Fiche de révision — Fonctions affines (3e)
Cette fiche de révision de maths en 3ème résume le chapitre Fonctions affines. Elle aide à mémoriser les définitions, les formules, les méthodes et les points de vigilance avant un contrôle.
Fiche méthode — Fonctions affines (3e)
Ultra-synthèse Brevet : reconnaître \(a\) et \(b\), calculer une image, trouver un antécédent,
lire une droite sur un graphique et retrouver l’expression d’une fonction affine.
\(f(x)=ax+b\)
coefficient directeur \(a\)
ordonnée à l’origine \(b\)
graphique
2 points
Brevet
1) Formule à connaître par cœur
\[
f(x)=ax+b
\]
Coefficient directeur \(a\)
- Il donne la pente de la droite.
- Quand \(x\) augmente, il indique comment \(f(x)\) varie.
- \(a>0\) : la droite monte.
- \(a<0\) : la droite descend.
- \(a=0\) : la droite est horizontale.
Constante \(b\)
- \(b=f(0)\).
- \(b\) est l’ordonnée à l’origine.
- La droite coupe l’axe vertical au point \((0\ ;\ b)\).
Piège fréquent
- \(b\) est l’image de \(0\), pas l’image de \(1\).
- \(a\) n’est pas une ordonnée : c’est une variation, donc une pente.
2) Reconnaître \(a\) et \(b\) dans une formule
| Fonction | Coefficient \(a\) | Constante \(b\) | Variation |
|---|---|---|---|
| \(f(x)=2x+5\) | \(2\) | \(5\) | croissante |
| \(g(x)=-3x+1\) | \(-3\) | \(1\) | décroissante |
| \(h(x)=7\) | \(0\) | \(7\) | constante |
| \(u(x)=\dfrac12x-4\) | \(\dfrac12\) | \(-4\) | croissante |
Cas particulier : fonction linéaire
Une fonction linéaire est une fonction affine avec \(b=0\) :
\[
f(x)=ax
\]
Sa droite passe toujours par l’origine \((0\ ;\ 0)\).
3) Trouver \(a\) et \(b\) sur un graphique
Étape 1 — Trouver \(b\)
On regarde où la droite coupe l’axe des ordonnées. Ici, elle coupe l’axe vertical au point \(A(0\ ;\ 1)\).
\[
b=1
\]
Étape 2 — Trouver \(a\)
On choisit deux points de la droite. Ici : \(A(0\ ;\ 1)\) et \(B(2\ ;\ 5)\).
\[
a=\frac{5-1}{2-0}=\frac{4}{2}=2
\]
Conclusion
Ici, \(a=2\) et \(b=1\). Donc l’expression de la fonction est :
\[
f(x)=2x+1
\]
4) Trouver l’expression avec deux points
Formule du coefficient directeur
Si la droite passe par deux points \(A(x_A\ ;\ y_A)\) et \(B(x_B\ ;\ y_B)\), alors :
\[
a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}
\]
Méthode complète
- Calculer \(a\) avec la formule.
- Utiliser un point connu dans \(y=ax+b\).
- Résoudre pour trouver \(b\).
- Écrire la fonction sous la forme \(f(x)=ax+b\).
Exemple
La droite passe par \(A(1\ ;\ 3)\) et \(B(4\ ;\ 9)\).
\[
a=\frac{9-3}{4-1}=\frac{6}{3}=2
\]
Donc \(f(x)=2x+b\). Comme \(A(1\ ;\ 3)\) est sur la droite :
\[
3=2\times1+b \Longrightarrow b=1
\]
Donc :
\[
f(x)=2x+1
\]
Attention
- Ne pas inverser \(x\) et \(y\) dans la formule.
- Il faut garder le même ordre : si on commence par \(y_B-y_A\), alors on écrit \(x_B-x_A\).
5) Calculer une image
Méthode
- Repérer la valeur de \(x\).
- Remplacer \(x\) dans la formule.
- Calculer le produit puis l’addition.
- Faire attention aux signes.
Exemple
\[
f(x)=-2x+3
\]
\[
f(4)=-2\times4+3=-8+3=-5
\]
Donc l’image de \(4\) est \(-5\).
Erreur classique
Avec un nombre négatif, mets des parenthèses :
\[
f(-3)=-2\times(-3)+3=6+3=9
\]
6) Trouver un antécédent
Idée clé
Chercher l’antécédent de \(y\), c’est chercher la valeur de \(x\) qui donne \(y\). On résout donc :
\[
ax+b=y
\]
Exemple
\[
f(x)=3x-1
\]
Antécédent de \(8\) :
\[
3x-1=8 \Longrightarrow 3x=9 \Longrightarrow x=3
\]
Donc \(3\) est l’antécédent de \(8\).
Vérification rapide
\[
f(3)=3\times3-1=9-1=8
\]
7) Variations : lire le signe de \(a\)
| Signe de \(a\) | Variation | Graphiquement |
|---|---|---|
| \(a>0\) | fonction croissante | la droite monte de gauche à droite |
| \(a<0\) | fonction décroissante | la droite descend de gauche à droite |
| \(a=0\) | fonction constante | droite horizontale |
Si \(a>0\)
\[
\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & \to & +\infty\\ \hline
f(x) & -\infty & \nearrow & +\infty
\end{array}
\]
Si \(a<0\)
\[
\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & \to & +\infty\\ \hline
f(x) & +\infty & \searrow & -\infty
\end{array}
\]
8) Tracer la droite d’une fonction affine
Méthode fiable
- Calculer \(f(0)=b\), donc un premier point \((0\ ;\ b)\).
- Choisir un autre \(x\) simple : \(1\), \(2\), \(-1\), etc.
- Calculer l’image correspondante.
- Placer les deux points.
- Tracer la droite.
Exemple
Pour \(f(x)=x-2\) :
\[
f(0)=-2 \Rightarrow A(0\ ;\ -2)
\]
\[
f(2)=0 \Rightarrow B(2\ ;\ 0)
\]
On place \(A\) et \(B\), puis on trace la droite \((AB)\).
Astuce Brevet
Deux points suffisent pour tracer une droite. Le point \((0\ ;\ b)\) est souvent le plus rapide à placer.
9) Lecture graphique : image et antécédent
Lire une image
- Partir de la valeur de \(x\) sur l’axe horizontal.
- Monter ou descendre jusqu’à la droite.
- Lire l’ordonnée sur l’axe vertical.
Lire un antécédent
- Partir de la valeur de \(y\) sur l’axe vertical.
- Aller horizontalement jusqu’à la droite.
- Lire l’abscisse sur l’axe horizontal.
Attention
Sur un graphique, une lecture peut être approchée. On écrit alors :
\[
x\approx 1{,}5
\]
10) Résoudre graphiquement
Équation \(f(x)=c\)
On cherche l’abscisse du point où la droite de \(f\) coupe la droite horizontale \(y=c\).
Équation \(f(x)=g(x)\)
On cherche l’abscisse du point d’intersection des deux droites.
Exemple algébrique rapide
\[
f(x)=2x-1 \quad ; \quad g(x)=-x+5
\]
\[
f(x)=g(x) \Longleftrightarrow 2x-1=-x+5
\]
\[
3x=6 \Longleftrightarrow x=2
\]
Les deux droites se coupent pour \(x=2\).
Mini entraînement Brevet (5 minutes)
À faire
- Pour \(f(x)=4x-3\), calculer \(f(2)\).
- Pour \(g(x)=-2x+7\), trouver l’antécédent de \(1\).
- Dire si \(h(x)=-5x+2\) est croissante ou décroissante.
- Donner l’ordonnée à l’origine de \(u(x)=\dfrac12x-6\).
- Trouver l’expression de la droite passant par \(A(0\ ;\ -1)\) et \(B(3\ ;\ 5)\).
Réponses
\[
f(2)=4\times2-3=5
\]
\[
-2x+7=1 \Longleftrightarrow -2x=-6 \Longleftrightarrow x=3
\]
\[
-5<0 \Rightarrow h \text{ est décroissante}
\]
\[
u(0)=-6 \Rightarrow b=-6
\]
\[
a=\frac{5-(-1)}{3-0}=\frac{6}{3}=2
\]
\[
b=-1 \Rightarrow f(x)=2x-1
\]
Mémo express Brevet
Formules
- Fonction affine : \(f(x)=ax+b\)
- Fonction linéaire : \(f(x)=ax\)
- \(b=f(0)\)
- \(a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\)
Méthodes
- Image : remplacer \(x\).
- Antécédent : résoudre \(ax+b=y\).
- Variation : regarder le signe de \(a\).
- Graphique : lire \(b\), puis calculer la pente \(a\).
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