Fonctions linéaires

3e Maths — représentation graphique • coefficient directeur • tableaux de valeurs • lecture graphique • modélisation.

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Cours SOLIDE — Fonctions linéaires (3e)

Objectif Brevet : reconnaître une fonction linéaire, construire un tableau de valeurs, tracer sa droite, lire une valeur sur le graphique, et modéliser une situation de proportionnalité.

Représentation Coefficient directeur Tableaux Lecture graphique Modélisation
1) Définition
\[ \boxed{\text{Une fonction linéaire est une fonction de la forme } f(x)=ax} \]
  • \(a\) est un nombre (positif, nul ou négatif) appelé coefficient directeur (ou pente).
  • La représentation graphique de \(f\) est une droite qui passe par l’origine \(O(0;0)\).
  • Une fonction linéaire décrit une situation de proportionnalité.
Piège Brevet
Si la droite ne passe pas par \(O(0;0)\), alors ce n’est pas une fonction linéaire (ce sera plutôt une fonction affine \(ax+b\)).
2) Calcul d’images et tableau de valeurs

Pour calculer l’image d’un nombre \(x\), on remplace \(x\) dans \(f(x)=ax\).

\[ f(x)=ax \quad \Rightarrow \quad f(3)=a\times 3,\quad f(-2)=a\times(-2) \]
Exemple 1

Soit \(f(x)=2x\).

\[ f(5)=2\times 5=10,\qquad f(-3)=2\times(-3)=-6 \]
Exemple 2 (tableau)

On construit un tableau pour tracer la droite.

\[ \begin{array}{c|cccc} x & -2 & 0 & 1 & 3\\ \hline f(x)=2x & -4 & 0 & 2 & 6 \end{array} \]
Méthode Brevet (très efficace)
Pour tracer une fonction linéaire, deux points suffisent : toujours \(O(0;0)\) et un autre point, par exemple \(A(1;f(1))\).
3) Représentation graphique

La courbe de \(f(x)=ax\) est une droite : elle passe par \(O(0;0)\) et sa pente dépend de \(a\).

Construction
  1. Placer \(O(0;0)\).
  2. Choisir un \(x\) simple (souvent \(1\), \(2\), \(-1\)).
  3. Calculer \(f(x)=ax\) et placer le point.
  4. Tracer la droite passant par ces deux points.
Exemple

Pour \(f(x)=-3x\) :

\[ f(1)=-3 \Rightarrow A(1;-3),\qquad f(-1)=3 \Rightarrow B(-1;3) \]

La droite passe par \(O\) et descend (car \(a<0\)).

3bis) Graphes (visuel) — fonctions linéaires

Chaque graphe ci-dessous montre une droite passant par \(O(0;0)\). On compare plusieurs valeurs de \(a\) pour comprendre la pente.

Cas \(a>0\) : \(f(x)=2x\) (droite croissante)

Points repères : \(O(0;0)\) et \(A(1;2)\).

x y O(0;0) A(1;2)
\[ \text{Ici } a=2 \Rightarrow \text{la droite monte “vite”.} \]
Cas \(a<0\) : \(f(x)=-x\) (droite décroissante)

Points repères : \(O(0;0)\) et \(B(2;-2)\).

x y O(0;0) B(2;-2)
\[ \text{Ici } a=-1 \Rightarrow \text{quand } x \text{ augmente, } f(x) \text{ diminue.} \]
Cas \(a=0\) : \(f(x)=0\)

La droite est confondue avec l’axe des abscisses.

x y O(0;0)
\[ a=0 \Rightarrow f(x)=0 \text{ pour tout } x. \]
Comparaison des pentes : \(f(x)=x\) et \(g(x)=4x\)

Plus \(|a|\) est grand, plus la droite est pentue.

x y O(0;0) \(f(x)=x\) \(g(x)=4x\)
Lecture
\(g(x)=4x\) est plus pentue que \(f(x)=x\) car \(|4|>|1|\).
Méthode Brevet (à retenir)
Pour tracer rapidement : placer \(O(0;0)\), puis \(A(1;a)\) (car \(f(1)=a\)), et relier.
4) Coefficient directeur \(a\) : sens et calcul
\[ \boxed{a \text{ est le coefficient directeur (pente) de la droite}} \]
  • Si \(a>0\) : la droite monte quand \(x\) augmente.
  • Si \(a=0\) : \(f(x)=0\) (droite confondue avec l’axe des abscisses).
  • Si \(a<0\) : la droite descend quand \(x\) augmente.
  • Plus \(|a|\) est grand, plus la droite est pentue.
Comment retrouver \(a\) avec un point ?

Si un point \(M(x;y)\) (avec \(x\neq 0\)) est sur la droite de \(f(x)=ax\), alors

\[ y=ax \quad \Rightarrow \quad \boxed{a=\dfrac{y}{x}} \]

Exemple : si \(M(4;10)\) est sur la droite, alors

\[ a=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2} \]
Méthode (avec deux points)
Si la droite passe par \(O\) et par \(M(x;y)\) avec \(x\neq 0\), alors \(\;a=\dfrac{y}{x}\). C’est la formule “Brevet” la plus rapide.
5) Lecture graphique : image / antécédent
Lire une image

Pour lire \(f(x)\) : on repère \(x\) sur l’axe horizontal, on monte jusqu’à la droite, puis on lit \(y\).

\[ x \xrightarrow{\text{vertical}} \text{droite} \xrightarrow{\text{horizontal}} y=f(x) \]
Lire un antécédent

Pour résoudre \(f(x)=k\) : on repère \(k\) sur l’axe vertical, on va jusqu’à la droite, puis on redescend lire \(x\).

\[ y=k \xrightarrow{\text{horizontal}} \text{droite} \xrightarrow{\text{vertical}} x \]
Piège
Ne pas confondre “image” (\(y\)) et “antécédent” (\(x\)). Au Brevet, on te demande souvent : “Quel est l’antécédent de \(6\) ?”
6) Modélisation (proportionnalité)

Une situation de proportionnalité se modélise par une fonction linéaire : \[ f(x)=ax \] où \(a\) représente le “prix par unité”, la “vitesse”, le “coût par km”, etc.

Exemple : prix au kilo

Des pommes coûtent \(2{,}80\) € par kg. Pour \(x\) kg :

\[ f(x)=2{,}80x \]

Pour \(3\) kg : \(f(3)=2{,}80\times 3=8{,}40\) €.

Exemple : distance à vitesse constante

À \(90\) km/h, la distance après \(x\) heures :

\[ f(x)=90x \]

En \(2\) h : \(f(2)=180\) km.

Astuce
Dans un problème, si on lit “par” (€/kg, km/h, €/min…), alors on pense : proportionnalité \(\Rightarrow f(x)=ax\).
7) Check-list Brevet (à savoir faire)
  • Reconnaître une fonction linéaire : \(f(x)=ax\) et la droite passe par \(O(0;0)\).
  • Calculer \(f(x)\) pour une valeur donnée (produit \(a\times x\)).
  • Faire un tableau de valeurs (au moins 2 points).
  • Tracer la droite (avec \(O\) + un point comme \(A(1;f(1))\)).
  • Déterminer \(a\) avec un point \(M(x;y)\) : \(a=\dfrac{y}{x}\).
  • Lire une image et un antécédent sur un graphique.
  • Modéliser une situation de proportionnalité : \(f(x)=ax\).