypoténuse : \(5\) m. La distance au mur est le côté adjacent à l’angle \(20^\circ\). \[ \cos(20^\circ)=\frac{d}{5}\Rightarrow d=5\cos(20^\circ) \] \[ d\approx 5\times0{,}9397\approx4{,}6985 \] Conclusion : \(d\approx4{,}70\) m (au cm près : \(4{,}70\) m).
Une route forme une pente rectiligne. Sur une portion, la longueur de la route est de \(120\) m. La projection horizontale (au sol) est de \(114\) m. Calculer l’angle de la pente (au degré près).
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La route est l’hypoténuse (\(120\) m) et l’horizontale est le côté adjacent (\(114\) m). \[ \cos(\alpha)=\frac{114}{120}=0{,}95 \] \[ \alpha=\cos^{-1}(0{,}95)\approx18{,}2^\circ \] Conclusion : l’angle de la pente est \(\alpha\approx18^\circ\).
Un drone est relié au sol par un câble tendu de \(50\) m. L’angle entre le câble et le sol est de \(40^\circ\). Calculer la distance horizontale entre le point au sol et la verticale du drone (arrondir au dixième de mètre).
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Le câble est l’hypoténuse (50 m). La distance horizontale est le côté adjacent à \(40^\circ\). \[ d=50\cos(40^\circ)\approx 50\times0{,}7660\approx38{,}30 \] Conclusion : \(d\approx38{,}3\) m.
Un triangle rectangle a pour hypoténuse \(10\) cm et un angle aigu \(\alpha=35^\circ\).
- Calculer le côté adjacent à \(\alpha\) (au dixième).
- En déduire le côté opposé à \(\alpha\) (au dixième) en utilisant Pythagore.
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1) Adjacent : \[ a=10\cos(35^\circ)\approx10\times0{,}8192\approx8{,}2 \]
2) Opposé (Pythagore) : \[ 10^2=a^2+o^2\Rightarrow o^2=100-a^2 \] Avec \(a\approx8{,}2\), \(a^2\approx67{,}24\). \[ o^2\approx100-67{,}24=32{,}76 \Rightarrow o\approx\sqrt{32{,}76}\approx5{,}7 \] Conclusion : adjacent ≈ \(8{,}2\) cm, opposé ≈ \(5{,}7\) cm.
Depuis un point \(A\), on observe le sommet \(S\) d’une tour. La distance \(AS\) (mesurée au laser) est \(92\) m et l’angle au sol est \(25^\circ\). Estimer la distance horizontale entre \(A\) et le pied de la tour. (Arrondir au mètre près.)
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\(AS\) est l’hypoténuse (92 m). La distance horizontale \(d\) est le côté adjacent à \(25^\circ\). \[ d=92\cos(25^\circ)\approx92\times0{,}9063\approx83{,}38 \] Conclusion : \(d\approx83\) m (au mètre près).