Fiche de révision — Équations & inéquations du 1er degré (3e)
L’essentiel à connaître pour le Brevet : méthodes, formules, pièges, et modèles de rédaction. Notation FR respectée : intervalles [a ; b], \(]-\infty \ ; \ a]\), etc.
ax+b=0
Produit nul
Mise en équation
Inéquations
Intervalles
Pièges
1) Équations du premier degré
Forme type
\[
ax+b=0 \quad (a\ne 0)
\]
\[
ax=-b \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{b}{a}
\]
Méthode (check-list Brevet)
- Développer / réduire si besoin.
- Regrouper les \(x\) d’un côté et les nombres de l’autre.
- Diviser par le coefficient de \(x\).
- Écrire la solution puis vérifier.
Exemple flash
\[
2(3x-1)=5x+7
\]
\[
6x-2=5x+7 \Rightarrow x=9
\]
2) Produits nuls
Règle du produit nul
\[
A\times B = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad A=0 \ \text{ou}\ B=0
\]
Dès que tu vois une multiplication de facteurs, pense : produit nul.
Méthode
- Mettre sous forme “produit = 0” (souvent en factorisant).
- Résoudre chaque facteur = 0.
- Réunir les solutions.
Exemple flash
\[
(x-4)(2x+3)=0
\]
\[
x=4 \ \text{ou}\ x=-\frac{3}{2}
\]
Piège
- La règle ne marche pas avec \(A+B=0\). (Seulement avec une multiplication.)
- Ne jamais “simplifier” en divisant par un facteur qui pourrait être nul.
3) Mise en équation : problèmes
Méthode en 4 lignes (à apprendre)
- Soit \(x\) la grandeur cherchée (âge, nombre d’objets, longueur…).
- Traduire chaque phrase en expressions avec \(x\).
- Écrire l’équation correspondant à la condition “=”.
- Résoudre + conclure avec une phrase en français.
Modèle de rédaction (copiable)
\[
\text{Soit } x \text{ ...}
\]
\[
\text{Traduction : ...}
\]
\[
\text{On obtient l’équation : ...}
\]
\[
\text{Donc } x = ...
\]
\[
\text{Conclusion : ...}
\]
Exemple flash
J’ai 50 € et un article coûte 3 €. Combien puis-je en acheter au maximum ?
\[
3x \le 50 \Rightarrow x \le \frac{50}{3} \approx 16{,}66
\]
Conclusion : je peux en acheter au maximum 16.
4) Inéquations du premier degré
Règles
- Ajouter / soustraire le même nombre : le sens ne change pas.
- Multiplier / diviser par un nombre positif : le sens ne change pas.
- Multiplier / diviser par un nombre négatif : le sens s’inverse.
Exemple (sens conservé)
\[
2x+1 \le 7 \Rightarrow x \le 3
\]
Solution : \(]-\infty \ ; \ 3]\).
Exemple (sens inversé)
\[
-3x+5 > 2 \Rightarrow -3x>-3 \Rightarrow x<1
\]
Solution : \(]-\infty \ ; \ 1[\).
Intervalles (notation FR)
\[
x \le a \Rightarrow ]-\infty \ ; \ a]
\qquad
x < a \Rightarrow ]-\infty \ ; \ a[
\]
\[
x \ge a \Rightarrow [a \ ; \ +\infty[
\qquad
x > a \Rightarrow ]a \ ; \ +\infty[
\]
\[
a \le x \le b \Rightarrow [a \ ; \ b]
\qquad
a < x \le b \Rightarrow ]a \ ; \ b]
\]
5) Mémo express (à relire en 2 minutes)
- \(\boxed{ax+b=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{a}}\) (si \(a\ne 0\)).
- \(\boxed{A\times B=0 \Rightarrow A=0 \text{ ou } B=0}\).
- Inéquation : si on \(\times\) ou \(\div\) par un nombre négatif → on inverse le signe.
- On donne les solutions d’inéquations avec des intervalles (notation FR).
- Problème : “Soit \(x\) …” + équation/inéquation + résolution + phrase de conclusion.
Objectif atteint si tu sais :
- Résoudre vite une équation avec parenthèses.
- Reconnaître un produit nul et donner toutes les solutions.
- Faire une mise en équation propre en 4 lignes.
- Résoudre une inéquation et écrire l’intervalle correctement.