Cours PREMIUM — Géométrie dans l’espace & grandeurs et mesures (3e • Brevet)
Objectif : maîtriser les volumes des solides usuels, les conversions (longueurs, aires, volumes, capacités),
les grandeurs composées (vitesse, débit), et le repérage sur la Terre (latitude / longitude).
Niveau : Brevet (18–20/20) — méthodes rapides + pièges fréquents.
Solides : prismes • cylindres • cônes • boules
Conversions : mm↔m • cm²↔m² • cm³↔m³ • L↔m³
Vitesse / Débit : formules + unités
Latitude / Longitude : repérage sur globe
0) Mémo des formules (à savoir par cœur)
Volumes (unités : cm³, m³, …)
\[
\begin{aligned}
&\textbf{Prisme droit : } V = \mathcal{A}_{\text{base}}\times h \\
&\textbf{Cylindre : } V = \pi r^2 h \\
&\textbf{Cône : } V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \\
&\textbf{Boule : } V = \frac{4}{3}\pi r^3
\end{aligned}
\]
Ici, \(r\) est le rayon, \(h\) la hauteur, \(\mathcal{A}_{\text{base}}\) l’aire de la base.
Aires utiles
\[
\begin{aligned}
&\textbf{Rectangle : } \mathcal{A}=L\times \ell \qquad
\textbf{Triangle : } \mathcal{A}=\frac{b\times h}{2}\\
&\textbf{Disque : } \mathcal{A}=\pi r^2 \qquad
\textbf{Cercle : } \mathcal{P}=2\pi r
\end{aligned}
\]
Grandeurs composées
\[
\textbf{Vitesse : } v=\frac{d}{t}
\qquad
\textbf{Distance : } d=v\times t
\qquad
\textbf{Temps : } t=\frac{d}{v}
\]
\[
\textbf{Débit : } Q=\frac{V}{t}
\qquad
\textbf{Volume : } V=Q\times t
\qquad
\textbf{Temps : } t=\frac{V}{Q}
\]
1) Solides de l’espace : vocabulaire essentiel
a) Les éléments à repérer
- Face : surface plane du solide (base, faces latérales).
- Arête : segment commun à deux faces.
- Sommet : point commun à plusieurs arêtes.
- Hauteur \(h\) : distance perpendiculaire entre la base et le “haut”.
- Aire de base \(\mathcal{A}_{\text{base}}\) : aire de la face utilisée comme base.
⚠️ Piège : la “hauteur” n’est pas une arête inclinée. C’est une distance perpendiculaire.
b) Prisme droit / cylindre : même idée
Idée
On “empile” la base tout le long de la hauteur \(h\).
Donc le volume est toujours :
\[
V=\mathcal{A}_{\text{base}}\times h
\]
Exemples
- Prisme droit : base = triangle, rectangle, polygone…
- Cylindre : base = disque \(\Rightarrow \mathcal{A}_{\text{base}}=\pi r^2\).
c) Cône : “même base”, mais volume divisé par 3
Un cône “remplit” trois fois moins qu’un cylindre de même base et même hauteur.
\[
V_{\text{cône}}=\frac{1}{3}\pi r^2 h
\]
Mémo Brevet : cône = cylindre ÷ 3 (si même \(r\) et même \(h\)).
d) Boule / sphère
On utilise le rayon \(r\). La formule “\( \frac{4}{3} \pi r^3 \)” est à connaître.
\[
V_{\text{boule}}=\frac{4}{3}\pi r^3
\]
⚠️ Ne pas confondre : sphère = surface ; boule = volume.
2) Méthode type — calculer un volume sans se tromper
Étapes universelles
- Identifier le solide (prisme / cylindre / cône / boule).
- Repérer les mesures utiles : rayon \(r\), hauteur \(h\), dimensions de la base…
- Mettre toutes les mesures dans la même unité (ex : tout en cm).
- Appliquer la formule du volume.
- Donner l’unité : cm³, m³, …
- Convertir si demandé (en L, en m³, etc.).
Exemple 1 — cylindre (simple)
Cylindre de rayon \(r=3\ \text{cm}\) et hauteur \(h=10\ \text{cm}\).
\[
V=\pi r^2 h=\pi\times 3^2\times 10=\pi\times 9\times 10=90\pi\ \text{cm}^3
\]
Approximation : \(90\pi \approx 90\times 3{,}14 = 282{,}6\ \text{cm}^3\).
Exemple 2 — cône (piège classique)
Cône de même base et même hauteur que le cylindre précédent.
\[
V=\frac{1}{3}\pi r^2 h=\frac{1}{3}\times 90\pi=30\pi\ \text{cm}^3
\]
⚠️ Piège : oublier le \(\frac{1}{3}\).
3) Conversions (indispensable Brevet)
a) Longueurs (×10 ou ÷10)
mm → cm → dm → m → dam → hm → km : à chaque pas, on multiplie/divise par 10.
Exemple : \(2{,}5\ \text{m} = 250\ \text{cm}\).
b) Aires (×100 ou ÷100)
Quand on passe d’une unité d’aire à la suivante : facteur 100 (car \(10^2\)).
\[
1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2
\]
⚠️ Piège : croire que c’est ×10 (comme les longueurs). En aires, c’est ×100.
c) Volumes (×1000 ou ÷1000)
Quand on passe d’une unité de volume à la suivante : facteur 1000 (car \(10^3\)).
\[
1\ \text{m}^3 = 1\,000\,000\ \text{cm}^3
\]
⚠️ Piège : oublier le cube : en volumes, c’est ×1000 à chaque “pas”.
d) Litre et m³ (super important)
\[
1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3
\qquad
1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{L}
\qquad
1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{mL}
\]
Exemple : \(2{,}5\ \text{L} = 2{,}5\ \text{dm}^3 = 0{,}0025\ \text{m}^3\).
Méthode express (Brevet) : “mettre en dm³ si on veut des litres”
- On calcule un volume en cm³ ? → convertir en dm³ (÷1000) pour obtenir des L.
- Ou utiliser : \(1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{mL}\).
4) Vitesse (km/h, m/s) — méthode et conversions
a) Formules
\[
v=\frac{d}{t},\qquad d=v\times t,\qquad t=\frac{d}{v}
\]
Toujours écrire les unités : km, m ; h, s ; etc.
b) Conversion km/h ↔ m/s
On sait : \(1\ \text{km}=1000\ \text{m}\) et \(1\ \text{h}=3600\ \text{s}\).
\[
1\ \text{km/h}=\frac{1000}{3600}\ \text{m/s}=\frac{5}{18}\ \text{m/s}
\]
\[
1\ \text{m/s}=3{,}6\ \text{km/h}
\]
⚠️ Piège : mélanger heures et secondes sans convertir.
Exemple 3 — vitesse en m/s
Une voiture roule à \(72\ \text{km/h}\). Convertir en m/s.
\[
72\ \text{km/h} = 72\times \frac{5}{18} = 4\times 5 = 20\ \text{m/s}
\]
Astuce Brevet : diviser par 3,6 pour passer de km/h à m/s.
5) Débit (L/min, m³/s…) — méthode Brevet
a) Formule
\[
Q=\frac{V}{t}
\]
Le débit \(Q\) se lit “combien de volume par unité de temps”.
Exemple : \(12\ \text{L/min}\) signifie 12 litres chaque minute.
Exemple 4 — remplir une piscine
Une pompe a un débit de \(15\ \text{L/min}\). Combien de temps pour \(3\,000\ \text{L}\) ?
\[
t=\frac{V}{Q}=\frac{3000}{15}=200\ \text{min}
\]
\(200\ \text{min} = 3\ \text{h}\ 20\ \text{min}\).
b) Pièges classiques
- Débit en L/min mais temps demandé en heures → convertir.
- Volume en m³ mais débit en L/s → passer tout en L ou tout en m³.
6) Repérage sur la Terre : latitude et longitude
a) Les 2 angles qui repèrent un point
- Latitude : angle qui mesure l’éloignement par rapport à l’équateur.
- Longitude : angle qui mesure l’éloignement par rapport au méridien de Greenwich.
On donne souvent : \(\text{latitude}\) puis \(\text{longitude}\).
b) Sens et valeurs
- Latitude : de \(0^\circ\) (équateur) à \(90^\circ\) Nord ou Sud.
- Longitude : de \(0^\circ\) (Greenwich) à \(180^\circ\) Est ou Ouest.
⚠️ Ne pas inverser : Nord/Sud = latitude ; Est/Ouest = longitude.
Exemple 5 — lire une position
Paris est environ à \(48{,}9^\circ\ \text{N}\) et \(2{,}3^\circ\ \text{E}\).
- \(48{,}9^\circ\ \text{N}\) : au nord de l’équateur (latitude).
- \(2{,}3^\circ\ \text{E}\) : à l’est de Greenwich (longitude).
c) Mini-méthode Brevet (questions fréquentes)
- Je repère l’équateur → je lis la latitude (N/S).
- Je repère Greenwich → je lis la longitude (E/O).
- Je vérifie l’ordre (lat puis long) et les lettres N/S/E/O.
7) Synthèse — Check-list Brevet (à cocher mentalement)
- Je sais choisir la bonne formule (prisme/cylindre/cône/boule).
- Je sais identifier \(r\), \(h\), \(\mathcal{A}_{\text{base}}\) et vérifier les unités.
- Je sais convertir longueurs (×10), aires (×100), volumes (×1000).
- Je connais \(1\ \text{L}=1\ \text{dm}^3\) et \(1\ \text{m}^3=1000\ \text{L}\).
- Je maîtrise \(v=\frac{d}{t}\) et la conversion \(1\ \text{m/s}=3{,}6\ \text{km/h}\).
- Je comprends latitude (N/S) et longitude (E/O).
Prochaine étape : exercices progressifs + quiz HARD (pièges Brevet) + fiche ultra-synthèse.