3e • Brevet
Cours PREMIUM — Théorème de Thalès
Configurations • rapports • agrandissements / réductions • papillon • réciproque.
📐 Triangles
∥ Parallélisme
🔁 Réciproque
🦋 Papillon
Brevet 19–20/20
1) Check-list : ai-je le droit d’utiliser Thalès ?
À vérifier
- Je suis dans un triangle \(ABC\).
- \(D \in [AB]\) et \(E \in [AC]\) (ou sur les prolongements).
- Je sais que \((DE)\parallel(BC)\) ou je dois le prouver (réciproque).
🔑 Sans parallélisme, pas de Thalès
(sauf si on utilise la réciproque).
2) Théorème de Thalès (formule fondamentale)
Théorème de Thalès
Dans le triangle \(ABC\), avec \(D \in [AB]\), \(E \in [AC]\) et \((DE)\parallel(BC)\) :
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \]
⚠️ Les rapports doivent comparer des
côtés correspondants.
3) Correspondances des côtés (clé anti-erreurs)
On compare toujours le petit triangle
avec le grand triangle.
| Petit triangle | Grand triangle | Rapport correct |
|---|---|---|
| \(AD\) | \(AB\) | \(\dfrac{AD}{AB}\) |
| \(AE\) | \(AC\) | \(\dfrac{AE}{AC}\) |
| \(DE\) | \(BC\) | \(\dfrac{DE}{BC}\) |
❌ Erreur classique : écrire \(\dfrac{AD}{AC}\).
4) Agrandissement et réduction
Coefficient
\[
k = \frac{AD}{AB}
= \frac{AE}{AC}
= \frac{DE}{BC}
\]
- \(k < 1\) : réduction
- \(k > 1\) : agrandissement (points sur les prolongements)
📌 Toujours garder la même logique :
« petit / grand » ou « grand / petit ».
5) Configuration « papillon »
Deux droites sécantes se coupent en \(O\). On utilise les triangles opposés par le sommet.
🔎 Astuce Brevet :
repérer les parallèles avant d’écrire les rapports.
Rapport type
\[
\frac{AO}{OB} = \frac{CO}{OD}
\]
6) Réciproque du théorème de Thalès
Réciproque
Dans le triangle \(ABC\), avec \(D \in [AB]\) et \(E \in [AC]\) :
\[ \text{Si } \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \quad \Rightarrow \quad (DE)\parallel(BC) \]
✅ Sert à prouver un parallélisme
(démonstration Brevet).
7) Méthode Brevet (toujours la même)
- Identifier les triangles utilisés
- Vérifier ou prouver le parallélisme
- Écrire Thalès (ou la réciproque)
- Effectuer le produit en croix
- Conclure par une phrase complète