Fiche Brevet — Proportionnalité, pourcentages & échelles
L’essentiel à savoir sans détour : formules clés, méthodes sûres, pièges classiques et exemples types Brevet.
Formules
Méthodes
Pièges
Brevet
1) Proportionnalité — l’essentiel
\[
y = kx
\]
Deux grandeurs sont proportionnelles s’il existe un nombre constant \(k\) appelé coefficient de proportionnalité.
- Test du quotient : \(\dfrac{y}{x}\) est constant.
- Test graphique : droite passant par \((0;0)\).
- Tableau : on multiplie toujours par le même nombre.
⚠️ Attention : « augmenter ensemble » ≠ proportionnalité.
2) Tableaux de proportionnalité
- Coefficient : \(k=\dfrac{\text{ligne 2}}{\text{ligne 1}}\).
- Retour à l’unité : on calcule la valeur pour 1.
- Produit en croix : \[ \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\;\Longleftrightarrow\;a\times d=b\times c \]
3) Pourcentages — bases
\[
p\%=\frac{p}{100}
\]
- Calculer \(p\%\) de \(V\) : \(\dfrac{p}{100}\times V\)
- Retrouver le total : \(T=\dfrac{V}{p/100}\)
Exemples :
\[ 15\%\text{ de }200 = 0,15\times 200 = 30 \] \[ 60 = 20\%\text{ du total} \Rightarrow T=\frac{60}{0,20}=300 \]4) Taux d’évolution
\[
\text{taux}=\frac{\text{final}-\text{initial}}{\text{initial}}
\]
- Augmentation de \(p\%\) : coefficient \(1+\dfrac{p}{100}\)
- Diminution de \(p\%\) : coefficient \(1-\dfrac{p}{100}\)
\[
\text{final}=\text{initial}\times (1+t)
\]
⚠️ Piège majeur : −20% puis +20% ≠ retour au prix initial.
5) Évolutions successives
\[
\text{final}=\text{initial}\times (1+t_1)\times(1+t_2)
\]
On multiplie les coefficients, jamais les pourcentages.
6) Échelles
\[
\text{échelle}=\frac{\text{longueur plan}}{\text{longueur réelle}}
\]
- Échelle \(1:n\) : 1 cm sur le plan = \(n\) cm en réalité.
- Plan → réel : on multiplie par \(n\).
- Réel → plan : on divise par \(n\).
- Mêmes unités obligatoires.
\[
2{,}5\text{ cm à }1:10\,000 \Rightarrow
2{,}5\times 10\,000=25\,000\text{ cm}=250\text{ m}
\]
Mémo Brevet — à savoir par cœur
- Proportionnalité ⇔ \(y=kx\) et droite par \((0;0)\).
- \(p\%=\dfrac{p}{100}\).
- Taux = \(\dfrac{\text{final}-\text{initial}}{\text{initial}}\).
- Coeff. multiplicateur : \(1\pm\dfrac{p}{100}\).
- Évolutions successives → on multiplie les coefficients.
- Échelle : mêmes unités, sens plan ↔ réel.