Comme \((DE)\parallel(BC)\), d’après Thalès : \[\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.\] On remplace : \[\frac{5}{12}=\frac{AE}{9}.\] Produit en croix : \(5\cdot 9=12\cdot AE\) donc \[AE=\frac{45}{12}=\frac{15}{4}=3{,}75.\] Réponse : \(\boxed{AE=3{,}75}\).
Thalès : \[\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}.\] Donc \[\frac{6}{BC}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.\] Produit en croix : \(6\cdot 5=2\cdot BC\) donc \[BC=\frac{30}{2}=15.\] Réponse : \(\boxed{BC=15}\).
Les côtés correspondants sont : \(AD\leftrightarrow AB\) et \(AE\leftrightarrow AC\). Donc le bon rapport est \[\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.\] Réponse : \(\boxed{B}\).
On calcule : \[\frac{AD}{AB}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}.\]
Et \[\frac{AE}{AC}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}.\]
Les rapports sont égaux, donc par la réciproque de Thalès, \((DE)\parallel(BC)\). Réponse : \(\boxed{\text{OUI}}\).
On calcule : \[\frac{AD}{AB}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}.\]
Et \[\frac{AE}{AC}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}.\]
Or \(\frac{3}{8}\neq\frac{5}{12}\). Donc la réciproque ne s’applique pas : on ne peut pas affirmer le parallélisme. Réponse : \(\boxed{\text{NON}}\).
On a \[k=\frac{AD}{AB}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}.\] Réponse : \(\boxed{k=\frac{1}{3}}\).
Même en prolongement, la correspondance reste \(AD\leftrightarrow AB\), \(AE\leftrightarrow AC\). Thalès : \[\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.\]
Donc \[\frac{12}{5}=\frac{AE}{7}.\]
Produit en croix : \(12\cdot 7=5\cdot AE\), donc \[AE=\frac{84}{5}=16{,}8.\]
Réponse : \(\boxed{AE=16{,}8}\).
Les triangles \(AOC\) et \(BOD\) sont en configuration de Thalès (droites sécantes en \(O\) et \((AC)\parallel(BD)\)). On écrit : \[\frac{AO}{OB}=\frac{CO}{OD}.\]
Donc \[\frac{4}{6}=\frac{5}{OD}\Rightarrow \frac{2}{3}=\frac{5}{OD}.\]
Produit en croix : \(2\cdot OD=3\cdot 5\), donc \[OD=\frac{15}{2}=7{,}5.\]
Réponse : \(\boxed{OD=7{,}5}\).
Thalès : \[\frac{AO}{OB}=\frac{CO}{OD}.\]
On remplace : \[\frac{3}{9}=\frac{CO}{12}\Rightarrow \frac{1}{3}=\frac{CO}{12}.\]
Donc \(CO=12\cdot\frac{1}{3}=4\). Réponse : \(\boxed{CO=4}\).
Thalès : \[\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.\]
Donc \[\frac{AD}{15}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}.\]
Ainsi \(AD=15\cdot\frac{2}{5}=6\). Réponse : \(\boxed{AD=6}\).
Thalès : \[\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}.\]
Donc \[\frac{DE}{18}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.\]
Ainsi \(DE=18\cdot\frac{1}{3}=6\). Réponse : \(\boxed{DE=6}\).
Thalès : \[\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\Rightarrow AE=AC\cdot\frac{AD}{AB}.\]
Donc \[AE=10\cdot\frac{5{,}2}{13}.\]
Or \(\frac{5{,}2}{13}=0{,}4\) (car \(13\cdot 0{,}4=5{,}2\)). Ainsi \(AE=10\cdot 0{,}4=4\). Réponse : \(\boxed{AE=4}\).
Pour avoir \((DE)\parallel(BC)\), il faut (réciproque) : \[\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.\]
Donc \[\frac{5}{12}=\frac{AE}{18}.\]
Produit en croix : \(5\cdot 18=12\cdot AE\), donc \[AE=\frac{90}{12}=\frac{15}{2}=7{,}5.\]
Réponse : \(\boxed{AE=7{,}5}\).
On a \(k=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}\). Et \(\dfrac{DE}{BC}=k\), donc \[DE=BC\cdot k=30\cdot\frac{1}{3}=10.\] Réponse : \(\boxed{DE=10}\).
Le rapport « photo » est constant (même prise de vue), donc \[\frac{6}{3}=\frac{H}{1{,}2}.\]
Or \(\frac{6}{3}=2\). Donc \(H=2\times 1{,}2=2{,}4\). Réponse : \(\boxed{H=2{,}4\text{ m}}\).
Thalès : \[\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.\]
Donc \[AC=AE\cdot\frac{AB}{AD}=6\cdot\frac{11}{4}=\frac{66}{4}=\frac{33}{2}=16{,}5.\]
Réponse : \(\boxed{AC=16{,}5}\).
Thalès (même correspondance) : \[\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}.\]
Donc \[\frac{15}{BC}=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}.\]
Produit en croix : \(15\cdot 2=5\cdot BC\) donc \[BC=\frac{30}{5}=6.\]
Réponse : \(\boxed{BC=6}\).
Les triangles \(AOC\) et \(BOD\) sont semblables (parallèles). Les côtés correspondants sont \(AO\leftrightarrow OB\) et \(CO\leftrightarrow OD\). Donc \[\frac{AO}{OB}=\frac{CO}{OD}.\] Réponse : \(\boxed{B}\).
Coefficient : \[k=\frac{AD}{AB}=\frac{9}{24}=\frac{3}{8}.\]
Puis \(\dfrac{DE}{BC}=k\) donc \[DE=BC\cdot k=16\cdot\frac{3}{8}=2\cdot 3=6.\]
Réponse : \(\boxed{DE=6}\).
On calcule : \[\frac{AD}{AB}=\frac{15}{27}=\frac{5}{9}.\]
Et \[\frac{AE}{AC}=\frac{10}{18}=\frac{5}{9}.\]
Les rapports sont égaux, donc par la réciproque de Thalès, \((DE)\parallel(BC)\). Réponse : \(\boxed{\text{OUI}}\).
Quiz HARD — Théorème de Thalès, configurations et réciproque (20 questions)
Objectif Brevet 19–20/20 : rapports correspondants • agrandissement/réduction • réciproque • papillon • problèmes d’échelle. Zéro question basique.
Exercice 1. Dans le triangle \(ABC\), \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\) et \((DE)\parallel(BC)\). On donne \(AB=12\), \(AC=9\), \(AD=5\). Calculer \(AE\).
Non vérifié
Indice
Écrire \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\).
Exercice 2. Dans \(ABC\), \((DE)\parallel(BC)\). On a \(AD=4\), \(AB=10\), \(DE=6\). Calculer \(BC\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}\).
Exercice 3. Dans \(ABC\), \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\), \((DE)\parallel(BC)\). Quel rapport est CORRECT ?
A) \(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)
B) \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)
C) \(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)
Répondre : A, B ou C.
Non vérifié
Indice
Comparer petit triangle \(ADE\) au grand \(ABC\).
Exercice 4. Dans le triangle \(ABC\), \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\). On donne \(AB=14\), \(AC=21\), \(AD=6\), \(AE=9\). Peut-on conclure que \((DE)\parallel(BC)\) ? Répondre OUI ou NON.
Non vérifié
Indice
Comparer \(\dfrac{AD}{AB}\) et \(\dfrac{AE}{AC}\).
Exercice 5. Dans \(ABC\), \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\). \(AB=16\), \(AC=24\), \(AD=6\), \(AE=10\). Peut-on conclure que \((DE)\parallel(BC)\) ? (OUI/NON)
Non vérifié
Indice
Comparer \(\frac{6}{16}\) et \(\frac{10}{24}\) en fractions simplifiées.
Exercice 6. Dans \(ABC\), \((DE)\parallel(BC)\). \(AB=18\) et \(AD=6\). Calculer le coefficient \(k\) (réduction) défini par \(k=\dfrac{AD}{AB}\).
Non vérifié
Indice
C’est juste un quotient.
Exercice 7. Dans le triangle \(ABC\), \(D\) est sur le prolongement de \([AB]\) au-delà de \(B\), \(E\) sur le prolongement de \([AC]\) au-delà de \(C\). On sait \((DE)\parallel(BC)\). \(AB=5\), \(AD=12\), \(AC=7\). Calculer \(AE\).
Non vérifié
Indice
Même formule : \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\).
Exercice 8. Configuration « papillon » : \(A,O,B\) alignés, \(C,O,D\) alignés et \((AC)\parallel(BD)\). On donne \(AO=4\), \(OB=6\), \(CO=5\). Calculer \(OD\).
Non vérifié
Indice
Thalès : \(\dfrac{AO}{OB}=\dfrac{CO}{OD}\).
Exercice 9. Papillon : \(A,O,B\) alignés, \(C,O,D\) alignés, \((AC)\parallel(BD)\). \(AO=3\), \(OB=9\), \(OD=12\). Calculer \(CO\).
Non vérifié
Indice
Utiliser \(\dfrac{AO}{OB}=\dfrac{CO}{OD}\).
Exercice 10. Dans \(ABC\), \((DE)\parallel(BC)\). \(AB=15\), \(AC=20\), \(AE=8\). Calculer \(AD\).
Non vérifié
Indice
\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\).
Exercice 11. Dans \(ABC\), \((DE)\parallel(BC)\). \(AB=9\), \(AD=3\), \(BC=18\). Calculer \(DE\).
Non vérifié
Indice
Même coefficient : \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}\).
Exercice 12. Dans \(ABC\), \((DE)\parallel(BC)\). \(AB=13\), \(AD=5{,}2\), \(AC=10\). Calculer \(AE\).
Non vérifié
Indice
Proportion : \(AE=AC\cdot\dfrac{AD}{AB}\).
Exercice 13. Dans \(ABC\), \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\). On veut \((DE)\parallel(BC)\). Données : \(AB=12\), \(AC=18\), \(AD=5\). Quelle valeur doit avoir \(AE\) ?
Non vérifié
Indice
Imposer \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\).
Exercice 14. Dans \(ABC\), \((DE)\parallel(BC)\). \(AB=21\), \(AD=7\), \(BC=30\). Calculer \(DE\).
Non vérifié
Indice
Coefficient \(k=\dfrac{AD}{AB}\).
Exercice 15. Sur une photo, une statue mesure \(6\) cm. Sur la même photo, un bâton de \(1{,}2\) m mesure \(3\) cm. Calculer la hauteur réelle de la statue (en m).
Non vérifié
Indice
Même agrandissement : \(\dfrac{6}{3}=\dfrac{H}{1{,}2}\).
Exercice 16. Dans \(ABC\), \((DE)\parallel(BC)\). \(AB=11\), \(AD=4\), \(AE=6\). Calculer \(AC\).
Non vérifié
Indice
\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\Rightarrow AC=AE\cdot\dfrac{AB}{AD}\).
Exercice 17. Dans \(ABC\), \((DE)\parallel(BC)\) et \(D\) est sur le prolongement de \([AB]\). \(AB=8\), \(AD=20\), \(DE=15\). Calculer \(BC\).
Non vérifié
Indice
Même formule : \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}\).
Exercice 18. Papillon : \(A,O,B\) alignés, \(C,O,D\) alignés, \((AC)\parallel(BD)\). Quel rapport est correct ?
A) \(\dfrac{AO}{CO}=\dfrac{OB}{OD}\)
B) \(\dfrac{AO}{OB}=\dfrac{CO}{OD}\)
C) \(\dfrac{AO}{OD}=\dfrac{CO}{OB}\)
Répondre : A, B ou C.
Non vérifié
Indice
Comparer les triangles \(AOC\) et \(BOD\).
Exercice 19. Dans \(ABC\), \((DE)\parallel(BC)\). \(AB=24\), \(AD=9\), \(BC=16\). Calculer \(DE\).
Non vérifié
Indice
Calcule d’abord \(k=\dfrac{AD}{AB}\).
Exercice 20. Dans \(ABC\), \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\). On mesure : \(AB=27\), \(AC=18\), \(AD=15\), \(AE=10\). Peut-on conclure que \((DE)\parallel(BC)\) ? (OUI/NON)
Non vérifié
Indice
Simplifier \(\dfrac{15}{27}\) et \(\dfrac{10}{18}\).