Objectif Brevet : savoir résoudre des équations et des inéquations du premier degré, utiliser la règle du produit nul, faire une mise en équation dans des problèmes, et rédiger une conclusion propre (avec intervalles [a ; b]).
Une équation est une égalité contenant une inconnue (souvent \(x\)). Résoudre une équation, c’est trouver la (ou les) valeur(s) de \(x\) qui rendent l’égalité vraie.
Une inéquation compare deux expressions avec \(<\), \(\le\), \(>\), \(\ge\). Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de \(x\) qui rendent l’inégalité vraie.
- On fait la même opération des deux côtés (équation) ou des deux membres (inéquation).
- On isole \(x\) en gardant une rédaction propre.
- On vérifie le résultat (au moins mentalement).
On veut isoler \(x\). On utilise des transpositions (ou opérations inverses).
- Regrouper les termes en \(x\) d’un côté, les nombres de l’autre.
- Factoriser éventuellement par \(x\).
- Diviser par le coefficient de \(x\).
- Écrire la solution et vérifier.
Vérification : \(3\times 5-5=15-5=10\) ✅
Vérification rapide : \(2(27-1)=52\) et \(45+7=52\) ✅
- Oublier de distribuer : \(2(3x-1)\ne 6x-1\) mais \(6x-2\).
- Oublier le signe “moins” : \(x-(2x-3)=x-2x+3\).
- Diviser par 0 (interdit). Si le coefficient devant \(x\) devient 0, on analyse le cas (rare en 3e mais possible).
C’est la méthode Brevet dès qu’il y a une multiplication de facteurs.
- Mettre l’équation sous la forme “produit = 0”.
- Appliquer la règle : chaque facteur peut être nul.
- Résoudre chaque petite équation.
- Réunir les solutions.
Ensemble solution : \(\{4 \ ; \ -\frac{3}{2}\}\).
- La règle du produit nul ne marche que si c’est “\(\times\)” (multiplication), pas “\(+\)”.
- Ne jamais “simplifier” en divisant par un facteur qui pourrait être nul : on doit traiter les cas.
- Choisir l’inconnue : “Soit \(x\) …”.
- Traduire toutes les phrases en expressions avec \(x\).
- Écrire l’équation (condition du problème).
- Résoudre + conclure avec une phrase.
Dans 5 ans, Léa aura le triple de l’âge qu’elle avait il y a 3 ans. Quel est son âge actuel ?
Conclusion : Léa a 7 ans.
Un rectangle a une longueur de \(x+2\) et une largeur de \(x-1\). Son périmètre est \(18\). Déterminer \(x\).
Vérification : \(L=6\), \(\ell=3\), \(P=2(6+3)=18\) ✅
- Oublier la phrase de conclusion (on perd des points).
- Choisir une inconnue qui ne correspond pas à la question.
- Ne pas vérifier la cohérence (âge négatif, longueur négative…).
- On peut additionner / soustraire le même nombre aux deux membres : le sens ne change pas.
- On peut multiplier / diviser par un nombre positif : le sens ne change pas.
- Si on multiplie / divise par un nombre négatif : le sens s’inverse.
Ensemble solution : \(]-\infty \ ; \ 3]\).
Ensemble solution : \(]-\infty \ ; \ 1[\).
- \(\le\) ou \(\ge\) : point plein (borne incluse).
- \< ou \> : point vide (borne exclue).
- On écrit l’intervalle en notation FR : \(]a \ ; \ b]\), \([a \ ; \ b[\), etc.
Tu as 50 € et tu veux acheter des cahiers à 3 € l’unité. Combien peux-tu en acheter au maximum ?
Comme \(x\) est un entier, on peut acheter au maximum 16 cahiers.
- Si la situation impose des entiers (objets), on conclut avec un entier.
- On rédige une phrase : “Donc on peut … au maximum / au minimum”.
- \(\boxed{ax+b=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{a}}\) (si \(a\ne 0\)).
- \(\boxed{A\times B=0 \Rightarrow A=0 \text{ ou } B=0}\).
- Inéquation : si on multiplie / divise par un nombre négatif \(\Rightarrow\) on inverse le sens.
- Solutions d’inéquations : on donne un intervalle (notation FR).
- Développer / réduire avant de résoudre.
- Reconnaître une forme produit et appliquer le produit nul.
- Traduire un problème en équation (ou inéquation) en 4 lignes.
- Écrire l’ensemble solution et conclure par une phrase.