Exercices corrigés — Espace, Grandeurs Et Mesures (3e)

Méthode. Utilise V = πr²h en vérifiant que le rayon, la hauteur et l’unité demandée sont correctement identifiés.

Calculs.
a) Le rayon vaut 4 cm.
b) V = π×4²×6 = 96π cm³.
Conclusion : le volume exact est 96π cm³.

Résultats. a) 4 ; b) \(96\pi\).

Méthode. Pour un cône, utilise V = (πr²h)/3. Ne confonds pas rayon, diamètre, hauteur et génératrice.

Calculs.
a) Le diamètre vaut 2×5 = 10 cm.
b) V = π×5²×\(\dfrac{12}{3}\) = 100π cm³.

Résultats. a) 10 ; b) \(100\pi\).

Méthode. Pour une boule, utilise V = 4πr³/3 ; pour une demi-boule, prends la moitié du volume de la boule.

Calculs.
a) Le diamètre vaut 12 cm.
b) V = 4π×\(\dfrac{216}{3}\) = 288π cm³.

Résultats. a) 12 ; b) \(288\pi\).

Méthode. Calcule l’aire de la base puis utilise V = (\(A_{\text{base}}\) × h)/3.

Calculs.
a) A = 9² = 81 cm².
b) V = 81×\(\dfrac{8}{3}\) = 216 cm³.

Résultats. a) 81 ; b) 216.

Méthode. Repère un triangle rectangle dans la figure, écris l’égalité de Pythagore avec les longueurs connues, puis simplifie avant de prendre la racine carrée.

Calculs.
a) Diagonale de la base : √(5²+12²)=13 cm.
b) Diagonale de l’espace : √(13²+84²)=85 cm.

Résultats. a) 13 ; b) 85.

Méthode. Écris la formule du volume avec l’inconnue, remplace les données, puis isole l’inconnue en gardant les valeurs exactes aussi longtemps que possible.

Calculs.
a) Aire de base = 16π cm².
b) h = 320π/(16π)=20 cm.

Résultats. a) \(16\pi\) ; b) 20.

Méthode. Décompose le solide en solides usuels, calcule chaque volume séparément avec les mêmes unités, puis additionne. Si une homothétie intervient, applique ensuite le cube du coefficient aux volumes.

Calculs.
a) \(V_{\text{cyl}}\) = 180π cm³.
b) \(V_{\text{total}}\) = 180π + 144π = 324π cm³.

Résultats. a) \(180\pi\) ; b) \(324\pi\).

Méthode. La section parallèle crée des solides semblables. Détermine d’abord le coefficient de longueur k ; les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³. Pour un tronc, soustrais ensuite le petit volume au grand.

Calculs.
a) Coefficient de volume = \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\) = \(\dfrac{1}{8}\).
b) Petit volume = \(\dfrac{320\pi}{8}\) = 40π cm³.

Résultats. a) 8 ; b) \(40\pi\).

Méthode. Calcule le volume total de la partie utile, puis applique la fraction ou la hauteur réellement remplie. Convertis seulement à la fin.

Calculs.
a) \(V_{\text{total}}\) = 90×40×50 = 180 000 cm³ = 180 L.
b) Eau = 180×\(\dfrac{3}{5}\) = 108 L.

Résultats. a) 180 ; b) 108.

Méthode. Repère un triangle rectangle dans la figure, écris l’égalité de Pythagore avec les longueurs connues, puis simplifie avant de prendre la racine carrée.

Calculs.
a) g² = 64+225 = 289.
b) g = 17 cm.

Résultats. a) 289 ; b) 17.

Méthode. La section parallèle crée des solides semblables. Détermine d’abord le coefficient de longueur k ; les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³. Pour un tronc, soustrais ensuite le petit volume au grand.

Calculs.
a) Les cônes sont semblables avec k=1/2, donc la hauteur du petit cône vaut 8 cm.
b) \(V_{\text{grand}}\)=\(\dfrac{1024\pi}{3}\), \(V_{\text{petit}}\)=\(\dfrac{128\pi}{3}\), donc \(V_{\text{tronc}}\)=\(\dfrac{896\pi}{3}\) cm³.

Résultats. a) 8 ; b) \(\dfrac{896\pi}{3}\).

Méthode. Calcule d’abord le volume du solide extérieur, puis celui du solide inscrit. Le volume libre est obtenu par soustraction.

Calculs.
a) \(V_{\text{pavé}}\) = 10×10×12 = 1 200 cm³.
b) \(V_{\text{cyl}}\) = 300π cm³, donc \(V_{\text{non occupé}}\) = 1200 - 300π cm³.

Résultats. a) 1200 ; b) 300.

Méthode. Calcule d’abord le volume du solide extérieur, puis celui du solide inscrit. Le volume libre est obtenu par soustraction.

Calculs.
a) \(V_{\text{cube}}\) = 512 cm³.
b) \(V_{\text{vide}}\) = 512 - \(\dfrac{256\pi}{3}\) cm³.

Résultats. a) 512 ; b) 256.

Méthode. Calcule le volume de matière en cm³, puis utilise m = ρV. Pour un tube creux, commence par soustraire les deux cylindres coaxiaux.

Calculs.
a) V = 72π cm³.
b) m = 7,5×72π = 540π g.

Résultats. a) \(72\pi\) ; b) 540.

Méthode. Calcule l’aire de la section triangulaire, puis multiplie par la longueur du prisme droit.

Calculs.
a) Aire de section = 4×3/2 = 6 m².
b) Volume = 6×5 = 30 m³.

Résultats. a) 6 ; b) 30.

Méthode. L’aire de la couronne est π(R²-r²). Multiplie ensuite cette aire par la longueur du tube pour obtenir le volume de matière.

Calculs.
a) Aire de la couronne = π(36-25)=11π cm².
b) Volume de matière = 11π×15 = 165π cm³.

Résultats. a) \(11\pi\) ; b) \(165\pi\).

Méthode. Repère un triangle rectangle dans la figure, écris l’égalité de Pythagore avec les longueurs connues, puis simplifie avant de prendre la racine carrée.

Calculs.
a) Diagonale de base = √(9²+12²)=15 cm.
b) Diagonale spatiale = √(15²+20²)=25 cm.

Résultats. a) 15 ; b) 25.

Méthode. Repère un triangle rectangle dans la figure, écris l’égalité de Pythagore avec les longueurs connues, puis simplifie avant de prendre la racine carrée.

Calculs.
a) OA = 4√2 cm.
b) SA = √(6²+(4√2)²)=√68=2√17 cm.

Résultats. a) \(4\sqrt{2}\) ; b) \(2\sqrt{17}\).

Méthode. Décompose le solide en solides usuels, calcule chaque volume séparément avec les mêmes unités, puis additionne. Si une homothétie intervient, applique ensuite le cube du coefficient aux volumes.

Calculs.
a) \(V_{\text{cône}}\) = 27π cm³.
b) \(V_{\text{total}}\) = 27π+18π=45π cm³.

Résultats. a) \(27\pi\) ; b) \(45\pi\).

Méthode. Décompose le solide en solides usuels, calcule chaque volume séparément avec les mêmes unités, puis additionne. Si une homothétie intervient, applique ensuite le cube du coefficient aux volumes.

Calculs.
a) \(V_{\text{cyl}}\) = 45π m³.
b) \(V_{\text{total}}\) = 45π+12π = 57π m³.

Résultats. a) \(45\pi\) ; b) \(57\pi\).

Méthode. La section parallèle crée des solides semblables. Détermine d’abord le coefficient de longueur k ; les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³. Pour un tronc, soustrais ensuite le petit volume au grand.

Calculs.
a) k=9/27=1/3, donc le rayon du petit cône vaut 3 cm.
b) \(V_{\text{grand}}\)=729π, \(V_{\text{petit}}\)=27π, donc \(V_{\text{tronc}}\)=702π cm³.

Résultats. a) 3 ; b) \(702\pi\).

Méthode. La section parallèle crée des solides semblables. Détermine d’abord le coefficient de longueur k ; les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³. Pour un tronc, soustrais ensuite le petit volume au grand.

Calculs.
a) Le rapport des côtés est 1/2 ; la petite hauteur prolongée vaut 12 cm.
b) \(V_{\text{grande}}\) = 1 568 cm³, \(V_{\text{petite}}\) = 196 cm³, donc \(V_{\text{tronc}}\) = 1 372 cm³.

Résultats. a) 12 ; b) 1372.

Méthode. Décompose le solide en solides usuels, calcule chaque volume séparément avec les mêmes unités, puis additionne. Si une homothétie intervient, applique ensuite le cube du coefficient aux volumes.

Calculs.
a) \(V_{\text{cyl}}\) = 126π cm³.
b) Les deux demi-boules forment une boule de 36π cm³ ; total = 162π cm³.

Résultats. a) \(126\pi\) ; b) \(162\pi\).

Méthode. Calcule le volume de matière en cm³, puis utilise m = ρV. Pour un tube creux, commence par soustraire les deux cylindres coaxiaux.

Calculs.
a) \(V_{\text{matière}}\) = π(36-16)×25 = 500π cm³.
b) m = 7,5×500π = 3 750π g.

Résultats. a) \(500\pi\) ; b) 3750.

Méthode. Décompose le solide en solides usuels, calcule chaque volume séparément avec les mêmes unités, puis additionne. Si une homothétie intervient, applique ensuite le cube du coefficient aux volumes.

Calculs.
a) \(V_{\text{cyl}}\) = 20π m³.
b) \(V_{\text{demi-boule}}\) = \(\dfrac{16\pi}{3}\), donc \(V_{\text{total}}\) = \(\dfrac{76\pi}{3}\) m³.

Résultats. a) 20 ; b) \(\dfrac{76}{3}\).

Méthode. Relie le coefficient de longueur au volume : un coefficient k sur les longueurs devient k³ sur les volumes. Pour l’assemblage, compte aussi le nombre de petits cubes sur une arête.

Calculs.
a) Le rapport de longueurs est \(\sqrt[3]{\dfrac{64}{27}}=\dfrac{4}{3}\).
b) Rayon grand = 6×4/3 = 8 cm.

Résultats. a) 4 ; b) 8.

Méthode. Relie le coefficient de longueur au volume : un coefficient k sur les longueurs devient k³ sur les volumes. Pour l’assemblage, compte aussi le nombre de petits cubes sur une arête.

Calculs.
a) Arête du grand cube = 3×2 = 6 cm.
b) Volume = 6³ = 216 cm³.

Résultats. a) 6 ; b) 216.

Méthode. Calcule le volume total de la partie utile, puis applique la fraction ou la hauteur réellement remplie. Convertis seulement à la fin.

Calculs.
a) Volume de grain = π×3²×3,5 = 31,5π m³.
b) Capacité totale = 45π + 12π = 57π m³.

Résultats. a) \(31.5\pi\) ; b) \(57\pi\).

Méthode. La section parallèle crée des solides semblables. Détermine d’abord le coefficient de longueur k ; les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³. Pour un tronc, soustrais ensuite le petit volume au grand.

Calculs.
a) k=6/18=1/3, donc le côté de la section vaut 4 cm.
b) \(V_{\text{grande}}\)=864 cm³, \(V_{\text{petite}}\)=32 cm³, donc \(V_{\text{tronc}}\)=832 cm³.

Résultats. a) 4 ; b) 832.

Méthode. Décompose le solide en solides usuels, calcule chaque volume séparément avec les mêmes unités, puis additionne. Si une homothétie intervient, applique ensuite le cube du coefficient aux volumes.

Calculs.
a) \(V_{\text{initial}}\) = 128π + 32π + \(\dfrac{128\pi}{3}\) = \(\dfrac{608\pi}{3}\) cm³.
b) Le volume est multiplié par \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^3=\dfrac{27}{8}\), donc \(V_{\text{final}}\) = 684π cm³.

Résultats. a) \(\dfrac{608\pi}{3}\) ; b) \(684\pi\).