Objectif : modéliser une situation aléatoire, utiliser un arbre de probabilités et relier fréquences observées et probabilités, sans formalisme lycée.
- Expérience aléatoire : expérience dont le résultat ne peut pas être prévu à l’avance avec certitude.
- Issue : résultat possible de l’expérience.
- Univers \( \Omega \) : ensemble de toutes les issues possibles.
- Événement : ensemble d’issues (ex : « obtenir un nombre pair »).
- Événement contraire \( \overline{A} \) : « A ne se réalise pas ».
Si toutes les issues sont équiprobables :
Un arbre de probabilités sert à décrire une expérience en plusieurs étapes. Chaque branche porte une probabilité, et un chemin correspond à une issue finale.
- La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut 1.
- La probabilité d’un chemin = produit des probabilités sur ce chemin.
- Un événement (ex : \(A \cap B\)) correspond à un ou plusieurs chemins.
Lecture Brevet : on lit l’arbre de gauche à droite. Un événement du type \(A \cap B\) signifie « A puis B » et correspond à un chemin précis dans l’arbre. Une issue finale est le bout du chemin.
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule, puis une seconde sans remise.
- \(P(R)=\frac{3}{5}\)
- Si on a tiré \(R\), il reste 2 rouges et 2 bleues sur 4 : \(P(B\mid R)=\frac{2}{4}\)
Quand on répète une expérience, on observe une fréquence.
- \(P(\Omega)=1\)
- Arbre : produit le long d’un chemin
- Somme des branches issues d’un même nœud = 1
- \(f(A)=\dfrac{\text{réalisations}}{\text{essais}}\) et, pour beaucoup d’essais : \(f(A)\approx P(A)\)