Géométrie dans l’espace & grandeurs et mesures

Solides • volumes (prismes, cylindres, cônes, boule) • conversions d’unités • vitesse et débit • repérage sur la Terre (latitude / longitude).

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Fiche PREMIUM — Géométrie dans l’espace & grandeurs (3e • Brevet)

Fiche ultra-efficace : formules • méthodes • conversions • vitesse/débit • repérage (latitude/longitude) + pièges Brevet.

Mémo formules Conversions Vitesse / Débit Latitude / Longitude
1) Formules essentielles (à connaître par cœur)
Volumes des solides
\[ \begin{aligned} &\textbf{Prisme droit : } V=\mathcal{A}_{\text{base}}\times h\\ &\textbf{Cylindre : } V=\pi r^{2}h\\ &\textbf{Cône : } V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\\ &\textbf{Boule : } V=\frac{4}{3}\pi r^{3} \end{aligned} \]
\(r\) : rayon • \(h\) : hauteur (distance perpendiculaire) • \(\mathcal{A}_{\text{base}}\) : aire de la base.
Aires utiles
\[ \begin{aligned} &\textbf{Rectangle : } \mathcal{A}=L\times \ell \\ &\textbf{Triangle : } \mathcal{A}=\frac{b\times h}{2} \\ &\textbf{Disque : } \mathcal{A}=\pi r^2 \\ &\textbf{Cercle (périmètre) : } \mathcal{P}=2\pi r \end{aligned} \]
2) Méthode Brevet — calculer un volume proprement
Check-list (à faire à chaque exercice)
  1. Identifier le solide.
  2. Repérer les mesures utiles : \(r\), \(h\), base…
  3. Mettre tout dans la même unité (ex : tout en cm).
  4. Appliquer la formule du volume.
  5. Écrire l’unité : cm³, m³…
  6. Convertir si demandé (en L, m³…).
Mini-exemple express

Cylindre : \(r=3\ \text{cm}\), \(h=12\ \text{cm}\).

\[ V=\pi r^{2}h=\pi\times 3^{2}\times 12=108\pi\ \text{cm}^{3} \]
⚠️ Piège : ne jamais confondre hauteur et “côté incliné”. La hauteur est une distance perpendiculaire.
3) Conversions — le résumé qui fait gagner des points
Longueurs

À chaque “pas” : \(\times 10\) ou \(\div 10\).

Ex : \(2{,}5\ \text{m}=250\ \text{cm}\).
Aires

À chaque “pas” : \(\times 100\) ou \(\div 100\) (car \(10^2\)).

\[ 1\ \text{m}^{2}=10\,000\ \text{cm}^{2} \]
⚠️ Piège : en aires, ce n’est pas \(\times 10\).
Volumes

À chaque “pas” : \(\times 1000\) ou \(\div 1000\) (car \(10^3\)).

\[ 1\ \text{m}^{3}=1\,000\,000\ \text{cm}^{3} \]
⚠️ Piège : oublier le “cube” → donc \(\times 1000\).
Lien Litres ↔ dm³ ↔ m³ (à savoir)
\[ 1\ \text{L}=1\ \text{dm}^{3} \qquad 1\ \text{m}^{3}=1000\ \text{L} \qquad 1\ \text{cm}^{3}=1\ \text{mL} \]
Astuce : si on veut des litres, travailler en dm³.
4) Vitesse & Débit — formules + conversions
Vitesse
\[ v=\frac{d}{t} \qquad d=v\times t \qquad t=\frac{d}{v} \]
Unités cohérentes : km avec h, ou m avec s.
Conversion km/h ↔ m/s
\[ 1\ \text{km/h}=\frac{5}{18}\ \text{m/s} \qquad 1\ \text{m/s}=3{,}6\ \text{km/h} \]
Astuce : km/h → m/s : diviser par 3,6.
Débit
\[ Q=\frac{V}{t} \qquad V=Q\times t \qquad t=\frac{V}{Q} \]
⚠️ Piège : \(Q\) en L/min mais \(t\) demandé en h → convertir !
5) Repérage (latitude / longitude) — résumé clair
Définitions
  • Latitude : angle par rapport à l’équateur (Nord / Sud).
  • Longitude : angle par rapport au méridien de Greenwich (Est / Ouest).
Bornes
  • Latitude : de \(0^\circ\) à \(90^\circ\) (N ou S).
  • Longitude : de \(0^\circ\) à \(180^\circ\) (E ou O).
⚠️ Piège : Nord/Sud = latitude ; Est/Ouest = longitude.
Mini-exemple

Paris : \(48{,}9^\circ\ \text{N}\), \(2{,}3^\circ\ \text{E}\).

  • \(48{,}9^\circ\ \text{N}\) → au Nord de l’équateur.
  • \(2{,}3^\circ\ \text{E}\) → à l’Est de Greenwich.
6) Pièges Brevet — anti-erreurs
  • Unités mélangées : toujours tout convertir avant de calculer.
  • Aires vs volumes : aires → \(\times 100\), volumes → \(\times 1000\).
  • Cône : ne jamais oublier le \(\frac{1}{3}\).
  • Litres : \(1\ \text{L}=1\ \text{dm}^3\) (réflexe automatique).
  • Vitesse : km/h ↔ m/s : penser à \(3{,}6\).
  • Latitude / longitude : N/S = latitude ; E/O = longitude.
✔️ Fiche terminée. Prochaine étape : Quiz HARD (20 questions) ou corrigés détaillés des exercices.