Exercices PREMIUM — Probabilités (HARD • Brevet)
Exercices exigeants pour viser 19–20/20 : arbres de probabilités, calculs précis, fréquences et pièges classiques.
Exercice 1 — Arbre à deux étapes
Une urne contient 5 boules :
2 rouges (R) et 3 bleues (B).
On tire une boule, puis une seconde sans remise.
- Construire l’arbre de probabilités.
- Calculer \(P(R \cap B)\).
- Calculer la probabilité d’obtenir deux boules de même couleur.
Correction :
\[
P(R \cap B)=\frac{2}{5}\times\frac{3}{4}=\frac{3}{10}
\]
\[
P(B \cap B)=\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{3}{10}
\]
\[
P(\text{même couleur})=P(R\cap R)+P(B\cap B)
=\frac{1}{10}+\frac{3}{10}=\frac{2}{5}
\]
Exercice 2 — Arbre incomplet
Une expérience aléatoire est modélisée par un arbre :
\[
P(A)=\frac{1}{4} \qquad P(B\mid A)=\frac{2}{3}
\]
La somme des probabilités issues d’un nœud vaut 1.
- Compléter les probabilités manquantes de l’arbre.
- Calculer \(P(A \cap B)\).
- Calculer \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\).
Correction :
\[
P(\overline{A})=\frac{3}{4}, \quad
P(\overline{B}\mid A)=\frac{1}{3}
\]
\[
P(A\cap B)=\frac{1}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{6}
\]
\[
P(\overline{A}\cap\overline{B})
=\frac{3}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{4}
\]
Exercice 3 — Fréquences et stabilisation
On lance un dé équilibré 200 fois.
Le nombre de fois où l’on obtient un 6 est 38.
- Calculer la fréquence de l’événement « obtenir 6 ».
- Comparer cette fréquence à la probabilité théorique.
- Expliquer l’écart observé.
Correction :
\[
f=\frac{38}{200}=0{,}19
\qquad\text{et}\qquad
P(6)=\frac{1}{6}\approx0{,}167
\]
L’écart est normal : la fréquence se rapproche de la probabilité
quand le nombre d’essais devient très grand.
Exercice 4 — Vrai ou Faux ? (justifier)
- Dans un arbre, on additionne les probabilités le long d’un chemin.
- Une fréquence peut être égale à 1.
- \(A \cap B\) signifie « A puis B » dans un arbre.
Correction :
- ❌ Faux : on multiplie le long d’un chemin.
- ✅ Vrai : si l’événement se produit à chaque essai.
- ✅ Vrai : on lit l’arbre de gauche à droite.
Exercice 5 — Problème type Brevet (19–20/20)
Dans un collège, 60 % des élèves prennent le bus (B).
Parmi eux, 70 % arrivent à l’heure (H).
Parmi ceux qui ne prennent pas le bus, 90 % arrivent à l’heure.
- Construire l’arbre de probabilités.
- Calculer \(P(B \cap H)\).
- Calculer la probabilité qu’un élève arrive en retard.
Correction :
\[
P(B\cap H)=0{,}6\times0{,}7=0{,}42
\]
\[
P(\overline{H})
=1-\big(0{,}42+0{,}4\times0{,}9\big)
=0{,}22
\]