Cours — Espace, Grandeurs Et Mesures (3e)
Objectif : maîtriser les volumes des solides usuels, les conversions (longueurs, aires, volumes, capacités),
les grandeurs composées (vitesse, débit), et le repérage sur la Terre (latitude / longitude).
Niveau : Brevet (18–20/20) — méthodes rapides + pièges fréquents.
- Face : surface plane du solide (base, faces latérales).
- Arête : segment commun à deux faces.
- Sommet : point commun à plusieurs arêtes.
- Hauteur \(h\) : distance perpendiculaire entre la base et le “haut”.
- Aire de base \(\mathcal{A}_{\text{base}}\) : aire de la face utilisée comme base.
On “empile” la base tout le long de la hauteur \(h\). Donc le volume est toujours :
- Prisme droit : base = triangle, rectangle, polygone…
- Cylindre : base = disque \(\Rightarrow \mathcal{A}_{\text{base}}=\pi r^2\).
Un cône “remplit” trois fois moins qu’un cylindre de même base et même hauteur.
On utilise le rayon \(r\). La formule “\( \frac{4}{3} \pi r^3 \)” est à connaître.
- Identifier le solide (prisme / cylindre / cône / boule).
- Repérer les mesures utiles : rayon \(r\), hauteur \(h\), dimensions de la base…
- Mettre toutes les mesures dans la même unité (ex : tout en cm).
- Appliquer la formule du volume.
- Donner l’unité : cm³, m³, …
- Convertir si demandé (en L, en m³, etc.).
Cylindre de rayon \(r=3\ \text{cm}\) et hauteur \(h=10\ \text{cm}\).
\[ V=\pi r^2 h=\pi\times 3^2\times 10=\pi\times 9\times 10=90\pi\ \text{cm}^3 \]Cône de même base et même hauteur que le cylindre précédent.
\[ V=\frac{1}{3}\pi r^2 h=\frac{1}{3}\times 90\pi=30\pi\ \text{cm}^3 \]mm → cm → dm → m → dam → hm → km : à chaque pas, on multiplie/divise par 10.
Quand on passe d’une unité d’aire à la suivante : facteur 100 (car \(10^2\)).
Quand on passe d’une unité de volume à la suivante : facteur 1000 (car \(10^3\)).
- On calcule un volume en cm³ ? → convertir en dm³ (÷1000) pour obtenir des L.
- Ou utiliser : \(1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{mL}\).
On sait : \(1\ \text{km}=1000\ \text{m}\) et \(1\ \text{h}=3600\ \text{s}\).
Une voiture roule à \(72\ \text{km/h}\). Convertir en m/s.
\[ 72\ \text{km/h} = 72\times \frac{5}{18} = 4\times 5 = 20\ \text{m/s} \]Le débit \(Q\) se lit “combien de volume par unité de temps”. Exemple : \(12\ \text{L/min}\) signifie 12 litres chaque minute.
Une pompe a un débit de \(15\ \text{L/min}\). Combien de temps pour \(3\,000\ \text{L}\) ?
\[ t=\frac{V}{Q}=\frac{3000}{15}=200\ \text{min} \]- Débit en L/min mais temps demandé en heures → convertir.
- Volume en m³ mais débit en L/s → passer tout en L ou tout en m³.
- Latitude : angle qui mesure l’éloignement par rapport à l’équateur.
- Longitude : angle qui mesure l’éloignement par rapport au méridien de Greenwich.
- Latitude : de \(0^\circ\) (équateur) à \(90^\circ\) Nord ou Sud.
- Longitude : de \(0^\circ\) (Greenwich) à \(180^\circ\) Est ou Ouest.
Paris est environ à \(48{,}9^\circ\ \text{N}\) et \(2{,}3^\circ\ \text{E}\).
- \(48{,}9^\circ\ \text{N}\) : au nord de l’équateur (latitude).
- \(2{,}3^\circ\ \text{E}\) : à l’est de Greenwich (longitude).
- Je repère l’équateur → je lis la latitude (N/S).
- Je repère Greenwich → je lis la longitude (E/O).
- Je vérifie l’ordre (lat puis long) et les lettres N/S/E/O.
- Je sais choisir la bonne formule (prisme/cylindre/cône/boule).
- Je sais identifier \(r\), \(h\), \(\mathcal{A}_{\text{base}}\) et vérifier les unités.
- Je sais convertir longueurs (×10), aires (×100), volumes (×1000).
- Je connais \(1\ \text{L}=1\ \text{dm}^3\) et \(1\ \text{m}^3=1000\ \text{L}\).
- Je maîtrise \(v=\frac{d}{t}\) et la conversion \(1\ \text{m/s}=3{,}6\ \text{km/h}\).
- Je comprends latitude (N/S) et longitude (E/O).