Fiche ultra-synthèse — Agrandissement & réduction
Mémo essentiel : coefficient \(k\), effets sur longueurs/aires/volumes (\(k\), \(k^2\), \(k^3\)),
échelles, unités et conversions — avec les pièges classiques.
1) Coefficient \(k\) (définition)
Deux figures sont semblables si elles ont la même forme.
Le coefficient d’agrandissement/réduction est :
\[
k=\frac{\text{longueur image}}{\text{longueur d’origine}}
\]
- \(k>1\) : agrandissement
- \(0<k<1\) : réduction
- \(k=1\) : même taille
Piège unité
Pour calculer \(k\), il faut des longueurs dans la même unité (cm avec cm, m avec m…).
\(k\) est un nombre sans unité.
2) Règle d’or : \(k\), \(k^2\), \(k^3\)
Si toutes les longueurs sont multipliées par \(k\), alors :
\[
\text{Longueurs} \times k
\qquad
\text{Aires} \times k^2
\qquad
\text{Volumes} \times k^3
\]
| Grandeur | Facteur | Exemple \(k=2\) | Exemple \(k=\frac12\) |
|---|---|---|---|
| Longueur / périmètre | \(\times k\) | \(\times 2\) | \(\times \frac12\) |
| Aire | \(\times k^2\) | \(\times 4\) | \(\times \frac14\) |
| Volume | \(\times k^3\) | \(\times 8\) | \(\times \frac18\) |
Piège n°1 (le plus fréquent)
Ne jamais multiplier une aire par \(k\) : c’est \(\,k^2\).
Ne jamais multiplier un volume par \(k\) : c’est \(\,k^3\).
3) Échelles (plan / carte)
À l’échelle \(1:n\) :
\[
\text{réel} = \text{plan}\times n
\qquad\text{et}\qquad
\text{plan} = \frac{\text{réel}}{n}
\]
Exemple : \(1:50\) → \(1\,cm\) sur le plan correspond à \(50\,cm\) en vrai.
| Plan | Réel | |
|---|---|---|
| Échelle \(1:n\) | \(1\) | \(n\) |
| Distance | \(d_p\) | \(d_r=d_p\times n\) |
Piège n°2 (sens)
Plan → réel : on multiplie par \(n\).
Réel → plan : on divise par \(n\).
4) Unités & conversions (très important)
Longueurs
\(1\,m = 100\,cm\) ; \(1\,cm = 10\,mm\)
Conversions « simples » (facteur 10 / 100).
Aires et volumes
Attention : au carré / au cube !
- \(1\,m^2 = 10\,000\,cm^2\)
- \(1\,m^3 = 1\,000\,000\,cm^3\)
Piège n°3 (au carré / au cube)
Si \(1\,m = 100\,cm\), alors :
\[
1\,m^2 = (100\,cm)^2 = 10\,000\,cm^2
\quad\text{et}\quad
1\,m^3 = (100\,cm)^3 = 1\,000\,000\,cm^3
\]
On élève aussi le facteur à la puissance 2 ou 3.
Mini-tableau de conversions utiles
| Conversion | Équivalence | À retenir |
|---|---|---|
| Volume ↔ capacité | \(1\,dm^3 = 1\,L\) | Très utile pour les volumes |
| \(1\,cm^3 = 1\,mL\) | Encore plus utile | |
| Litres | \(1\,L = 1000\,mL\) | Classique |
5) Méthode express (4 étapes)
- Identifier la grandeur : longueur / aire / volume.
- Trouver \(k\) (ou l’échelle \(1:n\)).
- Appliquer le bon facteur : \(k\), \(k^2\), \(k^3\).
- Contrôler : unités cohérentes + sens (agrandi ou réduit).
Contrôle rapide
Si \(k>1\) : tout doit augmenter.
Si \(0