Cours premium — Agrandissement et réduction
Échelles • coefficient \(k\) • effet sur les longueurs, les aires et les volumes
(attention à \(k^2\) et \(k^3\)) • méthodes + tableaux + pièges.
1) Idée de base : coefficient \(k\)
Définition
On parle d’agrandissement ou de réduction quand deux figures ont la même forme (elles sont semblables)
et que toutes les longueurs correspondantes sont multipliées par le même nombre \(k\).
\[
k=\frac{\text{longueur sur la figure agrandie/réduite}}{\text{longueur sur la figure de départ}}
\]
Interprétation
- Si \(k>1\) : agrandissement.
- Si \(0<k<1\) : réduction.
- Si \(k=1\) : même taille.
Piège
\(k\) est un nombre (sans unité).
On le calcule avec deux longueurs dans la même unité.
2) Effets de \(k\) : longueurs, aires, volumes
La règle d’or
Si on multiplie toutes les longueurs par \(k\), alors :
\[
\text{longueurs} \times k
\qquad
\text{aires} \times k^2
\qquad
\text{volumes} \times k^3
\]
Le piège n°1
On n’applique pas \(k\) aux aires et aux volumes !
Pour les aires c’est \(k^2\), pour les volumes c’est \(k^3\).
Tableau-mémo (très utile)
| Grandeur | Facteur | Exemple si \(k=3\) |
|---|---|---|
| Longueur / périmètre | \(\times k\) | \(\times 3\) |
| Aire | \(\times k^2\) | \(\times 9\) |
| Volume | \(\times k^3\) | \(\times 27\) |
Pourquoi ?
Une aire est « en carré » (2 dimensions) → \(k^2\).
Un volume est « en cube » (3 dimensions) → \(k^3\).
3) Échelles (plan, carte, maquette)
Définition
Une échelle est un rapport :
\[
\text{échelle}=\frac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}}
\]
Exemple : échelle \(1:50\) signifie « 1 sur le plan correspond à 50 en vrai » (dans la même unité).
Méthode rapide
- Mettre plan et réel dans la même unité (souvent en cm).
- À l’échelle \(1:n\) : réel = plan \(\times n\).
- Pour une maquette agrandie : échelle \(n:1\) : maquette = réel \(\times n\).
Piège n°2
Oublier de convertir (m ↔ cm).
Une échelle se lit toujours avec des unités cohérentes.
Tableau de proportionnalité (plan ↔ réel)
| Plan | Réel | |
|---|---|---|
| Échelle \(1:n\) | \(1\) | \(n\) |
| Distance | \(d_p\) | \(d_r=d_p\times n\) |
Reflexe
Dans un tableau, tu peux passer de plan à réel en multipliant par \(n\),
et de réel à plan en divisant par \(n\).
4) Exemples guidés
Exemple 1 — Longueurs
Une figure est agrandie avec \(k=1{,}5\). Une longueur vaut \(8\,cm\) au départ.
Quelle est la nouvelle longueur ?
Correction
Longueur \(\times k\) :
\[
8\times 1{,}5 = 12
\]
Nouvelle longueur : \(12\,cm\).
Exemple 2 — Aires (piège \(k^2\))
Une surface fait \(20\,cm^2\). On fait un agrandissement de coefficient \(k=3\).
Quelle est la nouvelle aire ?
Correction
Aire \(\times k^2\) :
\[
20\times 3^2 = 20\times 9 = 180
\]
Nouvelle aire : \(180\,cm^2\).
Piège
Si tu multiplies par 3 seulement, tu te trompes : ce serait \(k\) au lieu de \(k^2\).
Exemple 3 — Volumes (piège \(k^3\))
Un solide a un volume de \(64\,cm^3\). On fait une réduction de coefficient \(k=\frac12\).
Quel est le nouveau volume ?
Correction
Volume \(\times k^3\) :
\[
64\times\left(\frac12\right)^3
=64\times\frac18
=8
\]
Nouveau volume : \(8\,cm^3\).
Exemple 4 — Échelle \(1:200\) (plan ↔ réel)
Sur un plan à l’échelle \(1:200\), une longueur mesure \(3{,}2\,cm\) sur le plan.
Quelle est la longueur réelle (en cm puis en m) ?
Correction
Réel = plan \(\times 200\) :
\[
3{,}2\times 200 = 640\;cm
\]
Conversion : \(640\,cm = 6{,}4\,m\).
Réflexe
Toujours convertir à la fin : ici cm → m.
5) Méthode « pro » en 4 étapes
- Identifier la grandeur demandée : longueur ? aire ? volume ?
- Trouver le coefficient \(k\) (ou l’échelle \(1:n\)).
- Appliquer le bon facteur : \(k\), \(k^2\) ou \(k^3\).
- Contrôler : si \(k>1\) ça augmente ; si \(0
Les 3 pièges à éviter
- Confondre \(k\), \(k^2\), \(k^3\).
- Oublier de mettre les longueurs dans la même unité avant de calculer \(k\).
- Se tromper de sens plan ↔ réel (multiplier au lieu de diviser).