Exercices corrigés — Théorème De Thalès Et Configurations (3e)

1. Pourquoi Thalès s’applique. Les points \(A,M,B\) sont alignés, les points \(A,N,C\) sont alignés et \((MN)\parallel(BC)\). Les triangles \(AMN\) et \(ABC\) sont donc en configuration de Thalès.

2. Rapports homologues.

Pour calculer \(AN\), on utilise les deux premiers rapports :

3. Calcul. \(9\times AN=3\times12=36\), donc \(AN=4\).

4. Vérification. \(\dfrac39=\dfrac13\) et \(\dfrac4{12}=\dfrac13\). De plus \(4<12\), ce qui est cohérent avec \(N\in[AC]\).

Conclusion. \(\boxed{AN=4}\).

1. Configuration. Les triangles \(AMN\) et \(ABC\) sont en configuration de Thalès.

2. Calcul du coefficient.

3. Calcul de \(MN\).

4. Vérification. Le coefficient \(\dfrac25=0{,}4<1\) correspond à une réduction ; \(MN=6<15=BC\).

Conclusion. \(\boxed{MN=6}\).

1. Configuration de Thalès.

2. Remplacement.

3. Produit en croix.

4. Vérification. \(\dfrac5{10}=\dfrac12\) et \(\dfrac48=\dfrac12\). En outre \(AC=8>AN=4\).

Conclusion. \(\boxed{AC=8}\).

Analyse de la figure. Deux droites sécantes se coupent en \(O\). Les côtés \(AB\) et \(CD\) sont parallèles. Les triangles de Thalès sont donc les triangles opposés \(OAB\) et \(OCD\).

Correspondances. \(A\) et \(C\) sont sur la même sécante ; \(B\) et \(D\) sont sur l’autre. Ainsi \(OA\leftrightarrow OC\), \(OB\leftrightarrow OD\) et \(AB\leftrightarrow CD\).

Conséquence. Une relation correcte serait par exemple \[ \dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{AB}{CD}. \]

Vérification conceptuelle. Si l’on inverse seulement un rapport, par exemple \(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OD}{OB}\), on ne compare plus des côtés homologues dans le même ordre : l’écriture devient incorrecte.

Conclusion. La bonne réponse est \(\boxed{\text{l’ordre des points et les côtés homologues}}\). Un angle droit, des côtés égaux ou un cercle ne sont pas des conditions du théorème de Thalès.

1. Configuration. \(M\in[AB]\), \(N\in[AC]\) et \((MN)\parallel(BC)\), donc Thalès s’applique.

2. Remplacement.

3. Produit en croix.

4. Vérification. \(\dfrac58=0{,}625\) et \(\dfrac{7{,}5}{12}=0{,}625\). De plus \(12>7{,}5\).

Conclusion. \(\boxed{AC=12}\).

1. Attention : réciproque. On ne suppose pas que \((MN)\parallel(BC)\). On doit d’abord vérifier les rapports.

2. Longueurs complètes.

3. Comparaison.

4. Vérification des hypothèses. Les points \(A,M,B\) sont alignés dans cet ordre et les points \(A,N,C\) aussi. Les rapports correspondants sont égaux.

Conclusion. Par la réciproque du théorème de Thalès, \(\boxed{(MN)\parallel(BC)}\).

1. Lecture de la figure corrigée. Le point \(O\) est bien l’intersection des deux sécantes. Les points \(E,O,A,C\) sont alignés et les points \(F,O,B,D\) sont alignés. De plus \((AB)\parallel(CD)\).

2. Thalès dans \(OAB\) et \(OCD\).

3. Remplacement et calcul.

4. Vérification. \(\dfrac{2}{5}=0{,}4=\dfrac{2{,}4}{6}\).

Conclusion. \(\boxed{OB=2}\).

1. Configuration papillon. Les triangles \(OAB\) et \(OCD\) sont en configuration de Thalès.

2. Remplacement.

3. Calcul.

4. Vérification. \(\dfrac{1{,}5}{3{,}75}=0{,}4\) et \(\dfrac{2{,}4}{6}=0{,}4\).

Conclusion. \(\boxed{CD=3{,}75}\).

1. Configuration. Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles ; les sécantes \(A-M-D\) et \(B-M-C\) se coupent en \(M\).

2. Remplacement.

3. Calcul. \(\dfrac{3{,}75}{3}=1{,}25=\dfrac54\). Ainsi \[ \dfrac5{MD}=\dfrac54, \] donc \(MD=4\).

4. Vérification. \(\dfrac54=\dfrac{3{,}75}{3}=1{,}25\).

Conclusion. \(\boxed{MD=4}\).

1. Objectif. Il faut démontrer un parallélisme : on utilise donc la réciproque de Thalès. Le dessin ne constitue pas une preuve.

2. Rapports sur les deux sécantes.

3. Vérification des alignements. Les points \(A,O,C\) sont alignés et les points \(B,O,D\) sont alignés, dans les ordres indiqués.

4. Conclusion. Les rapports correspondants sont égaux ; par la réciproque du théorème de Thalès, \[ \boxed{(AB)\parallel(CD)}. \]

1. Coefficient de réduction.

2. Côtés homologues. \(MN\) correspond à \(BC\), donc

3. Calcul.

4. Vérification. \(5{,}1<8{,}5\), ce qui est cohérent avec une réduction.

Conclusion. \(\boxed{MN=5{,}1\text{ cm}}\).

1. Thalès dans le papillon.

2. Remplacement.

3. Calcul.

4. Vérification. \(\dfrac3{7{,}5}=0{,}4=\dfrac4{10}\).

Conclusion. \(\boxed{OB=3\text{ cm}}\).

1. Réflexe réciproque. Le parallélisme n’est ni supposé ni codé dans le dessin final. On compare les rapports.

2. Alignements. \(M\in[AB]\) et \(N\in[AC]\), donc les points sont alignés dans le même ordre.

3. Vérification. Les deux rapports valent exactement \(0{,}75\).

Conclusion. Par la réciproque du théorème de Thalès, \(\boxed{(MN)\parallel(BC)}\).

1. Mise en équation par Thalès.

2. Produit en croix.

3. Factorisation.

4. Admissibilité géométrique. Pour \(x=-4\), \(AM=2x+1=-7\) et \(AC=4x=-16\), ce qui est impossible pour des longueurs. Pour \(x=2\), toutes les longueurs sont positives.

5. Vérification pour \(x=2\). \[ \dfrac{AM}{AB}=\dfrac5{10}=\dfrac12, \qquad \dfrac{AN}{AC}=\dfrac4{8}=\dfrac12. \]

Conclusion. \(\boxed{x=2}\).

1. Lecture de la figure corrigée. Les points \(E,A,B\) sont exactement alignés, les points \(F,A,C\) sont exactement alignés et les segments \(EF\) et \(BC\) sont parallèles.

2. Théorème de Thalès.

3. Remplacement et calcul.

4. Vérification. \(\dfrac{2{,}8}{7}=0{,}4=\dfrac25\). De plus \(EF

Conclusion. \(\boxed{EF=2{,}8}\).

1. Reconstitution des longueurs.

2. Application de Thalès.

3. Résolution.

4. Vérification. \(AM=7{,}5\), \(AB=12{,}5\) et \(\dfrac{7{,}5}{12{,}5}=0{,}6=\dfrac6{10}\).

Conclusion. \(\boxed{x=5{,}5}\).

1. Relation de Thalès.

2. Remplacement.

3. Résolution.

4. Vérification. Pour \(x=5\), \(\dfrac{x+1}{x+4}=\dfrac69=\dfrac23\), égal à \(\dfrac{5{,}4}{8{,}1}\).

Conclusion. \(\boxed{x=5}\).

1. Coefficient de réduction.

2. Longueurs homologues.

3. Périmètre du triangle \(AMN\).

4. Vérification. \(AN=12<20=AC\) et \(MN=7{,}2<12=BC\), ce qui correspond bien à \(k=0{,}6\).

Conclusion. \(\boxed{AN=12,\ MN=7{,}2,\ P_{AMN}=28{,}2}\).

1. Coefficient de réduction.

2. Longueurs homologues.

3. Segments restants.

4. Vérifications. \(21{,}6+8{,}4=30=AC\) et \(18+7=25=AB\).

Conclusion. \(\boxed{AN=21{,}6,\ MN=14{,}4,\ NC=8{,}4,\ MB=7}\).

1. Coefficient de réduction.

2. Longueurs du petit triangle.

3. Segments du quadrilatère.

4. Périmètre de \(MBCN\).

5. Vérification. Les quatre longueurs utilisées sont bien les quatre côtés successifs du quadrilatère \(MBCN\).

Conclusion. \(\boxed{P_{MBCN}=50\text{ cm}}\).

1. Alignement. \(OJ=OK+KJ=12+8=20\) cm.

2. Thalès. Comme \(IJKL\) est un rectangle, \((LK)\parallel(IJ)\), donc \((MK)\parallel(IJ)\). Ainsi

3. Pythagore. Le triangle \(OJI\) est rectangle en \(J\) :

Conclusion. \(\boxed{OJ=20,\ MK=9,\ OI=25}\).

1. Pythagore.

Donc \(RUP\) est rectangle en \(R\).

2. Parallélisme. \((VT)\perp(UR)\) par construction et \((RP)\perp(UR)\), donc \(\boxed{VT\parallel RP}\).

3. Thalès.

Conclusion. \(\boxed{UT=8{,}5\text{ cm},\ VT=7{,}5\text{ cm}}\).

1. Coefficient.

2. Hauteur.

Vérification. \(\dfrac{1{,}6}{2{,}4}=\dfrac{12}{18}=\dfrac23\).

Conclusion. \(\boxed{h=12\text{ m}}\).

1. Premier Thalès.

2. Deuxième rapport.

3. Test de parallélisme.

Les rapports diffèrent, donc \(\boxed{(ZK)\not\parallel(AE)}\).

1. Première parallèle.

2. Deuxième parallèle.

3. Sur \([AB]\). \(AM=32\times\dfrac14=8\), \(AP=24\), donc \(MP=16\).

4. Sur \([AC]\). \(AN=40\times\dfrac14=10\), \(AQ=30\), donc \(NQ=20\).

Conclusion. \(\boxed{MN=14,\ PQ=42,\ MP=16,\ NQ=20}\).

1. Thalès.

2. Périmètre.

3. Équation.

Conclusion. \(\boxed{x=9\text{ cm}}\).

1. Petit triangle. Le coefficient est \(\dfrac{x}{12}\), donc

2. Trapèze. \(MO=12-x\), \(NI=20-\dfrac53x\), donc

3. Égalité.

Le périmètre commun vaut \(4\times9=36\) cm.

Conclusion. \(\boxed{x=9\text{ cm}}\).

1. Thalès.

2. Périmètre.

3. Aire.

car \(x\) est une longueur positive.

Conclusion. \(\boxed{x=11\text{ pour le périmètre ; }x=8\text{ pour l’aire}}\).

1. Pythagore.

2. Coefficient. \(DA=24\), donc \(\dfrac{DA}{DM}=2\). Ainsi \(DG=2\times DF=70\), d’où \(FG=70-35=35\) km.

3. Côté homologue.

4. Parcours.

Conclusion. \(\boxed{158\text{ km}}\).

1. Deux applications de Thalès.

Donc

2. Calcul de \(AD\).

3. Calcul de \(AE\).

4. Différences.

Conclusion. \(\boxed{AD=40,\ AE=30,\ FD=15,\ DB=24}\).