Fonctions linéaires

3e Maths — représentation graphique • coefficient directeur • tableaux de valeurs • lecture graphique • modélisation.

Cours Exercices Fiche Quiz
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Exercices — Fonctions linéaires (3e)

Série progressive : calcul d’images • tableaux de valeurs • tracés de droites • lecture graphique • modélisation. Objectif : être solide Brevet.

Progressif Méthodes Brevet Défis
0) Rappel express
\[ \boxed{f \text{ linéaire } \iff f(x)=ax \quad \text{et la droite passe par } O(0;0)} \]
  • Image : on calcule \(f(x)\).
  • Antécédent de \(k\) : résoudre \(ax=k\).
  • Coefficient directeur : si \(M(x;y)\) est sur la droite et \(x\neq 0\), alors \(a=\dfrac{y}{x}\).
A) Niveau 1 — Calculs directs (facile)
Exercice 1 — Calcul d’images

Soit \(f(x)=3x\). Calculer :

\[ f(5),\quad f(-2),\quad f(0),\quad f\!\left(\frac{1}{3}\right) \]
\[ f(5)=3\times 5=15,\quad f(-2)=3\times(-2)=-6,\quad f(0)=0,\quad f\!\left(\frac{1}{3}\right)=3\times\frac{1}{3}=1 \]
Exercice 2 — Images avec signe

Soit \(g(x)=-4x\). Calculer :

\[ g(2),\quad g(-3),\quad g(1{,}5) \]
\[ g(2)=-4\times 2=-8,\quad g(-3)=-4\times(-3)=12,\quad g(1{,}5)=-4\times 1{,}5=-6 \]
Exercice 3 — Antécédents (résoudre \(ax=k\))

Trouver l’antécédent de \(k\) par \(f(x)=2x\) :

\[ k=10,\quad k=-6,\quad k=1 \]

On résout \(2x=k\).

\[ 2x=10 \Rightarrow x=5,\quad 2x=-6 \Rightarrow x=-3,\quad 2x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \]
B) Niveau 2 — Tableaux de valeurs (Brevet)
Exercice 4 — Tableau complet

Soit \(f(x)=\dfrac{3}{2}x\). Compléter le tableau :

\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -4 & -2 & 0 & 2 & 6\\ \hline f(x) & \ ? & \ ? & \ ? & \ ? & \ ? \end{array} \]

On calcule \(f(x)=\dfrac{3}{2}x\) pour chaque \(x\).

\[ f(-4)=\frac{3}{2}\times(-4)=-6,\quad f(-2)=-3,\quad f(0)=0,\quad f(2)=3,\quad f(6)=9 \]
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -4 & -2 & 0 & 2 & 6\\ \hline f(x) & -6 & -3 & 0 & 3 & 9 \end{array} \]
Exercice 5 — Choix malin des valeurs

On veut tracer \(g(x)=-\dfrac{5}{2}x\). Proposer un tableau de valeurs simple (avec des résultats entiers).

Comme le dénominateur est \(2\), on choisit des \(x\) multiples de \(2\) : \(-4,-2,0,2,4\).

\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -4 & -2 & 0 & 2 & 4\\ \hline g(x)=-\frac{5}{2}x & 10 & 5 & 0 & -5 & -10 \end{array} \]
C) Niveau 3 — Tracé (méthode Brevet)
Exercice 6 — Tracer à partir de deux points

On considère \(f(x)= -3x\).

  1. Calculer \(f(1)\) et \(f(-1)\).
  2. Placer \(O(0;0)\), \(A(1;f(1))\) et \(B(-1;f(-1))\).
  3. Tracer la droite \((AB)\) (elle passe aussi par \(O\)).
\[ f(1)=-3,\quad f(-1)=3 \Rightarrow A(1;-3),\ B(-1;3) \]

La droite passant par \(A\) et \(B\) passe par \(O\) : c’est bien une fonction linéaire.

Exercice 7 — Retrouver l’équation à partir d’un point

La représentation d’une fonction linéaire passe par \(M(6;-9)\). Déterminer l’expression \(f(x)=ax\).

Une fonction linéaire vérifie \(y=ax\). Comme \(M(6;-9)\) est sur la droite et \(6\neq 0\), on calcule :

\[ a=\frac{y}{x}=\frac{-9}{6}=-\frac{3}{2} \]
\[ \boxed{f(x)=-\frac{3}{2}x} \]
D) Niveau 4 — Lecture graphique (méthode)
Exercice 8 — Lire une image (avec une droite donnée par points)

Une droite passe par \(O(0;0)\) et \(A(2;5)\). On considère la fonction linéaire associée.

  1. Déterminer \(a\).
  2. Calculer \(f(6)\).
  3. Déterminer l’antécédent de \(10\).

Comme \(A(2;5)\) est sur la droite, \(5=a\times 2\), donc :

\[ a=\frac{5}{2} \Rightarrow f(x)=\frac{5}{2}x \]
\[ f(6)=\frac{5}{2}\times 6=15 \]

Antécédent de \(10\) : résoudre \(\frac{5}{2}x=10\).

\[ \frac{5}{2}x=10 \Rightarrow 5x=20 \Rightarrow x=4 \]
E) Niveau 5 — Modélisation (proportionnalité)
Exercice 9 — Prix proportionnel

Un taxi facture \(1{,}80\) € par km (pas de prise en charge).

  1. Exprimer le prix \(P(x)\) en fonction de la distance \(x\) (en km).
  2. Calculer le prix pour \(12\) km.
  3. Quelle distance correspond à un prix de \(27\) € ?

C’est proportionnel : \(P(x)=1{,}80x\).

\[ P(12)=1{,}80\times 12=21{,}6 \]

Distance pour \(27\) € : résoudre \(1{,}80x=27\).

\[ x=\frac{27}{1{,}80}=15 \]
\[ \boxed{\text{Distance : } 15\ \text{km}} \]
Exercice 10 — Vitesse constante

Un cycliste roule à \(24\) km/h. On note \(d(t)\) la distance (en km) au bout de \(t\) heures.

  1. Exprimer \(d(t)\).
  2. Quelle distance en \(1{,}5\) h ?
  3. Combien de temps pour parcourir \(54\) km ?
\[ d(t)=24t \]
\[ d(1{,}5)=24\times 1{,}5=36 \]

Temps pour \(54\) km : résoudre \(24t=54\).

\[ t=\frac{54}{24}=\frac{9}{4}=2{,}25 \]
\[ \boxed{t=2{,}25\ \text{h} \ (2\ \text{h}\ 15\ \text{min})} \]
F) Défis Brevet (plus dur)
Exercice 11 — Comparaison de deux fonctions linéaires

On considère \(f(x)=\dfrac{3}{4}x\) et \(g(x)=-\dfrac{5}{6}x\).

  1. Dire laquelle est croissante et laquelle est décroissante.
  2. Calculer \(f(12)\) et \(g(12)\).
  3. Résoudre \(f(x)=9\).

\(f\) est croissante car \(a=\frac{3}{4}>0\). \(g\) est décroissante car \(-\frac{5}{6}<0\).

\[ f(12)=\frac{3}{4}\times 12=9,\qquad g(12)=-\frac{5}{6}\times 12=-10 \]

Résoudre \(f(x)=9\) :

\[ \frac{3}{4}x=9 \Rightarrow 3x=36 \Rightarrow x=12 \]
Exercice 12 — Proportionnalité : vrai ou faux ?

On étudie un tableau :

\[ \begin{array}{c|cccc} x & 1 & 2 & 4 & 7\\ \hline y & 3 & 6 & 12 & 20 \end{array} \]
  1. Dire si \(y\) est proportionnel à \(x\).
  2. Justifier avec un test rapide.

On teste le quotient \(\dfrac{y}{x}\).

\[ \frac{3}{1}=3,\quad \frac{6}{2}=3,\quad \frac{12}{4}=3,\quad \frac{20}{7}\neq 3 \]

Le quotient n’est pas constant (car \(\frac{20}{7}\neq 3\)), donc ce n’est pas proportionnel : ce n’est pas une fonction linéaire.

Mini-check (avant de passer au quiz)
  • Je sais calculer une image \(f(x)=ax\).
  • Je sais trouver un antécédent en résolvant \(ax=k\).
  • Je sais construire un tableau de valeurs intelligent (choisir des \(x\) adaptés).
  • Je sais retrouver \(a\) avec un point \(M(x;y)\) : \(a=\dfrac{y}{x}\).
  • Je sais modéliser une situation “par …” (€/kg, km/h, €/min).