3e • Brevet
Fiche PREMIUM — Théorème de Thalès
Triangles • rapports • agrandissements/réductions • configuration papillon • réciproque.
✅ Méthode Brevet
⚡ Pièges fréquents
📌 Rapports correspondants
∥ Parallélisme
19–20/20
1) Check-list : ai-je le droit d’utiliser Thalès ?
À vérifier
- Je suis dans un triangle \(ABC\).
- \(D \in [AB]\) et \(E \in [AC]\) (ou sur les prolongements).
- Je sais que \((DE)\parallel(BC)\) ou je dois le prouver (réciproque).
🔑 Sans parallélisme, pas de Thalès (sauf si on utilise la réciproque).
2) Formules clés (à écrire proprement)
Théorème de Thalès
Dans le triangle \(ABC\), avec \(D \in [AB]\), \(E \in [AC]\) et \((DE)\parallel(BC)\) :
\[ \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC} \]
⚠️ Toujours comparer des côtés correspondants :
\(AD\leftrightarrow AB\), \(AE\leftrightarrow AC\), \(DE\leftrightarrow BC\).
Réciproque
Dans le triangle \(ABC\), avec \(D \in [AB]\), \(E \in [AC]\) :
\[ \text{Si } \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC} \Rightarrow (DE)\parallel(BC) \]
✅ Sert à prouver un parallélisme (démonstration Brevet).
3) Tableau des correspondances (anti-erreurs)
On ne mélange jamais : on compare « petit triangle » ↔ « grand triangle ».
| Petit triangle | Grand triangle | Rapport correct |
|---|---|---|
| \(AD\) | \(AB\) | \(\dfrac{AD}{AB}\) |
| \(AE\) | \(AC\) | \(\dfrac{AE}{AC}\) |
| \(DE\) | \(BC\) | \(\dfrac{DE}{BC}\) |
⚠️ Erreur classique : écrire \(\dfrac{AD}{AC}\) (mauvaise correspondance).
4) Méthode EXPRESS (Brevet) — calculer une longueur
1
Je cite la config : triangle + points + \(\parallel\).
2
J’écris Thalès avec les bons rapports.
3
Je remplace par les valeurs et je fais un produit en croix.
4
Je conclus par une phrase + unité.
Mini-exemple
Si \(AD=3\), \(AB=7\), \(AE=4{,}5\) et on cherche \(AC\) :
\[ \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC} \Rightarrow \frac{3}{7}=\frac{4{,}5}{AC} \Rightarrow 3\cdot AC = 7\cdot 4{,}5 \Rightarrow AC=\frac{31{,}5}{3}=10{,}5 \]✅ Conclusion : \(AC=10{,}5\).
5) Agrandissement / réduction (coefficient \(k\))
Coefficient
\[
k=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}
\]
- si \(k<1\) : réduction
- si \(k>1\) : agrandissement (points sur les prolongements)
⚠️ Toujours garder la même logique : « petit / grand » ou « grand / petit », mais pas les deux.
6) Configuration « papillon » (très fréquent)
Deux droites sécantes se coupent en \(O\). On identifie deux triangles opposés (en face).
Dès qu’un parallélisme existe, on applique Thalès sur les triangles correspondants.
🔎 Astuce : entoure les deux triangles utilisés et colorie mentalement les côtés correspondants.
Rapport type
\[
\frac{AO}{OB}=\frac{CO}{OD}
\]
7) Pièges premium (ceux qui font perdre 2 points)
À éviter
- Oublier d’écrire \((DE)\parallel(BC)\) dans la rédaction.
- Mauvaise correspondance : comparer \(AD\) avec \(AC\) (interdit).
- Produits en croix mal faits : toujours garder l’inconnue d’un seul côté.
- Pas de conclusion : écrire une phrase complète + unité.
8) Rédaction type Brevet (copiable)
« Dans le triangle \(ABC\), \(D \in [AB]\), \(E \in [AC]\) et \((DE)\parallel(BC)\). D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\). En remplaçant par les valeurs, on obtient … Donc … »