Cours — Fonctions affines (3e)
Objectif Brevet : savoir reconnaître une fonction affine, calculer une image, retrouver un antécédent, déterminer le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine par le calcul ou sur un graphique.
L’image de \(x\) par \(f\) est \(f(x)\). Dire « l’image de \(2\) » signifie calculer \(f(2)\).
Un antécédent d’un nombre \(y\) est un nombre \(x\) tel que \(f(x)=y\). On cherche donc \(x\), souvent en résolvant une équation.
Image : on connaît \(x\), on calcule \(f(x)\).
Antécédent : on connaît \(f(x)\), on cherche \(x\).
C’est l’image de \(0\) :
\[ f(0)=a\times 0+b=b \]Sur le graphique, \(b\) est l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe vertical. Ce point est \((0\,;\,b)\).
Le coefficient directeur mesure la variation de \(f(x)\) quand \(x\) augmente.
\[ a=\frac{\text{variation des ordonnées}}{\text{variation des abscisses}} =\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \]Avec deux points \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\) de la droite, avec \(x_A\ne x_B\).
\(b\) = la droite coupe l’axe des ordonnées en \((0\,;\,b)\).
\(a\) = quand on avance de \(1\) en abscisse, l’ordonnée varie de \(a\).
On compare la formule donnée avec la forme générale :
\[ f(x)=ax+b \]Le nombre devant \(x\) est \(a\). Le nombre ajouté à la fin est \(b\).
| Fonction | Coefficient directeur \(a\) | Ordonnée à l’origine \(b\) | Variation |
|---|---|---|---|
| \(f(x)=2x+5\) | \(a=2\) | \(b=5\) | croissante |
| \(g(x)=-3x+1\) | \(a=-3\) | \(b=1\) | décroissante |
| \(h(x)=7-x\) | \(a=-1\) | \(b=7\) | décroissante |
| \(p(x)=4x\) | \(a=4\) | \(b=0\) | croissante |
Dans \(h(x)=7-x\), il faut réécrire mentalement \(h(x)=-x+7\). Donc \(a=-1\), pas \(a=7\).
- Repérer l’axe vertical, c’est l’axe des ordonnées.
- Regarder où la droite coupe cet axe.
- Lire l’ordonnée du point d’intersection : c’est \(b\).
Sur le graphique ci-dessous, la droite coupe l’axe des ordonnées au point \((0\,;\,1)\). Donc l’ordonnée à l’origine est :
\[ b=1 \]La droite représentée est bien \(y=2x+1\) : elle passe par \(A(0\,;\,1)\) et par \(B(2\,;\,5)\). L’escalier orange montre que l’on avance de \(2\) et que l’on monte de \(4\), donc \(a=\frac{4}{2}=2\).
- Choisir deux points visibles de la droite, par exemple \(A\) et \(B\).
- Lire leurs coordonnées : \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\).
- Calculer : \[ a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \]
On lit deux points de la droite :
\[ A(0\,;\,1) \qquad B(2\,;\,5) \] Alors : \[ a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} =\frac{5-1}{2-0} =\frac{4}{2} =2 \] Donc le coefficient directeur est \(a=2\).De \(A(0\,;\,1)\) à \(B(2\,;\,5)\), on avance de \(2\) vers la droite et on monte de \(4\). Donc :
\[ a=\frac{\text{on monte de }4}{\text{on avance de }2}=2 \]Si la droite descend quand on va vers la droite, alors \(a<0\). Par exemple, si on avance de \(2\) et on descend de \(6\), alors :
\[ a=\frac{-6}{2}=-3 \]- On calcule d’abord le coefficient directeur : \[ a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \]
- On utilise ensuite \(f(x)=ax+b\).
- On remplace \(x\) et \(f(x)\) par les coordonnées d’un point pour trouver \(b\).
La droite passe par \(A(1\,;\,3)\) et \(B(4\,;\,9)\). On cherche l’expression \(f(x)=ax+b\).
Étape 1 — Calculer \(a\)
\[ a=\frac{9-3}{4-1}=\frac{6}{3}=2 \]Étape 2 — Écrire la forme provisoire
\[ f(x)=2x+b \]Étape 3 — Utiliser un point, par exemple \(A(1\,;\,3)\)
\[ f(1)=3 \] \[ 2\times 1+b=3 \Longrightarrow 2+b=3 \Longrightarrow b=1 \]Conclusion
\[ f(x)=2x+1 \]On vérifie avec l’autre point \(B(4\,;\,9)\) :
\[ f(4)=2\times 4+1=9 \]Le point \(B\) est bien sur la droite. La formule est cohérente.
Une fonction linéaire est une fonction affine avec \(b=0\).
\[ f(x)=ax \]Sa représentation graphique est une droite qui passe toujours par l’origine \(O(0\,;\,0)\).
\(f(x)=3x\). Ici \(a=3\) et \(b=0\). La droite passe par \((0\,;\,0)\).
\(g(x)=3x+2\). Ici \(a=3\) et \(b=2\). La droite ne passe pas par l’origine.
Toutes les fonctions linéaires sont affines, mais toutes les fonctions affines ne sont pas linéaires.
- Remplacer \(x\) par la valeur donnée.
- Calculer en respectant les priorités : multiplication puis addition.
- Faire attention aux signes.
Soit \(f(x)= -3x+5\). Calculer \(f(2)\).
\[ f(2)= -3\times 2 + 5 = -6+5=-1 \]Donc l’image de \(2\) est \(-1\).
Le produit de deux nombres négatifs est positif.
Chercher l’antécédent de \(y\), c’est résoudre :
\[ ax+b=y \]Soit \(f(x)=2x-7\). Chercher l’antécédent de \(5\).
\[ 2x-7=5 \quad\Longrightarrow\quad 2x=12 \quad\Longrightarrow\quad x=6 \]Donc \(6\) est l’antécédent de \(5\).
\(f(6)=2\times6-7=12-7=5\). Le résultat est correct.
| Valeur de \(a\) | Comportement de la droite | Variation de la fonction |
|---|---|---|
| \(a>0\) | La droite monte de gauche à droite | fonction croissante |
| \(a<0\) | La droite descend de gauche à droite | fonction décroissante |
| \(a=0\) | La droite est horizontale | fonction constante |
- Choisir deux valeurs simples de \(x\), souvent \(0\) et \(1\) ou \(0\) et \(2\).
- Calculer les images pour obtenir deux points \((x\,;\,f(x))\).
- Placer les deux points.
- Tracer la droite qui passe par ces deux points.
Tracer \(f(x)= -2x+3\).
\[ f(0)=3 \Rightarrow A(0\,;\,3) \] \[ f(2)= -2\times2+3=-1 \Rightarrow B(2\,;\,-1) \]On place \(A\) et \(B\), puis on trace la droite \((AB)\).
Prendre \(x=0\) donne directement le point \((0\,;\,b)\).
Pour lire \(f(x_0)\) :
- on repère \(x_0\) sur l’axe des abscisses ;
- on monte ou on descend jusqu’à la droite ;
- on lit l’ordonnée : c’est l’image.
Pour trouver un antécédent de \(y_0\) :
- on repère \(y_0\) sur l’axe des ordonnées ;
- on va horizontalement jusqu’à la droite ;
- on descend ou on monte sur l’axe des abscisses.
Sur un graphique, une lecture peut être approchée. On écrit alors \(x\approx1{,}8\).
On trace la droite \(y=f(x)\) et la droite horizontale \(y=c\). L’abscisse du point d’intersection est la solution.
On trace les deux droites \(y=f(x)\) et \(y=g(x)\). L’abscisse de leur intersection est la solution.
\(f(x)=2x-1\) et \(g(x)=-x+5\). Résoudre \(f(x)=g(x)\).
\[ 2x-1=-x+5 \Longrightarrow 3x=6 \Longrightarrow x=2 \]Graphiquement, les droites se coupent pour \(x=2\).
On lit directement : \(a=-5\) et \(b=8\). La fonction est décroissante car \(a<0\).
La droite passe par \(A(2\,;\,1)\) et \(B(6\,;\,9)\).
\[ a=\frac{9-1}{6-2}=\frac{8}{4}=2 \] \[ f(x)=2x+b \] \[ A(2\,;\,1):\quad 2\times2+b=1 \Longrightarrow 4+b=1 \Longrightarrow b=-3 \] \[ f(x)=2x-3 \]On lit sur un graphique que la droite coupe l’axe des ordonnées en \((0\,;\,-2)\), donc \(b=-2\). On lit aussi un autre point \(B(3\,;\,4)\).
\[ a=\frac{4-(-2)}{3-0}=\frac{6}{3}=2 \] \[ f(x)=2x-2 \]- Fonction affine : \(f(x)=ax+b\)
- Fonction linéaire : \(f(x)=ax\)
- Ordonnée à l’origine : \(b=f(0)\)
- Coefficient directeur : \[ a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \]
- \(b\) se lit sur l’axe des ordonnées.
- \(a\) se calcule avec deux points de la droite.
- Si la droite monte, \(a>0\).
- Si la droite descend, \(a<0\).
- Deux points suffisent pour tracer une droite.