Cours — Probabilités : Arbres, Expériences, Fréquences (3e)
- Reconnaître une expérience aléatoire et ses issues possibles.
- Décrire un univers et un événement.
- Calculer une probabilité dans une situation équiprobable.
- Utiliser la formule de l’événement contraire.
- Lire et compléter un arbre de probabilités.
- Multiplier les probabilités le long d’un chemin.
- Interpréter une fréquence observée après plusieurs essais.
- Rédiger une réponse courte mais complète pour le Brevet.
- Ne pas confondre issue et événement.
- Ne pas oublier que la probabilité totale vaut toujours 1.
- Dans un arbre, on multiplie le long d’un chemin.
- Pour regrouper plusieurs chemins, on additionne ensuite leurs probabilités.
- Une fréquence observée sur peu d’essais n’est pas forcément exactement égale à la probabilité théorique.
Une issue est un résultat possible de l’expérience.
L’univers, souvent noté \(\Omega\), est l’ensemble de toutes les issues possibles.
Un événement est une condition qui peut être réalisée par une ou plusieurs issues.
Alors \(A=\{2;4;6\}\).
- Un événement impossible a une probabilité égale à \(0\).
- Un événement certain a une probabilité égale à \(1\).
Exemple guidé — vocabulaire
- L’univers est \(\Omega=\{M;A;T;H;S\}\).
- L’événement « obtenir une voyelle » est \(\{A\}\).
- L’événement « obtenir une lettre du mot » est certain.
- L’événement « obtenir la lettre Z » est impossible.
Une probabilité mesure la chance qu’un événement se réalise. Elle est toujours comprise entre \(0\) et \(1\).
L’univers contient toutes les issues possibles : l’une d’elles se réalise forcément.
| Probabilité | Interprétation | Exemple |
|---|---|---|
| \(0\) | Impossible | Obtenir 7 avec un dé classique. |
| \(\frac12\) | Une chance sur deux | Obtenir pile avec une pièce équilibrée. |
| \(1\) | Certain | Obtenir un nombre entre 1 et 6 avec un dé classique. |
Exemple 1 — dé équilibré
On lance un dé équilibré. On considère l’événement \(A\) : « obtenir un multiple de 3 ».
- Issues possibles : \(1,2,3,4,5,6\), donc \(6\) issues.
- Issues favorables : \(3\) et \(6\), donc \(2\) issues favorables.
Exemple 2 — sac de jetons
Un sac contient 4 jetons rouges, 3 jetons bleus et 2 jetons verts. On tire un jeton au hasard.
- Nombre total de jetons : \(4+3+2=9\).
- Issues favorables à « obtenir un jeton bleu » : \(3\).
L’événement contraire de \(A\), noté \(\overline{A}\), est l’événement : « \(A\) ne se réalise pas ».
Exemple guidé — utiliser le contraire
Dans une classe, la probabilité qu’un élève choisi au hasard pratique un sport est \(0{,}7\). Quelle est la probabilité qu’il ne pratique pas de sport ?
Conclusion : la probabilité qu’il ne pratique pas de sport est \(0{,}3\), soit \(30\%\).
Un arbre de probabilités permet de représenter une expérience en plusieurs étapes. Chaque branche porte une probabilité. Un chemin complet correspond à une issue finale.
La somme des probabilités des branches qui partent d’un même point vaut \(1\).
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités écrites sur ses branches.
Si un événement correspond à plusieurs chemins, on additionne les probabilités de ces chemins.
Les deux images ci-dessous peuvent rester dans ton projet si elles existent déjà dans public/images/probabilites.
On remet l’objet tiré avant le deuxième tirage. La composition ne change pas.
On ne remet pas l’objet tiré. La composition change avant le deuxième tirage.
Exemple type Brevet — tirage sans remise
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule, puis une seconde sans remise. On veut calculer la probabilité d’obtenir « rouge puis bleu ».
Conclusion : la probabilité d’obtenir une boule rouge puis une boule bleue est \(\frac{3}{10}\).
Quand on répète plusieurs fois la même expérience, on peut observer une fréquence.
On lance une pièce 100 fois et on obtient 54 fois pile.
Quand le nombre d’essais devient grand, la fréquence observée a tendance à se stabiliser autour de la probabilité théorique.
- Identifier le nombre total d’issues.
- Identifier les issues favorables.
- Écrire la fraction.
- Simplifier si possible.
- Conclure avec une phrase.
- Compléter les branches manquantes.
- Vérifier que chaque somme de branches vaut \(1\).
- Repérer le chemin demandé.
- Multiplier le long du chemin.
- Si nécessaire, additionner plusieurs chemins.
Exemple complet — plusieurs chemins
On lance deux fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement une fois pile ?
Conclusion : la probabilité d’obtenir exactement une fois pile est \(\frac12\).