Fiche de révision — Fonctions linéaires (3e)
À apprendre + méthodes Brevet : reconnaître • tracer • lire • modéliser.
Ultra-synthèse
Brevet
Méthodes
1) Définition
\[
\boxed{f \text{ est linéaire } \iff f(x)=ax}
\]
- \(a\) s’appelle le coefficient directeur (pente).
- La courbe est une droite qui passe par l’origine \(O(0;0)\).
- Fonction linéaire ⇔ proportionnalité.
Test éclair
Si \(f(0)\neq 0\), alors la droite ne passe pas par \(O\) ⇒ pas linéaire.
2) Calculs rapides
Image
Pour calculer l’image de \(x\) :
\[
\boxed{f(x)=ax}
\]
Exemple : si \(f(x)=-3x\), alors \(f(2)=-6\).
Antécédent
Pour trouver l’antécédent de \(k\) :
\[
\boxed{ax=k}
\]
Exemple : \(2x=10 \Rightarrow x=5\).
Astuce (signes)
Si \(a<0\), alors la droite descend : quand \(x\) augmente, \(f(x)\) diminue.
3) Coefficient directeur \(a\)
\[
\boxed{a=\frac{y}{x}\ \text{si } M(x;y) \text{ est sur la droite et } x\neq 0}
\]
Méthode Brevet
- La droite passe toujours par \(O(0;0)\).
- On prend un point \(M(x;y)\) sur la droite.
- On calcule \(a=\dfrac{y}{x}\).
- On écrit : \(\boxed{f(x)=ax}\).
\[
\text{Exemple : } M(4;-10)\Rightarrow a=\frac{-10}{4}=-\frac{5}{2}
\Rightarrow f(x)=-\frac{5}{2}x
\]
Sens
\[
a>0 \Rightarrow \text{croissante}\qquad
a<0 \Rightarrow \text{décroissante}
\]
Pente
\[
|a|\ \text{grand} \Rightarrow \text{droite plus pentue}
\]
4) Tracer la droite (méthode rapide)
Méthode “2 points”
- Placer \(O(0;0)\).
- Choisir \(x=1\) (souvent le plus simple).
- Calculer \(f(1)=a\) ⇒ placer \(A(1;a)\).
- Tracer la droite passant par \(O\) et \(A\).
\[
\boxed{\text{Une droite est déterminée par 2 points.}}
\]
Piège
Si tu traces une droite qui ne passe pas par \(O(0;0)\), tu as forcément quitté le cadre “linéaire”.
5) Lecture graphique
Lire une image
On part de \(x\) (axe horizontal) → on monte jusqu’à la droite → on lit \(y\).
\[
y=f(x)
\]
Lire un antécédent
On part de \(y\) (axe vertical) → on va jusqu’à la droite → on lit \(x\).
\[
f(x)=y
\]
6) Modélisation (proportionnalité)
\[
\boxed{\text{“par” } \Rightarrow \text{ proportionnalité } \Rightarrow f(x)=ax}
\]
Prix
\(2{,}80\) €/kg ⇒ \(P(x)=2{,}80x\)
Vitesse
\(90\) km/h ⇒ \(d(t)=90t\)
7) Mini-fiche Brevet (à savoir refaire)
- Reconnaître : \(f(x)=ax\) et droite passant par \(O(0;0)\).
- Retrouver \(a\) avec un point \(M(x;y)\) : \(a=\dfrac{y}{x}\).
- Tracer en 15 secondes : points \(O(0;0)\) et \(A(1;a)\).
- Résoudre \(f(x)=k\) : équation \(ax=k\).
- Lire image / antécédent correctement sur un graphique.