Exercices premium — Agrandissement & réduction
Coefficient \(k\) • échelles • effets sur longueurs/aires/volumes (\(k\), \(k^2\), \(k^3\)) •
conversions (cm↔m, \(m^2\), \(m^3\), litres). Exercices progressifs avec corrigés afficher/masquer.
Exercice 1 — Calculer le coefficient \(k\)
Une longueur mesure \(8\,cm\) sur la figure d’origine et \(12\,cm\) sur la figure image.
1) Calculer le coefficient \(k\). 2) S’agit-il d’un agrandissement ou d’une réduction ?
1) Calculer le coefficient \(k\). 2) S’agit-il d’un agrandissement ou d’une réduction ?
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1) \[
k=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}=1{,}5
\]
2) \(k>1\), donc c’est un agrandissement.
Exercice 2 — Longueurs : appliquer \(k\)
On fait une réduction de coefficient \(k=0{,}7\).
Une longueur vaut \(15\,cm\) au départ.
Calculer la nouvelle longueur.
Calculer la nouvelle longueur.
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Longueur \(\times k\) :
\[
15\times 0{,}7 = 10{,}5
\]
Nouvelle longueur : \(10{,}5\,cm\).
Exercice 3 — Aires : attention à \(k^2\)
Une figure a une aire de \(36\,cm^2\). On l’agrandit avec \(k=2{,}5\).
Calculer la nouvelle aire.
Calculer la nouvelle aire.
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Aire \(\times k^2\) :
\[
36\times (2{,}5)^2 = 36\times 6{,}25 = 225
\]
Nouvelle aire : \(225\,cm^2\).
Piège
On ne multiplie pas par \(2{,}5\) mais par \((2{,}5)^2\).
Exercice 4 — Volumes : attention à \(k^3\)
Un solide a un volume de \(200\,cm^3\). On le réduit avec \(k=\frac{3}{5}\).
Calculer le nouveau volume.
Calculer le nouveau volume.
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Volume \(\times k^3\) :
\[
200\times\left(\frac{3}{5}\right)^3
= 200\times\frac{27}{125}
= \frac{5400}{125}
= 43{,}2
\]
Nouveau volume : \(43{,}2\,cm^3\).
Exercice 5 — Plan / réel à l’échelle \(1:100\)
Un plan est à l’échelle \(1:100\).
Sur le plan, une pièce mesure \(4{,}8\,cm\) de long et \(3{,}2\,cm\) de large.
1) Donner les dimensions réelles en cm. 2) Donner les dimensions réelles en m. 3) Calculer l’aire réelle de la pièce en \(m^2\).
1) Donner les dimensions réelles en cm. 2) Donner les dimensions réelles en m. 3) Calculer l’aire réelle de la pièce en \(m^2\).
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1) Réel = plan \(\times 100\) :
\[
L=4{,}8\times 100=480\,cm,\quad \ell=3{,}2\times 100=320\,cm
\]
2) Conversion : \(480\,cm=4{,}8\,m\) et \(320\,cm=3{,}2\,m\).
3) Aire réelle :
\[
A=4{,}8\times 3{,}2 = 15{,}36
\]
Aire réelle : \(15{,}36\,m^2\).
Piège
Pour l’aire, on calcule avec les dimensions réelles (en m), pas avec celles du plan.
Exercice 6 — Maquette (échelle \(1:50\)) + volume
Une piscine rectangulaire réelle mesure \(12\,m\) de long, \(5\,m\) de large et \(1{,}6\,m\) de profondeur.
On construit une maquette à l’échelle \(1:50\).
1) Donner les dimensions de la maquette en cm. 2) Calculer le volume réel de la piscine en \(m^3\). 3) Convertir ce volume en litres (rappel : \(1\,m^3=1000\,L\)).
1) Donner les dimensions de la maquette en cm. 2) Calculer le volume réel de la piscine en \(m^3\). 3) Convertir ce volume en litres (rappel : \(1\,m^3=1000\,L\)).
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1) À l’échelle \(1:50\), maquette = réel \(\div 50\).
Convertissons d’abord en cm : \(12\,m=1200\,cm\), \(5\,m=500\,cm\), \(1{,}6\,m=160\,cm\).
\[
L_m=\frac{1200}{50}=24\,cm,\quad \ell_m=\frac{500}{50}=10\,cm,\quad h_m=\frac{160}{50}=3{,}2\,cm
\]
2) Volume réel :
\[
V = 12\times 5\times 1{,}6 = 96\,m^3
\]
3) Conversion :
\[
96\,m^3 = 96\times 1000 = 96\,000\,L
\]
Contrôle
Échelle \(1:50\) → les longueurs sont divisées par 50, mais le volume de la maquette serait divisé par \(50^3\).
Exercice 7 — Façade : effet \(k^2\)
Une façade rectangulaire réelle mesure \(9\,m\) par \(6\,m\).
On réalise un dessin à l’échelle \(1:30\).
1) Calculer l’aire réelle en \(m^2\). 2) Calculer les dimensions sur le dessin en cm. 3) Calculer l’aire sur le dessin en \(cm^2\). 4) Vérifier que l’aire a bien été multipliée par \(k^2\) (avec \(k=\frac{1}{30}\)).
1) Calculer l’aire réelle en \(m^2\). 2) Calculer les dimensions sur le dessin en cm. 3) Calculer l’aire sur le dessin en \(cm^2\). 4) Vérifier que l’aire a bien été multipliée par \(k^2\) (avec \(k=\frac{1}{30}\)).
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1) Aire réelle :
\[
A_r=9\times 6 = 54\,m^2
\]
2) Dimensions sur le dessin : maquette = réel \(\div 30\).
Convertissons en cm : \(9\,m=900\,cm\), \(6\,m=600\,cm\).
\[
L_d=\frac{900}{30}=30\,cm,\quad \ell_d=\frac{600}{30}=20\,cm
\]
3) Aire sur le dessin :
\[
A_d = 30\times 20 = 600\,cm^2
\]
4) Vérification avec \(k=\frac{1}{30}\) :
\[
A_d = A_r \times k^2
\]
Or \(A_r=54\,m^2 = 54\times 10\,000 = 540\,000\,cm^2\).
\[
540\,000 \times \left(\frac{1}{30}\right)^2
= 540\,000\times\frac{1}{900}
= 600\,cm^2
\]
Vérifié ✅
Double conversion
Ici on a dû convertir les aires en \(cm^2\) pour comparer correctement.
Exercice 8 — Retrouver \(k\) à partir d’une aire
Une figure a une aire de \(50\,cm^2\). Après agrandissement, l’aire devient \(200\,cm^2\).
1) Calculer le facteur d’aire. 2) En déduire le coefficient \(k\) (sur les longueurs). 3) Dire si c’est un agrandissement ou une réduction.
1) Calculer le facteur d’aire. 2) En déduire le coefficient \(k\) (sur les longueurs). 3) Dire si c’est un agrandissement ou une réduction.
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1) Facteur d’aire :
\[
\frac{200}{50} = 4
\]
2) Or aire \(\times k^2\), donc \(k^2=4\) d’où \(k=2\) (on prend \(k>0\)).
3) \(k=2>1\) : c’est un agrandissement.
Exercice 9 — Retrouver \(k\) à partir d’un volume
Un solide a un volume de \(216\,cm^3\). Après réduction, le volume devient \(27\,cm^3\).
1) Calculer le facteur de volume. 2) En déduire \(k\) (sur les longueurs). 3) Donner une longueur correspondante si une arête mesurait \(12\,cm\) au départ.
1) Calculer le facteur de volume. 2) En déduire \(k\) (sur les longueurs). 3) Donner une longueur correspondante si une arête mesurait \(12\,cm\) au départ.
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1) Facteur de volume :
\[
\frac{27}{216}=\frac{1}{8}
\]
2) Or volume \(\times k^3\), donc \(k^3=\frac{1}{8}\) d’où \(k=\frac12\).
3) Longueur \(\times k\) :
\[
12\times \frac12 = 6\,cm
\]
Exercice 10 — Problème concret : boîte et conversions
On fabrique une boîte rectangulaire (pavé droit) de dimensions réelles \(30\,cm\), \(20\,cm\), \(15\,cm\).
On en réalise une version réduite avec \(k=0{,}4\).
1) Donner les dimensions de la boîte réduite (en cm). 2) Calculer le volume réel en \(cm^3\). 3) Calculer le volume réduit en \(cm^3\) (en utilisant \(k^3\)). 4) Convertir le volume réduit en mL (rappel : \(1\,cm^3=1\,mL\)).
1) Donner les dimensions de la boîte réduite (en cm). 2) Calculer le volume réel en \(cm^3\). 3) Calculer le volume réduit en \(cm^3\) (en utilisant \(k^3\)). 4) Convertir le volume réduit en mL (rappel : \(1\,cm^3=1\,mL\)).
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1) Dimensions \(\times k\) :
\[
30\times 0{,}4=12,\quad 20\times 0{,}4=8,\quad 15\times 0{,}4=6
\]
Boîte réduite : \(12\,cm\), \(8\,cm\), \(6\,cm\).
2) Volume réel : \[ V_r=30\times 20\times 15=9000\,cm^3 \] 3) Volume réduit : \[ V_d = V_r\times k^3 = 9000\times (0{,}4)^3 = 9000\times 0{,}064 = 576\,cm^3 \] 4) \(1\,cm^3=1\,mL\) donc : \[ 576\,cm^3 = 576\,mL \]
2) Volume réel : \[ V_r=30\times 20\times 15=9000\,cm^3 \] 3) Volume réduit : \[ V_d = V_r\times k^3 = 9000\times (0{,}4)^3 = 9000\times 0{,}064 = 576\,cm^3 \] 4) \(1\,cm^3=1\,mL\) donc : \[ 576\,cm^3 = 576\,mL \]
Piège
Si tu fais « volume = 9000 × 0,4 », tu te trompes : il faut \(0{,}4^3\).