Cours — Fonctions linéaires (3e)
Cette page propose un cours de mathématiques en 3ème sur Fonctions linéaires. Tu y retrouves les notions essentielles, les méthodes à connaître et des exemples pour travailler lecture graphique, images et antécédents, variations, modélisation.
Exemple avec \(f(x)=-4x\) : \[ f(3)=-4\times3=-12. \] L’image de \(3\) est \(-12\).
Exemple avec \(f(x)=-4x\), antécédent de \(20\) : \[ -4x=20 \quad\Longrightarrow\quad x=-5. \] Un antécédent de \(20\) est \(-5\).
Cours — Fonctions linéaires
L’essentiel pour le Brevet : reconnaître une fonction linéaire, calculer une image,
trouver un antécédent, déterminer le coefficient directeur et lire une droite.
1. L’essentiel à connaître
Une fonction linéaire est une fonction de la forme :
\[
\boxed{f(x)=ax}
\]
Le nombre \(a\) est le coefficient directeur.
Sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine \(O(0;0)\).
Expression
Une fonction linéaire s’écrit toujours :
\[
f(x)=ax.
\]
Exemples :
\[
f(x)=3x,\qquad g(x)=-2x,\qquad h(x)=\frac52x.
\]
Graphique
La droite représentative passe toujours par :
\[
O(0;0).
\]
Si une droite ne passe pas par l’origine, elle ne représente pas une fonction linéaire.
2. Reconnaître une fonction linéaire
Pour reconnaître une fonction linéaire, on vérifie que l’expression est exactement de la forme \(ax\),
sans terme ajouté, sans carré, sans inverse.
| Expression | Fonction linéaire ? | Raison |
|---|---|---|
| \(f(x)=5x\) | Oui | Forme \(ax\), avec \(a=5\). |
| \(g(x)=-\dfrac32x\) | Oui | Forme \(ax\), avec \(a=-\dfrac32\). |
| \(h(x)=2x+7\) | Non | Il y a un terme constant \(+7\). |
| \(u(x)=x^2\) | Non | Ce n’est pas de la forme \(ax\). |
Le piège classique est de confondre fonction linéaire et fonction affine.
3. Fonction linéaire ou fonction affine ?
| Expression | Type | Explication |
|---|---|---|
| \(f(x)=3x\) | Linéaire | Forme \(ax\). |
| \(g(x)=3x+2\) | Affine non linéaire | Forme \(ax+b\) avec \(b\ne0\). |
| \(h(x)=-5x\) | Linéaire | Forme \(ax\). |
| \(u(x)=7\) | Constante | Pas de terme en \(x\), sauf cas particulier \(f(x)=0\). |
À retenir : toute fonction linéaire est affine, mais toute fonction affine n’est pas forcément linéaire.
4. Calculer une image et un antécédent
Image
Pour trouver l’image de \(x\), on calcule \(f(x)\).
Exemple avec \(f(x)=-4x\) : \[ f(3)=-4\times3=-12. \] L’image de \(3\) est \(-12\).
Antécédent
Pour trouver un antécédent de \(y\), on résout \(f(x)=y\).
Exemple avec \(f(x)=-4x\), antécédent de \(20\) : \[ -4x=20 \quad\Longrightarrow\quad x=-5. \] Un antécédent de \(20\) est \(-5\).
Exemple complet
Soit \(f(x)=\dfrac32x\).
Image de \(8\) : \[ f(8)=\frac32\times8=12. \] Antécédent de \(15\) : \[ \frac32x=15 \quad\Longrightarrow\quad x=15\times\frac23=10. \]
Image de \(8\) : \[ f(8)=\frac32\times8=12. \] Antécédent de \(15\) : \[ \frac32x=15 \quad\Longrightarrow\quad x=15\times\frac23=10. \]
5. Trouver le coefficient directeur
Si une fonction linéaire vérifie \(f(x)=y\), alors :
\[
\boxed{a=\frac{y}{x}}
\]
avec \(x\ne0\).
| Information | Calcul | Fonction |
|---|---|---|
| \(f(5)=20\) | \(a=\dfrac{20}{5}=4\) | \(f(x)=4x\) |
| \(g(3)=-12\) | \(a=\dfrac{-12}{3}=-4\) | \(g(x)=-4x\) |
| \(h(-2)=10\) | \(a=\dfrac{10}{-2}=-5\) | \(h(x)=-5x\) |
6. Tableau de proportionnalité et fonction linéaire
Une fonction linéaire représente toujours une situation de proportionnalité.
| \(x\) | 1 | 2 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 3 | 6 | 15 | 24 |
On vérifie :
\[
\frac31=3,
\qquad
\frac62=3,
\qquad
\frac{15}5=3,
\qquad
\frac{24}8=3.
\]
Le coefficient est constant et vaut \(3\). Donc :
\[
\boxed{f(x)=3x}.
\]
7. Représentation graphique
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine \(O(0;0)\).
Exemple — \(f(x)=2x\)
La droite passe par \(O(0;0)\) et par \((3;6)\).
Exemple — \(f(x)=-x\)
Si le coefficient est négatif, la droite descend de gauche à droite.
Cas particulier — \(f(x)=0\)
La droite est l’axe des abscisses.
Comparer deux coefficients
Plus le coefficient est grand, plus la droite est pentue.
Si la droite ne passe pas par l’origine, alors la fonction n’est pas linéaire.
8. Méthodes rapides Brevet
| Question | Méthode | Exemple |
|---|---|---|
| Calculer une image | Remplacer \(x\) par la valeur donnée. | \(f(4)=3\times4=12\) |
| Trouver un antécédent | Résoudre \(ax=y\). | \(3x=12\Rightarrow x=4\) |
| Trouver \(a\) | Utiliser \(a=\dfrac{y}{x}\). | Si \(f(5)=20\), alors \(a=4\) |
| Tracer la droite | Placer \(O(0;0)\) et un autre point. | Pour \(f(x)=2x\), prendre \((3;6)\) |
Exemple type Brevet
Une fonction linéaire \(f\) vérifie \(f(6)=15\).
Comme \(f(x)=ax\), on a : \[ 6a=15 \] donc : \[ a=\frac{15}{6}=\frac52. \] Ainsi : \[ \boxed{f(x)=\frac52x}. \]
Comme \(f(x)=ax\), on a : \[ 6a=15 \] donc : \[ a=\frac{15}{6}=\frac52. \] Ainsi : \[ \boxed{f(x)=\frac52x}. \]
9. Pièges classiques
Piège 1
Dire que \(f(x)=2x+3\) est linéaire. C’est faux : elle ne passe pas par l’origine.
Piège 2
Confondre image et antécédent : \(f(4)=12\) signifie que l’image de \(4\) est \(12\).
Piège 3
Oublier que \(O(0;0)\) appartient toujours à la droite d’une fonction linéaire.
Piège 4
Calculer \(a\) avec \(\dfrac{x}{y}\) au lieu de \(\dfrac{y}{x}\).
10. Checklist avant le Brevet
- Je sais reconnaître une fonction de la forme \(f(x)=ax\).
- Je sais distinguer une fonction linéaire d’une fonction affine non linéaire.
- Je sais calculer une image.
- Je sais trouver un antécédent.
- Je sais calculer le coefficient directeur \(a\).
- Je sais construire un tableau de valeurs.
- Je sais tracer une droite passant par l’origine.
- Je sais utiliser une fonction linéaire dans une situation de proportionnalité.
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