Objectif Brevet : savoir reconnaître une situation de proportionnalité, compléter un tableau, utiliser le coefficient de proportionnalité, maîtriser les pourcentages (taux d’évolution) et les échelles.
- Proportionnalité : « si je multiplie une grandeur par un nombre, l’autre est multipliée par le même nombre ».
- Dans un tableau de proportionnalité, on passe d’une ligne à l’autre en multipliant par un coefficient (constant).
- Pourcentage : p% signifie p/100.
- Taux d’évolution : passage d’une valeur initiale à une valeur finale (augmentation/diminution).
- Échelle : rapport entre une longueur sur le plan et la longueur réelle (avec la même unité).
Deux grandeurs \(x\) et \(y\) sont proportionnelles s’il existe un nombre \(k\) tel que :
\[ y = kx \]Le nombre \(k\) s’appelle le coefficient de proportionnalité.
- Test du quotient : si \(\dfrac{y}{x}\) est constant (pour plusieurs couples), alors c’est proportionnel.
- Test du graphique : le nuage de points est aligné sur une droite qui passe par l’origine \((0;0)\).
- Contre-exemples fréquents : tarif avec abonnement fixe, réduction « -10€ », température ↔ ressentie… (pas proportionnel).
« Plus \(x\) augmente, plus \(y\) augmente » ne suffit pas ! Il faut un coefficient constant ou une droite passant par \((0;0)\).
On calcule \(k\) avec une colonne connue : \(k=\dfrac{\text{ligne 2}}{\text{ligne 1}}\), puis on multiplie.
Utile si les nombres « tombent » bien : on cherche la valeur pour \(1\), puis on multiplie.
Dans un tableau de proportionnalité :
On utilise le produit en croix pour trouver l’inconnue.
3 cahiers coûtent 4,50 €. Combien coûtent 8 cahiers ?
\[ k=\frac{4,50}{3}=1,50 \quad(\text{prix d’un cahier}) \] \[ 8 \text{ cahiers} \Rightarrow 8\times 1,50 = 12,00 \]Réponse : 8 cahiers coûtent 12 €.
Exemple : \(15\%=\frac{15}{100}=0,15\).
Exemple : \(12\%\) de \(250\) : \(\;0,12\times 250 = 30\).
Si \(V\) représente \(p\%\) du total \(T\), alors :
Exemple : 45 élèves représentent \(60\%\). Alors \(T=\dfrac{45}{0,60}=75\).
On exprime ensuite en pourcentage : \(\text{taux}\times 100\%\).
Si le taux est \(t\) (en écriture décimale), alors :
- Augmentation de \(p\%\) : \(t=\dfrac{p}{100}\) donc coefficient \(1+\dfrac{p}{100}\).
- Diminution de \(p\%\) : coefficient \(1-\dfrac{p}{100}\).
+15% sur 80 :
\[ 80\times\left(1+\frac{15}{100}\right)=80\times 1,15=92 \]-20% sur 150 :
\[ 150\times\left(1-\frac{20}{100}\right)=150\times 0,80=120 \]Si on baisse de \(20\%\), puis on augmente de \(20\%\), on ne revient pas au départ : \[ \times 0,80 \text{ puis } \times 1,20 \Rightarrow \times 0,96 \] Donc on finit à \(96\%\) du départ.
Deux évolutions successives de taux \(t_1\) puis \(t_2\) donnent :
\[ \text{final}=\text{initial}\times (1+t_1)\times(1+t_2) \]Prix 100 €, remise de 10% puis de 20% :
\[ 100\times 0,90\times 0,80 = 72 \]Prix final : 72 € (réduction totale 28%).
Une échelle est un rapport : \[ \text{échelle}=\frac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur réelle}} \] Attention : il faut la même unité (souvent en cm).
- \(1:100\) signifie : 1 cm sur le plan représente 100 cm en réalité (soit 1 m).
- Plan → réel : on multiplie par \(n\).
- Réel → plan : on divise par \(n\).
Échelle \(1:25\,000\). Sur la carte, la distance est 3,2 cm.
\[ \text{réel} = 3,2\times 25\,000 = 80\,000\text{ cm} = 800\text{ m} = 0,8\text{ km} \]Distance réelle : 0,8 km.
- Oublier la conversion cm ↔ m ↔ km.
- Confondre « multiplier » et « diviser » selon le sens (plan→réel / réel→plan).
5 kg de pommes coûtent 13 €. Combien coûtent 8 kg ?
\[ k=\frac{13}{5}=2,6 \] \[ 8\text{ kg} \Rightarrow 8\times 2,6 = 20,8 \]Réponse : 20,80 €.
Calculer \(18\%\) de 450.
\[ 18\%=\frac{18}{100}=0,18 \quad\Rightarrow\quad 0,18\times 450 = 81 \]Réponse : 81.
Un prix passe de 120 € à 138 €. Calculer le taux d’évolution.
\[ \text{taux}=\frac{138-120}{120}=\frac{18}{120}=0,15 \] \[ 0,15\times 100\% = 15\% \]Réponse : +15%.
Échelle \(1:200\). Un segment mesure 7,5 cm sur le plan. Longueur réelle ?
\[ 7,5\times 200 = 1\,500\text{ cm} = 15\text{ m} \]Réponse : 15 m.
- Proportionnalité : \(y=kx\) et la droite passe par \((0;0)\).
- Pourcentage : \(p\%=\dfrac{p}{100}\) et \(p\%\) de \(V\) = \(\dfrac{p}{100}\times V\).
- Taux : \(\dfrac{\text{final}-\text{initial}}{\text{initial}}\) puis \(\times 100\%\).
- Coefficient : +\(p\%\) ⇒ \(\times (1+\dfrac{p}{100})\) ; −\(p\%\) ⇒ \(\times (1-\dfrac{p}{100})\).
- Évolutions successives : on multiplie les coefficients.
- Échelle : mêmes unités, plan→réel = \(\times n\), réel→plan = \(\div n\).