Fiche de révision — Équations Et Inéquations Du Premier Degré (3e)
Cette fiche de révision de maths en 3ème résume le chapitre Équations Et Inéquations Du Premier Degré. Elle aide à mémoriser les définitions, les formules, les méthodes et les points de vigilance avant un contrôle.
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3e
Chapitres
Fiche de révision — Équations et inéquations
L’essentiel à connaître pour le Brevet : équations du 1er degré • produit nul • inéquations • intervalles • problèmes.
1. Essentiel à retenir
Équation
Résoudre une équation, c’est trouver la valeur de l’inconnue qui rend une égalité vraie.
\[
3x-5=10
\quad\Longrightarrow\quad
3x=15
\quad\Longrightarrow\quad
x=5.
\]
Inéquation
Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs qui rendent une inégalité vraie.
\[
2x+1\le 7
\quad\Longrightarrow\quad
2x\le 6
\quad\Longrightarrow\quad
x\le 3.
\]
Une équation donne souvent une ou quelques valeurs. Une inéquation donne souvent un ensemble de solutions.
2. Équations du premier degré
Une équation du premier degré se ramène à :
\[
ax+b=0\quad (a\ne 0).
\]
Sa solution est :
\[
x=-\dfrac{b}{a}.
\]
| Type | Exemple | Solution |
|---|---|---|
| Simple | \(4x-7=13\) | \(x=5\) |
| Avec deux membres | \(5x-8=2x+10\) | \(x=6\) |
| Avec parenthèses | \(3(x-2)=2x+5\) | \(x=11\) |
Correction détaillée : résoudre \(5x-8=2x+10\)
\[
5x-8=2x+10
\]
On regroupe les termes en \(x\) à gauche :
\[
5x-2x=10+8
\]
\[
3x=18
\]
\[
x=6.
\]
Vérification :
\[
5\times6-8=22
\quad\text{et}\quad
2\times6+10=22.
\]
Donc la solution est \(\boxed{x=6}\).
3. Règle du produit nul
Si un produit est nul, alors au moins un facteur est nul :
\[
A\times B=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
A=0\ \text{ou}\ B=0.
\]
Exemple direct
\[
(x-4)(2x+3)=0
\]
\[
x-4=0
\quad\text{ou}\quad
2x+3=0.
\]
\[
\boxed{x=4\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac32}.
\]
Exemple à factoriser
\[
(x+2)^2=9
\]
\[
(x+2)^2-9=0
\]
\[
(x-1)(x+5)=0.
\]
\[
\boxed{x=1\quad\text{ou}\quad x=-5}.
\]
Attention : on applique le produit nul uniquement quand l’équation est égale à zéro.
4. Inéquations du premier degré
On résout une inéquation presque comme une équation. La règle importante :
si on multiplie ou divise par un nombre négatif, on change le sens de l’inégalité.
| Transformation | Sens de l’inégalité | Exemple |
|---|---|---|
| Ajouter / soustraire | Ne change pas | \(x+4<9\Rightarrow x<5\) |
| Diviser par un nombre positif | Ne change pas | \(3x\le 12\Rightarrow x\le 4\) |
| Diviser par un nombre négatif | Change | \(-2x<8\Rightarrow x>-4\) |
Correction détaillée : résoudre \(-2x+5\le 11\)
\[
-2x+5\le 11
\]
\[
-2x\le 6
\]
On divise par \(-2\), donc le sens change :
\[
x\ge -3.
\]
L’ensemble des solutions est :
\[
\boxed{x\ge -3}.
\]
5. Écriture avec intervalles
| Inégalité | Intervalle | Remarque |
|---|---|---|
| \(x\ge 2\) | \([2 ; +\infty[\) | 2 est inclus |
| \(x>2\) | \(]2 ; +\infty[\) | 2 est exclu |
| \(x\le -1\) | \(]-\infty ; -1]\) | -1 est inclus |
| \(x<-1\) | \(]-\infty ; -1[\) | -1 est exclu |
Avec \(+\infty\) et \(-\infty\), on met toujours un crochet ouvert.
6. Méthode Brevet : mise en équation
Les 5 étapes
- Définir l’inconnue : « On note \(x\) ... »
- Traduire l’énoncé par une équation ou une inéquation.
- Résoudre proprement.
- Vérifier si la solution est possible dans le contexte.
- Conclure par une phrase.
Exemple Brevet : problème de périmètre
Un rectangle a pour longueur \(3x+2\) et pour largeur \(x+5\). Son périmètre vaut \(54\).
\[
P=2((3x+2)+(x+5)).
\]
\[
P=2(4x+7)=8x+14.
\]
On résout :
\[
8x+14=54
\]
\[
8x=40
\]
\[
x=5.
\]
La longueur est \(17\) et la largeur est \(10\).
Exemple Brevet : problème avec une inéquation
Un forfait coûte \(12\) € puis \(3\) € par sortie. On veut payer au maximum \(45\) €.
\[
12+3x\le 45
\]
\[
3x\le 33
\]
\[
x\le 11.
\]
On peut faire au maximum \(\boxed{11}\) sorties.
7. Pièges à éviter
Piège 1
Diviser par un nombre négatif sans changer le sens :
\[
-3x\le 12
\Rightarrow
x\ge -4.
\]
Piège 2
Utiliser le produit nul alors que l’équation n’est pas égale à zéro.
\[
(x-2)(x+3)=5
\]
n’est pas directement une équation produit nul.
Piège 3
Oublier de vérifier le contexte : une longueur, un prix ou un nombre d’objets ne peut pas être négatif.
Piège 4
Écrire une réponse sans phrase finale dans un problème.
8. Checklist avant le Brevet
- Je sais résoudre \(ax+b=0\).
- Je sais regrouper les \(x\) d’un côté et les nombres de l’autre.
- Je sais utiliser la règle du produit nul.
- Je sais changer le sens d’une inégalité quand je divise par un nombre négatif.
- Je sais écrire une solution sous forme d’intervalle.
- Je sais conclure un problème avec une phrase claire.
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