Cours de maths 3ème : Proportionnalité, pourcentages et échelles
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Cette page propose un cours de mathématiques en 3ème sur Proportionnalité, pourcentages et échelles. Tu y retrouves les notions essentielles, les méthodes à connaître et des exemples pour travailler notions essentielles du chapitre, méthodes attendues en 3ème, exemples guidés, exercices d’application.
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Cours — Proportionnalité, pourcentages et échelles
Tableaux de proportionnalité • coefficient • produit en croix • pourcentages • taux d’évolution • échelles • vitesse moyenne.
Objectifs du chapitre
1
Reconnaître
Savoir dire si deux grandeurs sont proportionnelles ou non.
2
Calculer
Compléter un tableau avec un coefficient ou un produit en croix.
3
Interpréter
Utiliser les pourcentages et les taux d’évolution.
4
Modéliser
Résoudre des problèmes de Brevet avec échelles, prix, vitesses et réductions.
Réflexes indispensables
Dans une situation de proportionnalité, on multiplie toujours par le même nombre pour passer d’une grandeur à l’autre.
Coefficient
Si \(y\) est proportionnel à \(x\), alors :
\[
y=kx.
\]
Le nombre \(k\) est le coefficient de proportionnalité.
Produit en croix
Dans un tableau de proportionnalité :
\[
\frac{a}{b}=\frac{c}{d}
\quad\Longrightarrow\quad
ad=bc.
\]
Attention : une augmentation régulière ne signifie pas toujours proportionnalité. Il faut vérifier que le quotient reste constant.
1. Reconnaître une situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si le quotient entre les deux valeurs correspondantes est constant.
| Nombre de cahiers | 2 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|
| Prix en € | 3 | 7,50 | 12 |
On calcule les quotients :
\[
\frac{3}{2}=1{,}5,
\quad
\frac{7{,}50}{5}=1{,}5,
\quad
\frac{12}{8}=1{,}5.
\]
Le quotient est constant, donc le prix est proportionnel au nombre de cahiers.
Exemple de non-proportionnalité
Un taxi coûte \(4\) € de prise en charge puis \(2\) € par kilomètre.
Pour \(1\) km : \(6\) €.
Pour \(2\) km : \(8\) €.
Les quotients ne sont pas égaux :
\[
\frac{6}{1}=6
\quad\text{mais}\quad
\frac{8}{2}=4.
\]
Ce n’est donc pas une situation de proportionnalité.
2. Compléter un tableau de proportionnalité
Pour compléter un tableau, on peut utiliser :
- le coefficient de proportionnalité ;
- un passage par l’unité ;
- un produit en croix.
| Quantité | 4 | 7 | 10 |
|---|---|---|---|
| Prix en € | 18 | ? | ? |
Passage par l’unité
\[
4\ \text{objets} \to 18\text{ €}
\]
\[
1\ \text{objet} \to \frac{18}{4}=4{,}5\text{ €}
\]
Donc \(7\) objets coûtent :
\[
7\times4{,}5=31{,}5\text{ €}.
\]
Produit en croix
Pour \(7\) objets :
\[
\frac{18}{4}=\frac{x}{7}
\]
\[
4x=18\times7
\]
\[
x=31{,}5.
\]
3. Pourcentages
Un pourcentage est une proportion sur \(100\).
\[
p\%=\frac{p}{100}.
\]
| Expression | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Calculer \(20\%\) de \(150\) | \(\dfrac{20}{100}\times150\) | \(30\) |
| Calculer \(15\%\) de \(80\) | \(\dfrac{15}{100}\times80\) | \(12\) |
| Calculer \(7{,}5\%\) de \(200\) | \(\dfrac{7{,}5}{100}\times200\) | \(15\) |
Retrouver un pourcentage
Si \(24\) élèves sur \(30\) ont réussi, le pourcentage de réussite est :
\[
\frac{24}{30}\times100=80.
\]
Donc \(80\%\) des élèves ont réussi.
4. Augmentation et diminution en pourcentage
Augmenter de \(t\%\)
\[
\text{nouvelle valeur}
=
\text{ancienne valeur}\times\left(1+\frac{t}{100}\right).
\]
Exemple : augmenter \(80\) de \(15\%\) :
\[
80\times1{,}15=92.
\]
Diminuer de \(t\%\)
\[
\text{nouvelle valeur}
=
\text{ancienne valeur}\times\left(1-\frac{t}{100}\right).
\]
Exemple : diminuer \(120\) de \(25\%\) :
\[
120\times0{,}75=90.
\]
Une réduction de \(20\%\) suivie d’une augmentation de \(20\%\) ne ramène pas au prix de départ.
Exemple : \(100\to80\to96\).
Taux d’évolution
Le taux d’évolution de \(V_i\) à \(V_f\) est :
\[
\frac{V_f-V_i}{V_i}\times100.
\]
Exemple : de \(80\) à \(100\) :
\[
\frac{100-80}{80}\times100=25.
\]
L’augmentation est de \(25\%\).
5. Échelles
Une échelle est un rapport entre une distance sur un plan et la distance réelle correspondante, dans la même unité :
\[
\text{échelle}=\frac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}}.
\]
Échelle \(1:25\,000\)
\[
1\text{ cm sur la carte}
=
25\,000\text{ cm en réalité}.
\]
Or :
\[
25\,000\text{ cm}=250\text{ m}.
\]
Exemple
Sur une carte à l’échelle \(1:25\,000\), une distance de \(6\) cm représente :
\[
6\times25\,000=150\,000\text{ cm}.
\]
Donc :
\[
150\,000\text{ cm}=1\,500\text{ m}=1{,}5\text{ km}.
\]
Pour les échelles, il faut toujours convertir les distances dans la même unité avant de calculer.
6. Vitesse moyenne
Les formules essentielles :
\[
v=\frac{d}{t},
\qquad
d=v\times t,
\qquad
t=\frac{d}{v}.
\]
| Situation | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Distance \(120\) km en \(2\) h | \(120\div2\) | \(60\) km/h |
| Vitesse \(80\) km/h pendant \(1{,}5\) h | \(80\times1{,}5\) | \(120\) km |
| Distance \(150\) km à \(75\) km/h | \(150\div75\) | \(2\) h |
Attention aux unités : \(30\) minutes \(=0{,}5\) heure, et \(15\) minutes \(=0{,}25\) heure.
7. Méthode Brevet pour les problèmes
Plan de rédaction
- Identifier les grandeurs en jeu.
- Vérifier si la situation est proportionnelle.
- Choisir une méthode : coefficient, unité, produit en croix.
- Convertir les unités si nécessaire.
- Conclure avec une phrase claire.
Exemple Brevet — réduction puis prix final
Un article coûte \(80\) € et bénéficie d’une réduction de \(15\%\).
Le coefficient multiplicateur est :
\[
1-\frac{15}{100}=0{,}85.
\]
Le prix final est :
\[
80\times0{,}85=68.
\]
Le prix après réduction est donc \(68\) €.
Exemple Brevet — échelle
Sur une carte à l’échelle \(1:50\,000\), deux villes sont distantes de \(4{,}8\) cm.
La distance réelle est :
\[
4{,}8\times50\,000=240\,000\text{ cm}.
\]
Or :
\[
240\,000\text{ cm}=2\,400\text{ m}=2{,}4\text{ km}.
\]
La distance réelle est donc \(2{,}4\) km.
8. Formulaire résumé
| Notion | Formule | Utilisation |
|---|---|---|
| Proportionnalité | \(y=kx\) | \(k\) constant |
| Pourcentage | \(p\%=\dfrac{p}{100}\) | Calculer une part |
| Augmentation | \(\times\left(1+\dfrac{t}{100}\right)\) | Prix, population, quantité |
| Diminution | \(\times\left(1-\dfrac{t}{100}\right)\) | Réduction, perte, baisse |
| Échelle | \(\dfrac{\text{plan}}{\text{réel}}\) | Carte, plan, maquette |
| Vitesse | \(v=\dfrac{d}{t}\) | Distance, durée, vitesse |
Réflexe Brevet : écrire les unités à chaque étape et vérifier si la réponse est réaliste.
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