Thales Et Configurations

Q2. Dans le triangle \(ABC\), \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\) et \((DE)\parallel(BC)\). On donne \(AB=12\), \(AC=9\), \(AD=5\). Calculer \(AE\). Non vérifié

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Écrire \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\).

Correction

Comme \((DE)\parallel(BC)\), d’après Thalès : \[\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.\] On remplace : \[\frac{5}{12}=\frac{AE}{9}.\] Produit en croix : \(5\cdot 9=12\cdot AE\) donc \[AE=\frac{45}{12}=\frac{15}{4}=3{,}75.\] Réponse : \(\boxed{AE=3{,}75}\).

Q3. Dans \(ABC\), \((DE)\parallel(BC)\). On a \(AD=4\), \(AB=10\), \(DE=6\). Calculer \(BC\). Non vérifié

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Utiliser \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}\).

Correction

Thalès : \[\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}.\] Donc \[\frac{6}{BC}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.\] Produit en croix : \(6\cdot 5=2\cdot BC\) donc \[BC=\frac{30}{2}=15.\] Réponse : \(\boxed{BC=15}\).

Q4. Dans \(ABC\), \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\), \((DE)\parallel(BC)\). Quel rapport est CORRECT ? A) \(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\) B) \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\) C) \(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\) Répondre : A, B ou C. Non vérifié

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Comparer petit triangle \(ADE\) au grand \(ABC\).

Correction

Les côtés correspondants sont : \(AD\leftrightarrow AB\) et \(AE\leftrightarrow AC\). Donc le bon rapport est \[\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.\] Réponse : \(\boxed{B}\).

Q5. Dans le triangle \(ABC\), \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\). On donne \(AB=14\), \(AC=21\), \(AD=6\), \(AE=9\). Peut-on conclure que \((DE)\parallel(BC)\) ? Répondre OUI ou NON. Non vérifié

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Comparer \(\dfrac{AD}{AB}\) et \(\dfrac{AE}{AC}\).

Correction

On calcule : \[\frac{AD}{AB}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}.\] Et \[\frac{AE}{AC}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}.\] Les rapports sont égaux, donc par la réciproque de Thalès, \((DE)\parallel(BC)\). Réponse : \(\boxed{\text{OUI}}\).

Q6. Dans \(ABC\), \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\). \(AB=16\), \(AC=24\), \(AD=6\), \(AE=10\). Peut-on conclure que \((DE)\parallel(BC)\) ? (OUI/NON) Non vérifié

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Comparer \(\frac{6}{16}\) et \(\frac{10}{24}\) en fractions simplifiées.

Correction

On calcule : \[\frac{AD}{AB}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}.\] Et \[\frac{AE}{AC}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}.\] Or \(\frac{3}{8}\neq\frac{5}{12}\). Donc la réciproque ne s’applique pas : on ne peut pas affirmer le parallélisme. Réponse : \(\boxed{\text{NON}}\).

Q7. Dans \(ABC\), \((DE)\parallel(BC)\). \(AB=18\) et \(AD=6\). Calculer le coefficient \(k\) (réduction) défini par \(k=\dfrac{AD}{AB}\). Non vérifié

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C’est juste un quotient.

Correction

On a \[k=\frac{AD}{AB}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}.\] Réponse : \(\boxed{k=\frac{1}{3}}\).

Q8. Dans le triangle \(ABC\), \(D\) est sur le prolongement de \([AB]\) au-delà de \(B\), \(E\) sur le prolongement de \([AC]\) au-delà de \(C\). On sait \((DE)\parallel(BC)\). \(AB=5\), \(AD=12\), \(AC=7\). Calculer \(AE\). Non vérifié

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Même formule : \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\).

Correction

Même en prolongement, la correspondance reste \(AD\leftrightarrow AB\), \(AE\leftrightarrow AC\). Thalès : \[\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.\] Donc \[\frac{12}{5}=\frac{AE}{7}.\] Produit en croix : \(12\cdot 7=5\cdot AE\), donc \[AE=\frac{84}{5}=16{,}8.\] Réponse : \(\boxed{AE=16{,}8}\).

Q9. Configuration « papillon » : \(A,O,B\) alignés, \(C,O,D\) alignés et \((AC)\parallel(BD)\). On donne \(AO=4\), \(OB=6\), \(CO=5\). Calculer \(OD\). Non vérifié

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Thalès : \(\dfrac{AO}{OB}=\dfrac{CO}{OD}\).

Correction

Les triangles \(AOC\) et \(BOD\) sont en configuration de Thalès (droites sécantes en \(O\) et \((AC)\parallel(BD)\)). On écrit : \[\frac{AO}{OB}=\frac{CO}{OD}.\] Donc \[\frac{4}{6}=\frac{5}{OD}\Rightarrow \frac{2}{3}=\frac{5}{OD}.\] Produit en croix : \(2\cdot OD=3\cdot 5\), donc \[OD=\frac{15}{2}=7{,}5.\] Réponse : \(\boxed{OD=7{,}5}\).

Q10. Papillon : \(A,O,B\) alignés, \(C,O,D\) alignés, \((AC)\parallel(BD)\). \(AO=3\), \(OB=9\), \(OD=12\). Calculer \(CO\). Non vérifié

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Utiliser \(\dfrac{AO}{OB}=\dfrac{CO}{OD}\).

Correction

Thalès : \[\frac{AO}{OB}=\frac{CO}{OD}.\] On remplace : \[\frac{3}{9}=\frac{CO}{12}\Rightarrow \frac{1}{3}=\frac{CO}{12}.\] Donc \(CO=12\cdot\frac{1}{3}=4\). Réponse : \(\boxed{CO=4}\).

Q11. Dans \(ABC\), \((DE)\parallel(BC)\). \(AB=15\), \(AC=20\), \(AE=8\). Calculer \(AD\). Non vérifié

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\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\).

Correction

Thalès : \[\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.\] Donc \[\frac{AD}{15}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}.\] Ainsi \(AD=15\cdot\frac{2}{5}=6\). Réponse : \(\boxed{AD=6}\).

Q12. Dans \(ABC\), \((DE)\parallel(BC)\). \(AB=9\), \(AD=3\), \(BC=18\). Calculer \(DE\). Non vérifié

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Même coefficient : \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}\).

Correction

Thalès : \[\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}.\] Donc \[\frac{DE}{18}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.\] Ainsi \(DE=18\cdot\frac{1}{3}=6\). Réponse : \(\boxed{DE=6}\).

Q13. Dans \(ABC\), \((DE)\parallel(BC)\). \(AB=13\), \(AD=5{,}2\), \(AC=10\). Calculer \(AE\). Non vérifié

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Proportion : \(AE=AC\cdot\dfrac{AD}{AB}\).

Correction

Thalès : \[\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\Rightarrow AE=AC\cdot\frac{AD}{AB}.\] Donc \[AE=10\cdot\frac{5{,}2}{13}.\] Or \(\frac{5{,}2}{13}=0{,}4\) (car \(13\cdot 0{,}4=5{,}2\)). Ainsi \(AE=10\cdot 0{,}4=4\). Réponse : \(\boxed{AE=4}\).

Q14. Dans \(ABC\), \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\). On veut \((DE)\parallel(BC)\). Données : \(AB=12\), \(AC=18\), \(AD=5\). Quelle valeur doit avoir \(AE\) ? Non vérifié

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Imposer \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\).

Correction

Pour avoir \((DE)\parallel(BC)\), il faut (réciproque) : \[\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.\] Donc \[\frac{5}{12}=\frac{AE}{18}.\] Produit en croix : \(5\cdot 18=12\cdot AE\), donc \[AE=\frac{90}{12}=\frac{15}{2}=7{,}5.\] Réponse : \(\boxed{AE=7{,}5}\).

Q15. Dans \(ABC\), \((DE)\parallel(BC)\). \(AB=21\), \(AD=7\), \(BC=30\). Calculer \(DE\). Non vérifié

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Coefficient \(k=\dfrac{AD}{AB}\).

Correction

On a \(k=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}\). Et \(\dfrac{DE}{BC}=k\), donc \[DE=BC\cdot k=30\cdot\frac{1}{3}=10.\] Réponse : \(\boxed{DE=10}\).

Q16. Sur une photo, une statue mesure \(6\) cm. Sur la même photo, un bâton de \(1{,}2\) m mesure \(3\) cm. Calculer la hauteur réelle de la statue (en m). Non vérifié

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Même agrandissement : \(\dfrac{6}{3}=\dfrac{H}{1{,}2}\).

Correction

Le rapport « photo » est constant (même prise de vue), donc \[\frac{6}{3}=\frac{H}{1{,}2}.\] Or \(\frac{6}{3}=2\). Donc \(H=2\times 1{,}2=2{,}4\). Réponse : \(\boxed{H=2{,}4\text{ m}}\).

Q17. Dans \(ABC\), \((DE)\parallel(BC)\). \(AB=11\), \(AD=4\), \(AE=6\). Calculer \(AC\). Non vérifié

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\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\Rightarrow AC=AE\cdot\dfrac{AB}{AD}\).

Correction

Thalès : \[\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.\] Donc \[AC=AE\cdot\frac{AB}{AD}=6\cdot\frac{11}{4}=\frac{66}{4}=\frac{33}{2}=16{,}5.\] Réponse : \(\boxed{AC=16{,}5}\).

Q18. Dans \(ABC\), \((DE)\parallel(BC)\) et \(D\) est sur le prolongement de \([AB]\). \(AB=8\), \(AD=20\), \(DE=15\). Calculer \(BC\). Non vérifié

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Même formule : \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}\).

Correction

Thalès (même correspondance) : \[\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}.\] Donc \[\frac{15}{BC}=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}.\] Produit en croix : \(15\cdot 2=5\cdot BC\) donc \[BC=\frac{30}{5}=6.\] Réponse : \(\boxed{BC=6}\).

Q19. Papillon : \(A,O,B\) alignés, \(C,O,D\) alignés, \((AC)\parallel(BD)\). Quel rapport est correct ? A) \(\dfrac{AO}{CO}=\dfrac{OB}{OD}\) B) \(\dfrac{AO}{OB}=\dfrac{CO}{OD}\) C) \(\dfrac{AO}{OD}=\dfrac{CO}{OB}\) Répondre : A, B ou C. Non vérifié

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Comparer les triangles \(AOC\) et \(BOD\).

Correction

Les triangles \(AOC\) et \(BOD\) sont semblables (parallèles). Les côtés correspondants sont \(AO\leftrightarrow OB\) et \(CO\leftrightarrow OD\). Donc \[\frac{AO}{OB}=\frac{CO}{OD}.\] Réponse : \(\boxed{B}\).

Q20. Dans \(ABC\), \((DE)\parallel(BC)\). \(AB=24\), \(AD=9\), \(BC=16\). Calculer \(DE\). Non vérifié

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Calcule d’abord \(k=\dfrac{AD}{AB}\).

Correction

Coefficient : \[k=\frac{AD}{AB}=\frac{9}{24}=\frac{3}{8}.\] Puis \(\dfrac{DE}{BC}=k\) donc \[DE=BC\cdot k=16\cdot\frac{3}{8}=2\cdot 3=6.\] Réponse : \(\boxed{DE=6}\).

Q21. Dans \(ABC\), \(D\in[AB]\), \(E\in[AC]\). On mesure : \(AB=27\), \(AC=18\), \(AD=15\), \(AE=10\). Peut-on conclure que \((DE)\parallel(BC)\) ? (OUI/NON) Non vérifié

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Simplifier \(\dfrac{15}{27}\) et \(\dfrac{10}{18}\).

Correction

On calcule : \[\frac{AD}{AB}=\frac{15}{27}=\frac{5}{9}.\] Et \[\frac{AE}{AC}=\frac{10}{18}=\frac{5}{9}.\] Les rapports sont égaux, donc par la réciproque de Thalès, \((DE)\parallel(BC)\). Réponse : \(\boxed{\text{OUI}}\).