Fonctions affines

Graphes • lecture • variations • image et antécédent • résolution graphique

Cours Exercices Fiche Quiz
Prévisualiser (PDF) Télécharger

Cours SOLIDE — Fonctions affines (3e)

Objectif Brevet : savoir lire et tracer une droite, calculer une image, retrouver un antécédent, et résoudre graphiquement une équation du type \(\,ax+b=c\,\).

\(f(x)=ax+b\) pente \(a\) ordonnée à l’origine \(b\) droite
1) Définition et vocabulaire
Fonction affine
\[ f(x)=ax+b \] où \(a\) et \(b\) sont des nombres (souvent relatifs). Le graphe de \(f\) est une droite.
Image

L’image de \(x\) par \(f\) est \(f(x)\). Dire « l’image de \(2\) » signifie calculer \(f(2)\).

Antécédent

Un antécédent d’un nombre \(y\) est un \(x\) tel que \(f(x)=y\). On résout une équation (ou on lit sur le graphe).

Piège Brevet

Image : on calcule \(f(x)\).
Antécédent : on cherche \(x\) tel que \(f(x)=\text{valeur}\).

2) Rôle de \(a\) et \(b\)
Ordonnée à l’origine \(b\)

C’est l’image de \(0\) :

\[ f(0)=a\cdot 0+b=b \]

Sur le graphique, la droite coupe l’axe des ordonnées au point \((0\,;\,b)\).

Coefficient directeur \(a\) (pente)

Il indique comment la droite monte ou descend.

  • si \(a>0\) : la droite monte (fonction croissante)
  • si \(a<0\) : la droite descend (fonction décroissante)
  • si \(a=0\) : fonction constante \(f(x)=b\) (droite horizontale)
Lecture rapide

\(b\) = où la droite coupe l’axe \(y\).
\(a\) = “variation quand \(x\) augmente de 1”.

3) Calculer une image
Méthode
  1. Remplacer \(x\) par la valeur donnée.
  2. Calculer en respectant les priorités (produit puis addition).
  3. Soigner les signes.
Exemple
Soit \(f(x)= -3x+5\). Calculer \(f(2)\). \[ f(2)= -3\times 2 + 5 = -6+5=-1 \] Donc l’image de \(2\) est \(-1\).
Piège de signes
\[ f(-2)= -3\times(-2)+5 = 6+5=11 \] Le produit de deux nombres négatifs est positif.
4) Trouver un antécédent
Principe

Chercher l’antécédent de \(y\), c’est résoudre : \[ ax+b=y \]

Exemple
Soit \(f(x)=2x-7\). Chercher l’antécédent de \(5\). \[ 2x-7=5 \quad\Longrightarrow\quad 2x=12 \quad\Longrightarrow\quad x=6 \] Donc \(6\) est l’antécédent de \(5\).
Contrôle

Vérifie en remplaçant : \(f(6)=2\times 6-7=12-7=5\). ✅

5) Variations d’une fonction affine
Règle
  • si \(a>0\), \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\)
  • si \(a<0\), \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\)
  • si \(a=0\), \(f\) est constante
Exemple 1
\(f(x)=4x-1\) : \(a=4>0\) donc \(f\) est croissante.
Exemple 2
\(g(x)=-\dfrac{1}{2}x+3\) : \(a=-\dfrac{1}{2}<0\) donc \(g\) est décroissante.
Tableau de variation (schéma)
\[ \text{Si } a>0:\quad \begin{array}{c|ccc} x & -\infty & \to & +\infty\\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & +\infty \end{array} \qquad \text{Si } a<0:\quad \begin{array}{c|ccc} x & -\infty & \to & +\infty\\ \hline f(x) & +\infty & \searrow & -\infty \end{array} \]
6) Représentation graphique : tracer la droite
Méthode Brevet (fiable)
  1. Choisir deux valeurs simples de \(x\) (souvent \(0\) et \(1\) ou \(0\) et \(2\)).
  2. Calculer les images pour obtenir deux points \((x\,;\,f(x))\).
  3. Placer les deux points puis tracer la droite.
Exemple
Tracer \(f(x)= -2x+3\). \[ f(0)=3 \Rightarrow A(0\,;\,3) \qquad f(2)= -4+3=-1 \Rightarrow B(2\,;\,-1) \] On place \(A\) et \(B\), puis on trace la droite \((AB)\).
Astuce

Prendre \(x=0\) donne directement \((0\,;\,b)\). Ensuite choisir \(x=1\) ou \(x=2\) pour un calcul simple.

7) Lecture graphique (très demandé au Brevet)
Lire une image

Pour lire \(f(x_0)\) :

  • on repère \(x_0\) sur l’axe des abscisses,
  • on monte jusqu’à la droite,
  • on lit l’ordonnée : c’est l’image.
Lire un antécédent

Pour trouver un antécédent de \(y_0\) :

  • on repère \(y_0\) sur l’axe des ordonnées,
  • on va horizontalement jusqu’à la droite,
  • on descend sur l’axe \(x\) : on lit l’antécédent.
Attention (lecture)

Sur un graphique, la lecture est souvent approchée (ex : \(x\approx 1{,}8\)). On écrit alors « \(\approx\) ».

8) Résoudre graphiquement
1) Résoudre \(f(x)=c\)

On trace la droite \(y=f(x)\) et la droite horizontale \(y=c\). L’abscisse du point d’intersection est la solution.

2) Résoudre \(f(x)=g(x)\)

On trace les deux droites \(y=f(x)\) et \(y=g(x)\). L’abscisse de leur intersection est la solution.

Exemple type
\(f(x)=2x-1\) et \(g(x)=-x+5\). Résoudre \(f(x)=g(x)\). \[ 2x-1=-x+5 \Longrightarrow 3x=6 \Longrightarrow x=2 \] Graphiquement, les droites se coupent en \(x=2\).
À retenir (Brevet)
  • Fonction affine : \(f(x)=ax+b\)
  • \(b=f(0)\) : point \((0\,;\,b)\)
  • \(a>0\) croissante, \(a<0\) décroissante
  • Image : calculer \(f(x)\)
  • Antécédent de \(y\) : résoudre \(ax+b=y\)
  • Tracer : 2 points suffisent