Fiche de révision — Fonctions linéaires (3e)
Cette fiche de révision de maths en 3ème résume le chapitre Fonctions linéaires. Elle aide à mémoriser les définitions, les formules, les méthodes et les points de vigilance avant un contrôle.
Fiche de révision — Fonctions linéaires
Résumé Brevet : reconnaître \(f(x)=ax\), calculer image/antécédent, trouver \(a\), tracer la droite et utiliser la proportionnalité.
1. Mémo express
Forme
\[
\boxed{f(x)=ax}
\]
\(a\) est le coefficient directeur.
Graphique
Droite passant toujours par \(O(0;0)\).
Proportionnalité
Une fonction linéaire traduit une situation proportionnelle.
Réflexe Brevet : si la droite ne passe pas par l’origine, ce n’est pas une fonction linéaire.
2. Reconnaître rapidement
| Expression | Type | À retenir |
|---|---|---|
| \(f(x)=3x\) | linéaire | Forme \(ax\). |
| \(g(x)=-\dfrac{5}{2}x\) | linéaire | Forme \(ax\), avec \(a=-\dfrac52\). |
| \(h(x)=3x+2\) | affine non linéaire | Il y a un terme constant. |
| \(u(x)=x^2\) | non linéaire | Ce n’est pas de la forme \(ax\). |
Attention : \(f(x)=ax+b\) est linéaire seulement si \(b=0\).
3. Calculs essentiels
Calculer une image
Exemple : \(f(x)=-4x\).
\[
f(3)=-4\times3=-12.
\]
L’image de \(3\) est \(-12\).
Trouver un antécédent
Exemple : trouver l’antécédent de \(20\) par \(f(x)=-4x\).
\[
-4x=20
\quad\Longrightarrow\quad
x=-5.
\]
Pour trouver le coefficient directeur :
\[
\boxed{a=\frac{f(x)}{x}}
\quad\text{avec } x\ne0.
\]
Exemple : si \(f(8)=12\), alors
\[
a=\frac{12}{8}=\frac32.
\]
4. Graphique à connaître
Exemple : \(f(x)=2x\)
La droite passe par \(O(0;0)\) et par \((3;6)\).
Cas particulier : \(f(x)=0\)
La droite est l’axe des abscisses.
Pour tracer une fonction linéaire, deux points suffisent : \(O(0;0)\) et un autre point calculé.
5. Lien avec la proportionnalité
| \(x\) | 1 | 2 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 3 | 6 | 15 | 24 |
On vérifie :
\[
\frac31=3,\quad
\frac62=3,\quad
\frac{15}{5}=3,\quad
\frac{24}{8}=3.
\]
Le coefficient est constant, donc :
\[
\boxed{f(x)=3x}.
\]
6. Méthodes rapides Brevet
| Question | Méthode | Exemple |
|---|---|---|
| Image | Remplacer \(x\). | \(f(4)=3\times4=12\) |
| Antécédent | Résoudre \(ax=y\). | \(3x=12\Rightarrow x=4\) |
| Coefficient \(a\) | Calculer \(\dfrac{y}{x}\). | Si \(f(5)=20\), alors \(a=4\) |
| Tracer | Placer \(O(0;0)\) et un autre point. | Pour \(f(x)=2x\), utiliser \((3;6)\) |
Exemple type Brevet
Une fonction linéaire \(f\) vérifie \(f(6)=15\).
Comme \(f(x)=ax\), on a :
\[
6a=15
\]
donc :
\[
a=\frac{15}{6}=\frac52.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{f(x)=\frac52x}.
\]
7. Pièges + checklist
Pièges classiques
- Dire que \(2x+3\) est linéaire.
- Confondre image et antécédent.
- Oublier que la droite passe par \(O(0;0)\).
- Calculer \(a=\dfrac{x}{y}\) au lieu de \(a=\dfrac{y}{x}\).
Je dois savoir faire
- Reconnaître \(f(x)=ax\).
- Calculer une image.
- Trouver un antécédent.
- Calculer le coefficient \(a\).
- Tracer la droite.
- Relier fonction linéaire et proportionnalité.
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