Exercices — Probabilités
Série complète pour la classe de 3e : issues, événements, équiprobabilité,
fréquences, tableaux, arbres pondérés, événements contraires, tirages successifs et problèmes type Brevet.
ObjectifCalculer une probabilité et justifier clairement.
Niveau3e — progressif, entraînement puis Brevet.
MéthodesCompter, organiser, multiplier, additionner.
CorrectionIndice puis correction complète.
| Situation |
Méthode |
Point de vigilance |
| Issues équiprobables |
Compter les issues favorables puis diviser par le nombre total d’issues. |
Ne pas confondre les issues différentes et les faces ou objets réels. |
| Fréquence expérimentale |
Utiliser la fréquence comme estimation d’une probabilité. |
Une fréquence observée ne prouve pas exactement la composition réelle. |
| Arbre pondéré |
Multiplier le long d’un chemin, additionner les chemins incompatibles. |
Après un tirage sans remise, les probabilités changent. |
| Événement contraire |
Utiliser souvent : \(P(\overline A)=1-P(A)\). |
Vérifier que tous les cas possibles ont bien été pris en compte. |
Exercice 1
Issues et événements avec un dé lettré
#issues
#événement élémentaire
#vocabulaire
Entraînement
On écrit sur les faces d’un dé à six faces chacune des lettres du mot ORANGE.
On lance ce dé et on regarde la lettre inscrite sur la face supérieure.
1) Citer toutes les issues de cette expérience.
2) Donner un exemple d’événement élémentaire.
3) Donner un exemple d’événement non élémentaire.
💡 Indice
Indice
Une issue est un résultat possible. Un événement élémentaire ne contient qu’une seule issue.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
1) Les issues sont les lettres : O, R, A, N, G, E.
2) Exemple : « obtenir la lettre R » est un événement élémentaire, car il est réalisé par une seule issue.
3) Exemple : « obtenir une voyelle » est un événement non élémentaire, car il est réalisé par plusieurs issues : O, A et E.
Réflexe 3e : toujours commencer par lister clairement toutes les issues possibles.
Exercice 2
Équiprobabilité et cas favorables
#équiprobabilité
#fraction
#événement certain
Entraînement
Une expérience aléatoire admet 18 issues équiprobables.
Déterminer la probabilité d’un événement réalisé par :
1) 1 issue ;
2) 4 issues ;
3) 9 issues ;
4) toutes les issues ;
5) aucune issue.
💡 Indice
Indice
Dans une situation d’équiprobabilité :
\[
P(A)=\frac{\text{nombre d’issues favorables}}{\text{nombre total d’issues}}.
\]
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
Il y a 18 issues équiprobables.
1) Pour 1 issue :
\[
P=\frac{1}{18}.
\]
2) Pour 4 issues :
\[
P=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}.
\]
3) Pour 9 issues :
\[
P=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}.
\]
4) Pour toutes les issues, l’événement est certain :
\[
P=1.
\]
5) Pour aucune issue, l’événement est impossible :
\[
P=0.
\]
Réflexe 3e : une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
Exercice 3
Dé et jeton — tableau des sommes
#dé
#tableau
#somme
Classique
On lance un dé ordinaire à six faces, puis un jeton portant les nombres 2 et 3.
Le résultat est la somme du nombre obtenu sur le dé et du nombre obtenu sur le jeton.
1) Combien y a-t-il d’issues possibles pour le couple « dé ; jeton » ?
2) Compléter mentalement le tableau des sommes :
\[
\begin{array}{c|cc}
\text{Dé} & \text{Jeton }2 & \text{Jeton }3\\
\hline
1&3&4\\
2&4&5\\
3&5&6\\
4&6&7\\
5&7&8\\
6&8&9
\end{array}
\]
3) Quelle est la probabilité d’obtenir une somme égale à 3 ?
4) Quelle est la probabilité d’obtenir une somme égale à 9 ?
5) Quelle est la probabilité d’obtenir une somme égale à 6 ?
💡 Indice
Indice
Il y a 6 possibilités pour le dé et 2 possibilités pour le jeton, donc 12 couples équiprobables.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
1) Il y a :
\[
6\times2=12
\]
issues équiprobables.
2) Le tableau montre les 12 sommes possibles.
3) Somme 3 : uniquement le couple \((1;2)\). Donc :
\[
P(3)=\frac{1}{12}.
\]
4) Somme 9 : uniquement le couple \((6;3)\). Donc :
\[
P(9)=\frac{1}{12}.
\]
5) Somme 6 : les couples \((3;3)\) et \((4;2)\). Donc :
\[
P(6)=\frac{2}{12}=\frac16.
\]
Réflexe 3e : un tableau à double entrée évite d’oublier des cas.
Exercice 4
Deux boîtes de billets — arbre pondéré
#arbre
#produit
#somme
Classique
On dispose de deux boîtes.
- La boîte 1 contient 4 billets de 5 € et 2 billets de 10 €.
- La boîte 2 contient 1 billet de 5 € et 3 billets de 10 €.
On choisit une boîte au hasard, puis un billet au hasard dans cette boîte.
1) Calculer la probabilité de choisir la boîte 1 puis un billet de 5 €.
2) Calculer la probabilité de choisir la boîte 2 puis un billet de 5 €.
3) En déduire la probabilité d’obtenir un billet de 5 €.
4) En déduire la probabilité d’obtenir un billet de 10 €.
💡 Indice
Indice
On multiplie le long d’un chemin, puis on additionne les chemins incompatibles.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
1) Pour la boîte 1 puis un billet de 5 € :
\[
P(B_1\cap 5)=\frac12\times\frac46=\frac13.
\]
2) Pour la boîte 2 puis un billet de 5 € :
\[
P(B_2\cap 5)=\frac12\times\frac14=\frac18.
\]
3) Les deux chemins sont incompatibles, donc :
\[
P(5)=\frac13+\frac18=\frac{8}{24}+\frac{3}{24}=\frac{11}{24}.
\]
4) Comme on obtient soit un billet de 5 €, soit un billet de 10 € :
\[
P(10)=1-\frac{11}{24}=\frac{13}{24}.
\]
Réflexe 3e : sur un arbre, on multiplie sur une branche complète.
Exercice 5
Fréquences observées et composition estimée
#fréquence
#estimation
#billes
Classique
Une bouteille opaque contient 30 billes rouges, bleues ou vertes.
On retourne la bouteille 60 fois et on observe :
\[
\begin{array}{c|ccc}
\text{Couleur} & \text{Rouge} & \text{Bleue} & \text{Verte}\\
\hline
\text{Nombre d’apparitions} & 24 & 18 & 18
\end{array}
\]
Ces résultats permettent-ils d’affirmer que la bouteille contient exactement 12 billes rouges, 9 billes bleues et 9 billes vertes ?
💡 Indice
Indice
Une fréquence observée donne une estimation, mais pas une certitude.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
Les fréquences observées sont :
\[
f_R=\frac{24}{60}=0{,}4,
\qquad
f_B=\frac{18}{60}=0{,}3,
\qquad
f_V=\frac{18}{60}=0{,}3.
\]
Si on applique ces proportions à 30 billes :
\[
30\times0{,}4=12,
\qquad
30\times0{,}3=9,
\qquad
30\times0{,}3=9.
\]
On obtient bien 12 rouges, 9 bleues et 9 vertes.
Mais on ne peut pas l’affirmer avec certitude : ce sont seulement des estimations expérimentales.
Réflexe 3e : fréquence expérimentale ≠ preuve exacte.
Exercice 6
Tableau à double entrée — lunettes
#tableau
#effectif
#pourcentage
Classique
Dans une classe, on obtient le tableau suivant :
\[
\begin{array}{c|cc}
& \text{Porte des lunettes} & \text{Ne porte pas de lunettes}\\
\hline
\text{Fille} & 4 & 14\\
\text{Garçon} & 6 & 10
\end{array}
\]
Une fiche est choisie au hasard.
1) Quelle est la probabilité que ce soit la fiche d’une fille qui porte des lunettes ?
2) Quelle est la probabilité que ce soit la fiche d’un garçon ?
3) Quelle est la probabilité que ce soit la fiche d’un élève qui porte des lunettes ?
4) Les élèves qui portent des lunettes dans cette classe représentent 20 % de ceux qui en portent dans tout le collège. Combien y a-t-il d’élèves portant des lunettes dans tout le collège ?
💡 Indice
Indice
Commence par calculer l’effectif total de la classe. Pour la dernière question, 20 % signifie \(\frac15\).
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
L’effectif total est :
\[
4+14+6+10=34.
\]
1) Fille qui porte des lunettes :
\[
P=\frac{4}{34}=\frac{2}{17}.
\]
2) Garçon :
\[
P=\frac{6+10}{34}=\frac{16}{34}=\frac{8}{17}.
\]
3) Élève qui porte des lunettes :
\[
P=\frac{4+6}{34}=\frac{10}{34}=\frac{5}{17}.
\]
4) Dans cette classe, 10 élèves portent des lunettes.
Ils représentent 20 % de ceux qui portent des lunettes dans tout le collège.
Or :
\[
20\%=\frac15.
\]
Donc le nombre total est :
\[
10\times5=50.
\]
Il y a donc \(\boxed{50}\) élèves portant des lunettes dans tout le collège.
Réflexe 3e : dans un tableau, toujours calculer d’abord le total.
Exercice 7
Bus de sportifs — retrouver un effectif
#effectif
#équation
#probabilité
Brevet
Un bus transporte 15 joueurs de ping-pong, 10 coureurs et 25 gymnastes.
Lors d’un arrêt, les élèves sortent dans un ordre aléatoire.
1) Quelle est la probabilité que le premier sportif à sortir soit un joueur de ping-pong ?
2) Quelle est la probabilité que le premier sportif à sortir soit un coureur ou un gymnaste ?
3) On ajoute ensuite des nageurs. La probabilité que le premier sportif à sortir soit un nageur devient \(\frac16\). Combien de nageurs a-t-on ajoutés ?
💡 Indice
Indice
Avant l’arrivée des nageurs, il y a \(15+10+25=50\) sportifs. Pose \(x\) le nombre de nageurs ajoutés.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
1) Il y a 50 sportifs au départ. Donc :
\[
P(\text{ping-pong})=\frac{15}{50}=\frac{3}{10}.
\]
2) Coureur ou gymnaste :
\[
P=\frac{10+25}{50}=\frac{35}{50}=\frac{7}{10}.
\]
3) Soit \(x\) le nombre de nageurs ajoutés. On veut :
\[
\frac{x}{50+x}=\frac16.
\]
Donc :
\[
6x=50+x,
\qquad
5x=50,
\qquad
x=10.
\]
Il faut ajouter \(\boxed{10}\) nageurs.
Réflexe Brevet : quand une probabilité contient un effectif inconnu, poser une équation.
Exercice 8
Grille de 9 cases — alignement
#grille
#alignement
#cas favorables
Classique
Une grille contient les cases numérotées de 1 à 9 :
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
1&2&3\\
\hline
4&5&6\\
\hline
7&8&9\\
\hline
\end{array}
\]
Une case s’allume au hasard.
1) Quelle est la probabilité que la case 4 s’allume ?
2) Quelle est la probabilité qu’une case portant un nombre impair s’allume ?
3) Donner un événement de probabilité \(\frac13\).
4) Les cases 1 et 7 sont déjà allumées. On allume une troisième case au hasard parmi les 7 restantes. Quelle est la probabilité que les trois cases soient alignées ?
💡 Indice
Indice
Avec les cases 1 et 7 déjà allumées, cherche la case qui complète la colonne de gauche.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
1) Il y a 9 cases, donc :
\[
P(4)=\frac19.
\]
2) Les nombres impairs sont 1, 3, 5, 7 et 9. Donc :
\[
P(\text{impair})=\frac59.
\]
3) Exemple : l’événement « obtenir 1, 2 ou 3 » a pour probabilité :
\[
\frac39=\frac13.
\]
4) Les cases 1 et 7 sont alignées avec la case 4.
Il reste 7 cases possibles. Une seule complète l’alignement.
Donc :
\[
P=\frac17.
\]
Réflexe 3e : dessiner ou lire la grille avant de compter les cas favorables.
Exercice 9
Digicode — codes possibles
#dénombrement
#digicode
#essai
Classique
Un digicode est composé d’une lettre A, B, C ou D, suivie d’un chiffre 1, 2 ou 3.
1) Combien de codes différents sont possibles ?
2) Quelle est la probabilité de trouver le bon code au hasard au premier essai ?
3) Une élève tape A1 et se trompe à la fois de lettre et de chiffre. Quelle est la probabilité de trouver le bon code au deuxième essai si elle change de lettre et de chiffre ?
💡 Indice
Indice
Après l’erreur A1, la bonne lettre n’est pas A et le bon chiffre n’est pas 1.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
1) Il y a 4 lettres et 3 chiffres, donc :
\[
4\times3=12
\]
codes possibles.
2) Un seul code est correct, donc :
\[
P=\frac{1}{12}.
\]
3) Comme A1 est faux à la fois pour la lettre et pour le chiffre, il reste :
- 3 lettres possibles : B, C, D ;
- 2 chiffres possibles : 2, 3.
Donc il reste :
\[
3\times2=6
\]
codes possibles.
La probabilité est donc :
\[
P=\frac16.
\]
Réflexe 3e : nombre total de codes = nombre de lettres × nombre de chiffres.
Exercice 10
Jetons numérotés — avec retrait
#jetons
#multiple
#sans remise
Entraînement
Dans un sac, il reste les jetons suivants :
\[
4,\;10,\;15,\;20,\;21,\;25,\;30,\;32.
\]
Tous les jetons ont la même probabilité d’être tirés.
1) Quelle est la probabilité de tirer le jeton 20 ?
2) Quelle est la probabilité de tirer un multiple de 5 ?
3) On tire le jeton 32 et on le garde. Quelle est maintenant la probabilité de tirer un multiple de 5 ?
💡 Indice
Indice
Compte les multiples de 5 dans la liste, puis pense à retirer le jeton 32 pour la dernière question.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
1) Il y a 8 jetons, donc :
\[
P(20)=\frac18.
\]
2) Les multiples de 5 sont :
\[
10,\;15,\;20,\;25,\;30.
\]
Il y en a 5, donc :
\[
P=\frac58.
\]
3) Après avoir retiré 32, il reste 7 jetons, dont toujours 5 multiples de 5.
Donc :
\[
P=\frac57.
\]
Réflexe 3e : après un retrait, le nombre total d’issues change.
Exercice 11
DJ — probabilité et PGCD
#probabilité
#PGCD
#répartition
Brevet
Un DJ possède 84 titres de rap et 126 titres d’électro.
Il choisit un titre au hasard.
1) Calculer la probabilité que le premier titre choisi soit un titre de rap.
2) Le DJ veut faire le plus grand nombre possible de mix identiques, contenant la même répartition de titres rap et électro. Quel est ce nombre maximal de mix ?
3) Combien y aura-t-il de titres de rap et d’électro dans chaque mix ?
💡 Indice
Indice
Pour faire des mix identiques, on cherche le PGCD de 84 et 126.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
1) Le nombre total de titres est :
\[
84+126=210.
\]
Donc :
\[
P(\text{rap})=\frac{84}{210}=\frac25.
\]
2) On cherche le plus grand diviseur commun de 84 et 126 :
\[
PGCD(84;126)=42.
\]
Le DJ peut donc faire au maximum \(\boxed{42}\) mix identiques.
3) Dans chaque mix :
\[
\frac{84}{42}=2,
\qquad
\frac{126}{42}=3.
\]
Il y aura 2 titres de rap et 3 titres d’électro par mix.
Réflexe Brevet : une question de répartition identique cache souvent un PGCD.
Exercice 12
Cible rectangulaire — probabilité géométrique
#aire
#rectangle
#probabilité
Brevet
Une cible est formée d’un rectangle de largeur 15 cm et de hauteur 40 cm, collé à un carré de côté 40 cm.
Une fléchette atteint forcément la cible, au hasard.
Quelle est la probabilité que la fléchette tombe dans le rectangle ?
💡 Indice
Indice
La probabilité est le rapport entre l’aire du rectangle et l’aire totale de la cible.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
Aire du rectangle :
\[
15\times40=600.
\]
Aire du carré :
\[
40\times40=1600.
\]
Aire totale :
\[
600+1600=2200.
\]
Donc :
\[
P(\text{rectangle})=\frac{600}{2200}=\frac{3}{11}.
\]
Réflexe 3e : pour une cible, probabilité = aire favorable ÷ aire totale.
Exercice 13
Cartes — couleurs et familles
#cartes
#fréquence
#couleur
Classique
On dispose de 10 cartes :
- 3 trèfles ;
- 2 carreaux ;
- 4 piques ;
- 1 cœur.
On tire une carte au hasard.
1) Cette expérience est-elle aléatoire ? Justifier.
2) Quelle est la probabilité d’obtenir un trèfle ?
3) Quelle est la probabilité d’obtenir un carreau ?
4) Quelle est la probabilité d’obtenir une carte noire ?
5) Si l’on répète l’expérience un très grand nombre de fois avec remise, vers quelle fréquence la sortie d’un pique devrait-elle se rapprocher ?
💡 Indice
Indice
Trèfle et pique sont les cartes noires.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
1) Oui, c’est une expérience aléatoire, car on ne peut pas prévoir avec certitude la carte tirée.
2) Il y a 3 trèfles sur 10 cartes :
\[
P(\text{trèfle})=\frac{3}{10}.
\]
3) Il y a 2 carreaux :
\[
P(\text{carreau})=\frac{2}{10}=\frac15.
\]
4) Les cartes noires sont les trèfles et les piques. Il y en a :
\[
3+4=7.
\]
Donc :
\[
P(\text{noire})=\frac{7}{10}.
\]
5) Il y a 4 piques sur 10 cartes. La fréquence devrait se rapprocher de :
\[
\frac{4}{10}=\frac25.
\]
Réflexe 3e : une fréquence sur un grand nombre d’essais se rapproche de la probabilité.
Exercice 14
Dé à 12 faces — pairs et multiples
#dé
#multiple
#contraire
Classique
On lance un dé équilibré à 12 faces numérotées de 1 à 12.
1) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ?
2) Quelle est la probabilité d’obtenir un multiple de 4 ?
3) Quelle est la probabilité de ne pas obtenir un multiple de 3 ?
4) Vers quelle fréquence devrait se rapprocher l’événement « obtenir un multiple de 5 » après un très grand nombre de lancers ?
💡 Indice
Indice
Liste les nombres favorables entre 1 et 12.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
1) Les nombres pairs sont :
\[
2,\;4,\;6,\;8,\;10,\;12.
\]
Il y en a 6, donc :
\[
P=\frac{6}{12}=\frac12.
\]
2) Les multiples de 4 sont :
\[
4,\;8,\;12.
\]
Il y en a 3, donc :
\[
P=\frac{3}{12}=\frac14.
\]
3) Les multiples de 3 sont :
\[
3,\;6,\;9,\;12.
\]
Il y en a 4. Donc ne pas obtenir un multiple de 3 donne \(12-4=8\) issues favorables :
\[
P=\frac{8}{12}=\frac23.
\]
4) Les multiples de 5 sont 5 et 10. La fréquence devrait se rapprocher de :
\[
\frac{2}{12}=\frac16.
\]
Réflexe 3e : l’événement contraire peut éviter de compter trop de cas.
Exercice 15
Sac de boules et événement contraire
#boules
#contraire
#ou
Entraînement
Un sac contient 12 boules :
- 6 vertes ;
- 3 rouges ;
- 3 blanches.
On tire une boule au hasard.
Calculer les probabilités suivantes :
1) Obtenir une boule rouge.
2) Ne pas obtenir une boule verte.
3) Obtenir une boule rouge ou une boule verte.
💡 Indice
Indice
« Ne pas obtenir une boule verte » signifie obtenir une boule rouge ou blanche.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
1) Il y a 3 boules rouges sur 12 :
\[
P(R)=\frac{3}{12}=\frac14.
\]
2) Ne pas obtenir une boule verte signifie obtenir une boule rouge ou blanche :
\[
P(\overline V)=\frac{3+3}{12}=\frac{6}{12}=\frac12.
\]
3) Obtenir rouge ou verte :
\[
P(R\text{ ou }V)=\frac{3+6}{12}=\frac{9}{12}=\frac34.
\]
Réflexe 3e : le mot « ou » correspond souvent à une addition de cas incompatibles.
Exercice 16
Roue puis sac — deux étapes pour gagner
#roue
#sac
#produit
Classique
Une roue équilibrée comporte 10 secteurs numérotés de 1 à 10.
Si la roue tombe sur un nombre pair, le joueur tire une bille dans un sac contenant 4 billes jaunes et 6 billes rouges.
Il gagne si la roue tombe sur un nombre pair puis si la bille tirée est jaune.
Calculer la probabilité de gagner.
💡 Indice
Indice
Il faut réussir deux étapes : obtenir un nombre pair, puis tirer une bille jaune.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
La probabilité d’obtenir un nombre pair est :
\[
\frac{5}{10}=\frac12.
\]
La probabilité de tirer une bille jaune est :
\[
\frac{4}{10}=\frac25.
\]
Donc :
\[
P(\text{gagner})=\frac12\times\frac25=\frac15.
\]
Réflexe 3e : quand deux conditions doivent être réalisées successivement, on multiplie.
Exercice 17
Deux sacs — tirage conditionné
#sacs
#chemin
#gain
Classique
Le sac A contient 3 boules jaunes et 2 boules rouges.
Si l’on tire une boule jaune dans le sac A, on a le droit de tirer une boule dans le sac B.
Le sac B contient 4 boules bleues et 6 boules vertes.
On gagne un bon cadeau si on tire une boule jaune dans le sac A puis une boule bleue dans le sac B.
Quelle est la probabilité de gagner ?
💡 Indice
Indice
Multiplie les probabilités des deux étapes nécessaires pour gagner.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
Dans le sac A :
\[
P(J_A)=\frac35.
\]
Dans le sac B :
\[
P(B_B)=\frac{4}{10}=\frac25.
\]
Donc :
\[
P(\text{gagner})=\frac35\times\frac25=\frac{6}{25}.
\]
Réflexe 3e : on ne tire dans le sac B que si la première condition est réussie.
Exercice 18
Deux roues de loterie — somme obtenue
#roues
#somme
#couples
Classique
La roue A possède 3 secteurs égaux numérotés 1, 2 et 3.
La roue B possède 4 secteurs égaux numérotés 1, 1, 2 et 4.
Les deux secteurs marqués 1 sur la roue B sont bien deux secteurs différents.
On fait tourner les deux roues et on additionne les deux nombres.
1) Calculer la probabilité d’obtenir une somme égale à 2.
2) Calculer la probabilité d’obtenir une somme égale à 5.
💡 Indice
Indice
Il y a \(3\times4=12\) couples équiprobables. Les deux secteurs « 1 » de la roue B comptent séparément.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
Il y a :
\[
3\times4=12
\]
couples équiprobables.
1) Somme 2 : il faut obtenir \(1+1\). Sur la roue B, il y a deux secteurs marqués 1.
Il y a donc 2 couples favorables :
\[
P(2)=\frac{2}{12}=\frac16.
\]
2) Somme 5 : les couples possibles sont \((1;4)\) et \((3;2)\).
Il y a donc 2 couples favorables :
\[
P(5)=\frac{2}{12}=\frac16.
\]
Réflexe 3e : deux secteurs avec le même numéro restent deux issues différentes.
Exercice 19
Roulette colorée — compter les secteurs
#roulette
#secteurs
#contraire
Entraînement
Une roulette est partagée en 8 secteurs égaux : 2 rouges, 3 verts et 3 bleus.
On fait tourner la roulette.
1) Est-ce une expérience aléatoire ? Justifier.
2) Quelle est la probabilité que l’aiguille tombe sur un secteur rouge ?
3) Quelle est la probabilité qu’elle ne tombe pas sur un secteur bleu ?
💡 Indice
Indice
Les secteurs sont égaux, donc on peut compter les secteurs favorables.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
1) Oui, c’est une expérience aléatoire, car le résultat ne peut pas être prévu avec certitude.
2) Il y a 2 secteurs rouges sur 8 :
\[
P(\text{rouge})=\frac28=\frac14.
\]
3) Ne pas tomber sur bleu signifie tomber sur rouge ou vert. Il y a :
\[
2+3=5
\]
secteurs favorables. Donc :
\[
P=\frac58.
\]
Réflexe 3e : si les secteurs sont égaux, on compte les secteurs.
Exercice 20
Probabilités impossibles
#probabilité
#impossible
#encadrement
Entraînement
Voici des résultats de calculs de probabilités.
Indiquer ceux qui sont sûrement faux et justifier.
1) Probabilité de tirer une boule verte : \(\frac47\).
2) Probabilité de tirer une boule jaune : \(\frac98\).
3) Probabilité de tirer une boule rouge : \(-\frac15\).
4) Probabilité de tirer une boule bleue : \(0{,}75\).
💡 Indice
Indice
Toute probabilité doit être comprise entre 0 et 1.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
Une probabilité doit vérifier :
\[
0\leq P\leq1.
\]
Les probabilités sûrement fausses sont :
\[
\frac98
\]
car \(\frac98>1\), et :
\[
-\frac15
\]
car une probabilité ne peut pas être négative.
Les probabilités \(\frac47\) et \(0{,}75\) sont possibles.
Réflexe 3e : une probabilité ne peut jamais dépasser 1 ni être négative.
Exercice 21
Somme des probabilités — résultats possibles ?
#somme
#couleurs
#vérification
Classique
Dans un sac, il y a uniquement des boules bleues, blanches et rouges.
Léo annonce :
\[
P(\text{blanche})=\frac{4}{13},
\qquad
P(\text{rouge})=\frac{5}{13},
\qquad
P(\text{bleue})=\frac{3}{13}.
\]
Ces résultats sont-ils possibles ?
💡 Indice
Indice
Si les trois couleurs sont les seules possibles, la somme des probabilités doit être égale à 1.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
On additionne les probabilités :
\[
\frac{4}{13}+\frac{5}{13}+\frac{3}{13}=\frac{12}{13}.
\]
Or :
\[
\frac{12}{13}\neq1.
\]
Ces résultats ne sont donc pas possibles, car les trois couleurs sont les seules couleurs du sac.
Il manque une probabilité de :
\[
1-\frac{12}{13}=\frac{1}{13}.
\]
Réflexe 3e : si les cas couvrent toute l’expérience, la somme vaut 1.
Exercice 22
Événement contraire — choix de LV2
#contraire
#LV2
#somme
Classique
Dans une classe, les élèves choisissent une LV2 : espagnol, allemand ou italien.
On choisit un élève au hasard.
On sait que :
\[
P(\text{allemand})=\frac29,
\qquad
P(\text{italien})=\frac49.
\]
Calculer la probabilité que l’élève ait choisi espagnol.
💡 Indice
Indice
Les trois choix forment toutes les possibilités.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
On utilise :
\[
P(\text{espagnol})=1-P(\text{allemand})-P(\text{italien}).
\]
Donc :
\[
P(\text{espagnol})=1-\left(\frac29+\frac49\right)
=1-\frac69
=\frac39
=\frac13.
\]
Réflexe 3e : quand il manque une catégorie, on soustrait à 1.
Exercice 23
Dé avec lettres répétées
#lettres
#répétition
#issues
Classique
On écrit sur les faces d’un dé à huit faces chacune des lettres du mot CHOCOLAT.
On lance ce dé et on regarde la lettre inscrite sur la face supérieure.
1) Citer les issues différentes de cette expérience.
2) Quelle est la probabilité d’obtenir la lettre C ?
3) Quelle est la probabilité d’obtenir une voyelle ?
💡 Indice
Indice
Le mot CHOCOLAT contient 8 lettres, mais certaines lettres apparaissent plusieurs fois.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
Les lettres du mot sont :
\[
C,\;H,\;O,\;C,\;O,\;L,\;A,\;T.
\]
1) Les issues différentes sont : C, H, O, L, A, T.
2) La lettre C apparaît 2 fois sur 8 faces. Donc :
\[
P(C)=\frac28=\frac14.
\]
3) Les voyelles sont O, O et A. Il y a donc 3 faces favorables :
\[
P(\text{voyelle})=\frac38.
\]
Réflexe 3e : si une lettre apparaît deux fois, elle compte deux faces.
Exercice 24
Boules colorées et numérotées
#boules
#numéro
#couleur
Classique
Un sac contient 7 boules :
- 4 boules vertes numérotées 1 ; 2 ; 2 ; 4 ;
- 3 boules jaunes numérotées 1 ; 3 ; 4.
On tire une boule au hasard et on note sa couleur et son numéro.
Calculer :
1) La probabilité de tirer une boule jaune.
2) La probabilité de tirer une boule portant le numéro 2.
3) La probabilité de tirer une boule verte portant le numéro 4.
💡 Indice
Indice
Chaque boule est une issue, même si deux boules portent le même numéro.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
1) Il y a 3 boules jaunes sur 7 :
\[
P(\text{jaune})=\frac37.
\]
2) Il y a 2 boules portant le numéro 2 :
\[
P(\text{numéro }2)=\frac27.
\]
3) Il y a une seule boule verte portant le numéro 4 :
\[
P(\text{verte et numéro }4)=\frac17.
\]
Réflexe 3e : on compte les boules, pas seulement les numéros différents.
Exercice 25
Tirages successifs sans remise
#sans remise
#arbre
#chemins
Bien avancé
Dans une urne, il y a 4 boules rouges \((R)\), 3 boules oranges \((O)\) et 2 boules bleues \((B)\), indiscernables au toucher.
On tire successivement et sans remise deux boules.
1) Quelle est la probabilité de tirer une boule orange au premier tirage ?
2) Construire l’arbre de probabilités décrivant l’expérience.
3) Quelle est la probabilité que la première boule soit bleue et la deuxième orange ?
4) Quelle est la probabilité que la deuxième boule soit rouge ?
💡 Indice
Indice
Après le premier tirage, il ne reste plus que 8 boules. Les probabilités changent selon la couleur déjà tirée.
✅ Correction détaillée
Correction détaillée
Il y a au total :
\[
4+3+2=9
\]
boules.
1) Probabilité de tirer orange au premier tirage :
\[
P(O_1)=\frac39=\frac13.
\]
2) Arbre de probabilités :
Premier niveau :
\[
R:\frac49,
\qquad
O:\frac39,
\qquad
B:\frac29.
\]
Deuxième niveau :
\[
\begin{array}{c|ccc}
\text{1er tirage} & R & O & B\\
\hline
R & \frac38 & \frac38 & \frac28\\
O & \frac48 & \frac28 & \frac28\\
B & \frac48 & \frac38 & \frac18
\end{array}
\]
Cette écriture correspond à l’arbre : chaque ligne donne les probabilités du deuxième tirage selon la couleur obtenue au premier tirage.
3) Première boule bleue puis deuxième orange :
\[
P(B_1\cap O_2)=\frac29\times\frac38=\frac{6}{72}=\frac{1}{12}.
\]
4) Pour que la deuxième boule soit rouge :
\[
P(?;R)=P(R;R)+P(O;R)+P(B;R).
\]
Donc :
\[
P(?;R)
=\frac49\times\frac38
+\frac39\times\frac48
+\frac29\times\frac48.
\]
\[
P(?;R)
=\frac{12}{72}+\frac{12}{72}+\frac{8}{72}
=\frac{32}{72}=\frac49.
\]
Réflexe 3e : sans remise, le dénominateur diminue et le contenu change.
Checklist finale : savoir lister les issues, reconnaître une situation d’équiprobabilité,
calculer une probabilité avec une fraction, utiliser un tableau ou un arbre, distinguer fréquence et probabilité,
puis utiliser l’événement contraire quand il simplifie le calcul.