Cosinus dans le triangle rectangle

Cosinus dans un triangle rectangle • calcul d’une longueur • calcul d’un angle • interprétation (côté adjacent / hypoténuse) • problèmes concrets (programme de 4e).

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Cours — Cosinus dans le triangle rectangle
Côté adjacent • hypoténuse • cosinus • calculs de longueurs et d’angles • situations concrètes.
4e Trigonométrie Méthodes
1️⃣ Triangle rectangle et vocabulaire

On considère un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\). Le côté opposé à l’angle droit est l’hypoténuse.

Pour un angle aigu (par exemple \(\widehat{B}\)) :
  • Hypoténuse : le côté le plus long (ici \(BC\))
  • Côté adjacent à \(\widehat{B}\) : le côté qui touche l’angle (ici \(AB\))
  • Côté opposé : l’autre côté (ici \(AC\))
⚠️ Piège : le côté adjacent dépend de l’angle choisi. Il change si on ne regarde pas le même angle.
2️⃣ Définition du cosinus
Dans un triangle rectangle : \[ \cos(\text{angle})=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \]

👉 Le cosinus compare donc un côté à l’hypoténuse.

⚠️ Pièges :
  • Ne pas utiliser le cosinus si le triangle n’est pas rectangle.
  • Ne pas confondre avec le sinus (opposé / hypoténuse).
3️⃣ Calculer une longueur avec le cosinus
Méthode :
  1. Vérifier que le triangle est rectangle
  2. Choisir l’angle utilisé
  3. Identifier le côté adjacent et l’hypoténuse
  4. Écrire la formule du cosinus
  5. Calculer la longueur demandée

Exemple guidé :

Dans un triangle rectangle en \(A\), on a : \[ \widehat{B}=60^\circ \quad \text{et} \quad BC=10\text{ cm} \] Calculer la longueur \(AB\).

\(AB\) est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{B}\) et \(BC\) est l’hypoténuse. \[ \cos(60^\circ)=\frac{AB}{BC} \] \[ \cos(60^\circ)=\frac{AB}{10} \] Or \(\cos(60^\circ)=0{,}5\). \[ AB=10\times0{,}5=5 \] Conclusion : \(AB=5\) cm.

4️⃣ Calculer un angle avec le cosinus

Lorsque les longueurs sont connues, on peut calculer un angle.

Méthode :
  1. Écrire la formule du cosinus
  2. Calculer le quotient
  3. Utiliser la fonction \(\cos^{-1}\) (ou « arccos ») de la calculatrice
  4. Donner le résultat en degrés

Exemple guidé :

Dans un triangle rectangle, on a : \[ AB=6\text{ cm} \quad \text{et} \quad BC=10\text{ cm} \] Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{B}\).

\(AB\) est adjacent à \(\widehat{B}\) et \(BC\) est l’hypoténuse. \[ \cos(\widehat{B})=\frac{6}{10}=0{,}6 \] \[ \widehat{B}=\cos^{-1}(0{,}6)\approx53^\circ \] Conclusion : \(\widehat{B}\approx53^\circ\).

⚠️ Pièges calculatrice :
  • La calculatrice doit être en mode degrés.
  • Ne pas confondre \(\cos\) et \(\cos^{-1}\).
  • Arrondir correctement (au degré près si demandé).
5️⃣ Problème concret : hauteur d’un objet

Un observateur se trouve à 20 m du pied d’un immeuble. L’angle de vision vers le sommet est de \(35^\circ\). Quelle est la hauteur de l’immeuble ?

On modélise par un triangle rectangle. La hauteur est le côté adjacent à l’angle de \(35^\circ\), la distance au sol est l’hypoténuse. \[ \cos(35^\circ)=\frac{\text{hauteur}}{20} \] \[ \text{hauteur}=20\times\cos(35^\circ)\approx20\times0{,}82\approx16{,}4 \] Conclusion : la hauteur est d’environ \(16{,}4\) m.

6️⃣ Rédaction type (à apprendre)

« Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), on considère l’angle \(\widehat{B}\). Le côté adjacent à \(\widehat{B}\) est \(AB\) et l’hypoténuse est \(BC\). D’après la définition du cosinus : \(\cos(\widehat{B})=\frac{AB}{BC}\). Donc … »