Cours — Équations Et Inéquations Du Premier Degré (3e)

Cette page propose un cours de mathématiques en 3ème sur Équations Et Inéquations Du Premier Degré. Tu y retrouves les notions essentielles, les méthodes à connaître et des exemples pour travailler mise en équation, résolution étape par étape, vérification des solutions, problèmes rédigés.
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Cours — Équations et inéquations du premier degré
Résoudre une équation • transformer une inégalité • règle du produit nul • mise en équation • intervalles • rédaction Brevet.
Objectifs Vocabulaire Équations Produit nul Inéquations Intervalles Problèmes Pièges Formulaire
Objectifs du chapitre
1
Résoudre une équation
Trouver la valeur de l’inconnue qui rend une égalité vraie.
2
Résoudre une inéquation
Trouver toutes les valeurs qui rendent une inégalité vraie.
3
Utiliser le produit nul
Résoudre une équation factorisée du type \(A\times B=0\).
4
Modéliser un problème
Traduire un énoncé en équation ou inéquation, puis conclure clairement.
1. Vocabulaire essentiel
Équation
Une équation est une égalité contenant une inconnue, souvent \(x\). Résoudre une équation, c’est trouver les valeurs de \(x\) qui rendent l’égalité vraie.
Exemple : \(3x-5=10\). La solution est \(x=5\), car \(3\times5-5=10\).
Inéquation
Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue. Elle peut avoir une infinité de solutions.
Exemple : \(2x+1\le 7\). Les solutions sont tous les nombres \(x\le 3\).
Une équation donne souvent une ou quelques valeurs. Une inéquation donne souvent un ensemble de valeurs, par exemple \(x\le 3\) ou \(x> -2\).
2. Résoudre une équation du premier degré
Une équation du premier degré se ramène à une forme simple : \[ ax+b=0 \] avec \(a\ne 0\).
Étape Action Exemple avec \(4x-7=13\)
1 Isoler le terme en \(x\) \(4x=13+7\)
2 Réduire \(4x=20\)
3 Diviser par le coefficient de \(x\) \(x=\dfrac{20}{4}=5\)
Exemple détaillé — résoudre \(5x-8=2x+10\)
On regroupe les termes en \(x\) d’un côté et les nombres de l’autre : \[ 5x-8=2x+10 \] \[ 5x-2x=10+8 \] \[ 3x=18 \] \[ x=6 \] Vérification : \[ 5\times6-8=22 \quad\text{et}\quad 2\times6+10=22. \] Donc la solution est \(\boxed{x=6}\).
3. Règle du produit nul
Si un produit est nul, alors au moins un des facteurs est nul : \[ A\times B=0 \quad\Longleftrightarrow\quad A=0\;\text{ou}\;B=0. \]
Forme factorisée
\[ (x-4)(2x+3)=0 \]
On peut appliquer directement la règle du produit nul.
Résolution
\[ x-4=0 \quad\text{ou}\quad 2x+3=0 \] \[ x=4 \quad\text{ou}\quad x=-\dfrac32. \]
Pour utiliser le produit nul, il faut d’abord avoir une expression factorisée et une équation égale à zéro.
Exemple Brevet — résoudre \((x+2)^2=9\)
On passe tout du même côté : \[ (x+2)^2-9=0. \] Or \(9=3^2\), donc : \[ (x+2)^2-3^2=0. \] On factorise : \[ (x+2-3)(x+2+3)=0 \] \[ (x-1)(x+5)=0. \] Donc : \[ x=1 \quad\text{ou}\quad x=-5. \]
4. Résoudre une inéquation du premier degré
Une inéquation se résout presque comme une équation, mais il existe une règle très importante : lorsqu’on multiplie ou divise par un nombre négatif, on change le sens de l’inégalité.
Transformation Effet sur l’inégalité Exemple
Ajouter ou soustraire un nombre Le sens ne change pas \(x+3<7 \Rightarrow x<4\)
Multiplier ou diviser par un nombre positif Le sens ne change pas \(2x\le 8 \Rightarrow x\le 4\)
Multiplier ou diviser par un nombre négatif Le sens change \(-3x<12 \Rightarrow x>-4\)
Exemple détaillé — résoudre \(-2x+5\le 11\)
\[ -2x+5\le 11 \] \[ -2x\le 6 \] On divise par \(-2\), donc on change le sens : \[ x\ge -3. \] L’ensemble des solutions est : \[ \boxed{x\ge -3}. \]
5. Écrire les solutions avec des intervalles
Inégalité Intervalle Lecture
\(x\ge 2\) \([2 ; +\infty[\) 2 est inclus
\(x>2\) \(]2 ; +\infty[\) 2 est exclu
\(x\le -1\) \(]-\infty ; -1]\) -1 est inclus
\(x<-1\) \(]-\infty ; -1[\) -1 est exclu
Avec \(+\infty\) et \(-\infty\), on met toujours un crochet ouvert : \(]-\infty ; a]\), \([a ; +\infty[\), etc.
6. Mise en équation dans un problème
Méthode Brevet
  • Choisir l’inconnue et dire ce qu’elle représente.
  • Traduire l’énoncé par une équation ou une inéquation.
  • Résoudre proprement.
  • Vérifier que la réponse est cohérente avec le problème.
  • Conclure par une phrase.
Exemple — problème de périmètre
Un rectangle a pour longueur \(3x+2\) et pour largeur \(x+5\). Son périmètre vaut \(54\). \[ P=2((3x+2)+(x+5)). \] On réduit : \[ P=2(4x+7)=8x+14. \] On résout : \[ 8x+14=54 \] \[ 8x=40 \] \[ x=5. \] La longueur vaut \(3\times5+2=17\) et la largeur vaut \(5+5=10\).
Exemple — problème avec une inéquation
Un forfait coûte \(12\) € d’abonnement puis \(3\) € par sortie. On veut dépenser au maximum \(45\) €. Si \(x\) désigne le nombre de sorties, alors : \[ 12+3x\le 45. \] \[ 3x\le 33 \] \[ x\le 11. \] On peut faire au maximum \(\boxed{11}\) sorties.
7. Pièges classiques
Piège 1 — oublier de changer le sens
\[ -4x\le 20 \] En divisant par \(-4\), on obtient : \[ x\ge -5. \]
Piège 2 — produit nul mal utilisé
On ne peut pas appliquer le produit nul si l’équation n’est pas égale à zéro. Il faut d’abord transformer : \[ (x-2)(x+3)=5 \] n’est pas directement une équation produit nul.
Piège 3 — solution interdite par le contexte
Dans un problème de longueur, de prix ou de nombre d’objets, une solution négative peut être impossible.
Piège 4 — oublier la vérification
Une solution trouvée doit être vérifiée dans l’équation de départ, surtout dans un problème.
8. Formulaire résumé
Situation Formule / méthode À retenir
Équation \(ax+b=0\) \(ax=-b\), donc \(x=-\dfrac ba\) Valable si \(a\ne 0\)
Produit nul \(A\times B=0\Rightarrow A=0\) ou \(B=0\) Il faut une équation égale à zéro
Inéquation Comme une équation Changer le sens si on divise par un nombre négatif
Intervalle \(x\ge a\Rightarrow [a ; +\infty[\) Crochet fermé si la borne est incluse
Réflexe Brevet : toujours conclure avec une phrase adaptée à l’énoncé.
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