Fiche de révision maths 3ème : Probabilités : arbres, expériences, fréquences

3EME • MATHS — Learna

Cette fiche de révision de maths en 3ème résume le chapitre Probabilités : arbres, expériences, fréquences. Elle aide à mémoriser les définitions, les formules, les méthodes et les points de vigilance avant un contrôle.

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Fiche ultra-synthèse — Probabilités
3e Maths • Expériences aléatoires • issues • événements • équiprobabilité • fréquences • arbres • méthodes Brevet.
Essentiel Formules Méthodes Arbres Fréquences Pièges Mini-tests Checklist
Essentiel — à savoir par cœur
1 Expérience aléatoire
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude.
Exemples :
  • lancer un dé équilibré ;
  • lancer une pièce ;
  • tirer une boule dans une urne ;
  • choisir une carte au hasard.
2 Issues et univers
Une issue est un résultat possible de l’expérience. L’univers est l’ensemble de toutes les issues possibles.
Pour un dé équilibré : \[ \Omega=\{1;2;3;4;5;6\}. \]
Attention : l’univers doit contenir toutes les issues possibles, pas seulement celles qui nous intéressent.
3 Événement
Un événement est une condition qui peut être réalisée ou non. Il correspond à un ensemble d’issues favorables.
Pour un dé, l’événement \(A\) : « obtenir un nombre pair » est : \[ A=\{2;4;6\}. \]
4 Probabilité
Une probabilité est un nombre compris entre \(0\) et \(1\). \[ 0\leq P(A)\leq 1. \]
Probabilité Interprétation
\(0\) événement impossible
\(1\) événement certain
entre \(0\) et \(1\) événement possible mais non certain
Formules indispensables
5 Cas équiprobable
Lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire, on dit qu’elles sont équiprobables.
\[ P(A)=\frac{\text{nombre d’issues favorables}}{\text{nombre total d’issues}}. \]
Exemple : avec un dé équilibré, obtenir un multiple de \(3\) correspond aux issues \(3\) et \(6\). \[ P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}. \]
6 Événement contraire
L’événement contraire de \(A\), noté \(\overline{A}\), signifie : « \(A\) ne se réalise pas ».
\[ P(\overline{A})=1-P(A). \]
Si \(P(A)=\frac{3}{5}\), alors : \[ P(\overline{A})=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}. \]
7 Événement certain
\[ P(\Omega)=1. \]
L’univers \(\Omega\) contient toutes les issues possibles. Il se réalise donc forcément.
8 Événement impossible
\[ P(\varnothing)=0. \]
L’événement impossible ne contient aucune issue favorable.
Méthodes Brevet — procédures rapides
A Calculer une probabilité simple
  1. Identifier l’expérience aléatoire.
  2. Écrire l’univers ou compter le nombre total d’issues.
  3. Compter les issues favorables.
  4. Appliquer la formule.
  5. Simplifier la fraction si possible.
\[ P(A)=\frac{\text{favorables}}{\text{total}}. \]
B Utiliser le contraire
Quand l’événement demandé est long à compter, on calcule parfois plus facilement son contraire.
  1. Identifier \(A\).
  2. Décrire \(\overline{A}\).
  3. Calculer \(P(\overline{A})\).
  4. Utiliser \(P(A)=1-P(\overline{A})\).
Piège : ne pas confondre « au moins un » et « exactement un ».
C Répondre avec une fréquence
  1. Repérer le nombre total d’essais.
  2. Repérer le nombre de fois où l’événement se réalise.
  3. Former le quotient.
  4. Donner la fraction, le nombre décimal ou le pourcentage demandé.
\[ f=\frac{\text{effectif de l’événement}}{\text{effectif total}}. \]
D Justifier une réponse
Une bonne réponse au Brevet contient souvent :
  • le nombre total d’issues ;
  • le nombre d’issues favorables ;
  • le calcul ;
  • une phrase de conclusion.
Exemple de phrase : « La probabilité d’obtenir un nombre pair est donc \(\frac{1}{2}\). »
Arbres de probabilités — niveau 3e
Un arbre permet d’organiser plusieurs étapes d’une expérience aléatoire : deux tirages, deux lancers, choix successifs, etc.
9 Lire un arbre
  • Chaque branche porte une probabilité.
  • À chaque nœud, la somme des probabilités des branches vaut \(1\).
  • Un chemin complet correspond à une issue finale.
Ne pas additionner les probabilités sur un même chemin : on multiplie.
10 Probabilité d’un chemin
Pour calculer la probabilité d’un chemin, on multiplie les probabilités des branches du chemin.
\[ P(\text{chemin})=P(\text{branche 1})\times P(\text{branche 2}). \]
11 Exemple avec remise
Une urne contient \(3\) boules rouges et \(2\) boules bleues. On tire une boule, on la remet, puis on tire une deuxième boule.
\[ P(R\text{ puis }B)=\frac{3}{5}\times\frac{2}{5}=\frac{6}{25}. \]
Avec remise, les probabilités restent les mêmes au deuxième tirage.
12 Exemple sans remise
Même urne : \(3\) rouges et \(2\) bleues. On tire une boule sans la remettre, puis on tire une deuxième boule.
\[ P(R\text{ puis }B)=\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{3}{10}. \]
Sans remise, le total change au deuxième tirage : il reste \(4\) boules.
Fréquences et probabilités
13 Fréquence
La fréquence d’un événement est la proportion de fois où cet événement s’est réalisé.
\[ f(A)=\frac{\text{nombre de réalisations de }A}{\text{nombre total d’essais}}. \]
14 Stabilisation
Quand on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence observée se rapproche généralement de la probabilité théorique.
\[ f(A)\approx P(A) \] lorsque le nombre d’essais est grand.
15 Exemple
On lance une pièce \(200\) fois. On obtient pile \(108\) fois.
\[ f(\text{pile})=\frac{108}{200}=0{,}54. \]
La fréquence observée est \(0{,}54\), proche de la probabilité théorique \(0{,}5\).
16 Pourcentage
Pour convertir une fréquence en pourcentage, on multiplie par \(100\).
\[ 0{,}54=54\%. \]
Tableau récapitulatif
Notion À retenir Exemple rapide
Univers Ensemble de toutes les issues. Dé : \(\{1;2;3;4;5;6\}\)
Événement Ensemble d’issues favorables. Pair : \(\{2;4;6\}\)
Probabilité Nombre entre \(0\) et \(1\). \(P(A)=\frac{3}{6}\)
Contraire \(P(\overline{A})=1-P(A)\) Si \(P(A)=0{,}7\), alors \(P(\overline{A})=0{,}3\)
Arbre On multiplie les probabilités le long d’un chemin. \(\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}\)
Fréquence Proportion observée dans une expérience répétée. \(\frac{108}{200}=0{,}54\)
Pièges classiques — Brevet
! Confondre fréquence et probabilité
Une fréquence est observée après des essais. Une probabilité est un modèle théorique.
! Oublier de simplifier
\(\frac{2}{6}\) est correct, mais on préfère souvent écrire \(\frac{1}{3}\).
! Additionner dans un arbre
Sur un chemin, on multiplie les probabilités. On n’additionne pas les branches d’un même chemin.
! Avec ou sans remise
Avec remise : les probabilités restent les mêmes. Sans remise : le contenu de l’urne change.
! « Au moins un »
« Au moins un succès » signifie : un succès ou plus. Son contraire est : aucun succès.
! Probabilité supérieure à 1
Si le résultat est supérieur à \(1\), le calcul est forcément faux.
Mini-tests corrigés
Mini-test 1 — Dé équilibré
On lance un dé équilibré. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à \(5\) ?
Les issues favorables sont \(5\) et \(6\), donc il y en a \(2\). Le dé possède \(6\) issues possibles. \[ P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}. \] Conclusion : la probabilité est \(\frac{1}{3}\).
Mini-test 2 — Événement contraire
Un événement \(A\) a pour probabilité \(0{,}65\). Calculer \(P(\overline{A})\).
\[ P(\overline{A})=1-P(A)=1-0{,}65=0{,}35. \] Conclusion : \(P(\overline{A})=0{,}35\).
Mini-test 3 — Urne avec remise
Une urne contient \(4\) boules rouges et \(1\) boule verte. On tire une boule, on la remet, puis on tire une deuxième boule. Calculer la probabilité d’obtenir deux rouges.
Avec remise, la probabilité d’obtenir rouge reste \(\frac{4}{5}\) à chaque tirage. \[ P(R\text{ puis }R)=\frac{4}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{16}{25}. \] Conclusion : la probabilité est \(\frac{16}{25}\).
Mini-test 4 — Fréquence
Sur \(80\) lancers, une pièce tombe \(46\) fois sur pile. Calculer la fréquence de pile.
\[ f=\frac{46}{80}=\frac{23}{40}=0{,}575. \] En pourcentage : \(0{,}575=57{,}5\%\).
Checklist avant contrôle / Brevet
✓ Je sais définir
  • une expérience aléatoire ;
  • une issue ;
  • l’univers ;
  • un événement ;
  • l’événement contraire.
✓ Je sais calculer
  • une probabilité simple ;
  • une probabilité avec un arbre ;
  • une probabilité contraire ;
  • une fréquence ;
  • un pourcentage à partir d’une fréquence.
✓ Je sais rédiger
  • je donne les issues favorables ;
  • je donne le nombre total d’issues ;
  • j’écris le calcul ;
  • je conclus avec une phrase claire.
✓ Je vérifie
  • ma probabilité est entre \(0\) et \(1\) ;
  • dans un arbre, je multiplie sur un chemin ;
  • je distingue avec remise et sans remise ;
  • je simplifie mes fractions quand c’est possible.
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