Exercices HARD corrigés — Équations & inéquations (1er degré) • 3e
Niveau Brevet 18–20/20 : calcul propre, pièges de signes, parenthèses,
fractions, produit nul (sans simplifications interdites),
inéquations avec sens inversé, et problèmes de modélisation.
Pièges de signes
Fractions
Produit nul
Inéquations
Rédaction
Brevet+
A) Équations — HARD
Exercice A1 — “Moins devant parenthèses” (piège classique)
\[
\text{Résoudre : } \quad 5 - (2x-7) = 3x + 4
\]
Correction détaillée
On enlève la parenthèse : le “\(-\)” change tous les signes à l’intérieur.
\[
5-(2x-7)=5-2x+7
\]
\[
12-2x=3x+4
\]
\[
12-4=3x+2x
\]
\[
8=5x
\]
\[
x=\frac{8}{5}
\]
Vérification : \(5-(2\cdot\frac{8}{5}-7)=5-(\frac{16}{5}-7)=5-(\frac{16}{5}-\frac{35}{5})=5-(-\frac{19}{5})=\frac{44}{5}\)
et \(3\cdot\frac{8}{5}+4=\frac{24}{5}+\frac{20}{5}=\frac{44}{5}\) ✅
Exercice A2 — Parenthèses des deux côtés + réduction
\[
\text{Résoudre : } \quad 2(3x-5)-4(x-2)=3-(x+7)
\]
Correction détaillée
On développe soigneusement chaque parenthèse.
\[
2(3x-5)=6x-10
\qquad
-4(x-2)=-4x+8
\]
\[
3-(x+7)=3-x-7=-x-4
\]
\[
(6x-10)+(-4x+8)=-x-4
\]
\[
2x-2=-x-4
\]
\[
2x+x=-4+2
\]
\[
3x=-2
\]
\[
x=-\frac{2}{3}
\]
Vérification : en remplaçant \(x\) on retrouve la même valeur des deux côtés ✅
Exercice A3 — Équation avec fractions (méthode “multiplier par le PPCM”)
\[
\text{Résoudre : } \quad \frac{x-1}{3}-\frac{2x+5}{6}=\frac{1}{2}
\]
Correction détaillée
Le PPCM des dénominateurs \(3,6,2\) est \(6\). On multiplie toute l’équation par \(6\).
\[
6\left(\frac{x-1}{3}\right)-6\left(\frac{2x+5}{6}\right)=6\left(\frac{1}{2}\right)
\]
\[
2(x-1)-(2x+5)=3
\]
\[
2x-2-2x-5=3
\]
\[
-7=3
\]
Conclusion
On obtient une égalité fausse (\(-7=3\)). Donc l’équation n’a aucune solution.
Ensemble solution : \(\varnothing\).
Exercice A4 — Cas particulier : identité (infinité de solutions)
\[
\text{Résoudre : } \quad 4(2x-3)-2(4x-6)=10
\]
Correction détaillée
On développe puis on réduit.
\[
4(2x-3)=8x-12
\qquad
-2(4x-6)=-8x+12
\]
\[
(8x-12)+(-8x+12)=10
\]
\[
0=10
\]
Conclusion
On obtient une égalité impossible (\(0=10\)) : l’équation n’a aucune solution.
Ensemble solution : \(\varnothing\).
B) Produits nuls — HARD
Exercice B1 — Ne pas diviser par un facteur
\[
\text{Résoudre : } \quad (x-4)(x+2)=x+2
\]
Correction détaillée
On ramène tout du même côté, puis on factorise.
On ne simplifie pas par \(x+2\) car il peut être nul.
\[
(x-4)(x+2)=x+2
\]
\[
(x-4)(x+2)-(x+2)=0
\]
\[
(x+2)\big((x-4)-1\big)=0
\]
\[
(x+2)(x-5)=0
\]
\[
x+2=0 \ \text{ou}\ x-5=0
\]
\[
x=-2 \ \text{ou}\ x=5
\]
Ensemble solution : \(\{-2 \ ; \ 5\}\).
Exercice B2 — Factorisation indispensable
\[
\text{Résoudre : } \quad 2x^2-8x=0
\]
Correction détaillée
\[
2x^2-8x=0
\]
\[
2x(x-4)=0
\]
\[
2x=0 \ \text{ou}\ x-4=0
\]
\[
x=0 \ \text{ou}\ x=4
\]
Ensemble solution : \(\{0 \ ; \ 4\}\).
Exercice B3 — Différence de carrés (reconnaître la forme)
\[
\text{Résoudre : } \quad (3x-1)^2-16=0
\]
Correction détaillée
On reconnaît \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\).
\[
(3x-1)^2-16=0
\]
\[
(3x-1)^2-4^2=0
\]
\[
\big((3x-1)-4\big)\big((3x-1)+4\big)=0
\]
\[
(3x-5)(3x+3)=0
\]
\[
3x-5=0 \ \text{ou}\ 3x+3=0
\]
\[
x=\frac{5}{3} \ \text{ou}\ x=-1
\]
Ensemble solution : \(\{\frac{5}{3} \ ; \ -1\}\).
Exercice B4 — Produit nul après développement (bien structurer)
\[
\text{Résoudre : } \quad (x-1)(x+4)=x(x+4)
\]
Correction détaillée
On ramène tout du même côté, puis on factorise.
\[
(x-1)(x+4)=x(x+4)
\]
\[
(x-1)(x+4)-x(x+4)=0
\]
\[
(x+4)\big((x-1)-x\big)=0
\]
\[
(x+4)(-1)=0
\]
Conclusion
Comme \(-1\neq 0\), un produit \((x+4)(-1)=0\) n’est possible que si \(x+4=0\).
\[
x=-4
\]
Ensemble solution : \(\{-4\}\).
C) Inéquations — HARD
Exercice C1 — Division par un négatif (sens inversé)
\[
\text{Résoudre : } \quad -7x+3 \ge 24
\]
Correction détaillée
\[
-7x+3 \ge 24
\]
\[
-7x \ge 21
\]
\[
x \le \frac{21}{-7}
\]
On divise par \(-7\) (négatif), donc on inverse le signe.
\[
x \le -3
\]
Solution : \(]-\infty \ ; \ -3]\).
Exercice C2 — Inéquation avec parenthèses
\[
\text{Résoudre : } \quad 3(2x-5)-2(x+1) < 7
\]
Correction détaillée
\[
3(2x-5)-2(x+1) < 7
\]
\[
(6x-15)-(2x+2) < 7
\]
\[
6x-15-2x-2 < 7
\]
\[
4x-17 < 7
\]
\[
4x < 24
\]
\[
x < 6
\]
Solution : \(]-\infty \ ; \ 6[\).
Exercice C3 — Inéquation enchaînée
\[
\text{Résoudre : } \quad 1 \le 3x+4 < 16
\]
Correction détaillée
On garde la chaîne et on fait les mêmes opérations sur les 3 membres.
\[
1 \le 3x+4 < 16
\]
\[
1-4 \le 3x < 16-4
\]
\[
-3 \le 3x < 12
\]
\[
-1 \le x < 4
\]
Solution : \([-1 \ ; \ 4[\).
Exercice C4 — “Tout réduire” puis conclure en intervalle
\[
\text{Résoudre : } \quad \frac{2x-1}{5} \ge \frac{x+2}{10}
\]
Correction détaillée
Le PPCM des dénominateurs \(5\) et \(10\) est \(10\). On multiplie par \(10\).
\[
10\cdot \frac{2x-1}{5} \ge 10\cdot \frac{x+2}{10}
\]
\[
2(2x-1) \ge x+2
\]
\[
4x-2 \ge x+2
\]
\[
3x \ge 4
\]
\[
x \ge \frac{4}{3}
\]
Solution : \([\frac{4}{3} \ ; \ +\infty[\).
D) Problèmes — HARD (mise en équation / inéquation)
Exercice D1 — Âges (rédaction complète)
Dans 6 ans, l’âge de Sami sera le double de l’âge qu’il avait il y a 3 ans.
Quel est l’âge actuel de Sami ?
Correction détaillée
\[
\text{Soit } x \text{ l’âge actuel de Sami.}
\]
\[
\text{Dans 6 ans : } x+6
\qquad
\text{Il y a 3 ans : } x-3
\]
\[
\text{Condition : } x+6 = 2(x-3)
\]
\[
x+6 = 2x-6
\]
\[
6+6 = 2x-x
\]
\[
12 = x
\]
Conclusion : Sami a actuellement 12 ans.
Exercice D2 — Billets (équation + vérification)
Une sortie coûte 9 € par élève plus 24 € de frais fixes.
Une classe a payé 186 € au total.
Combien y a-t-il d’élèves ?
Correction détaillée
\[
\text{Soit } x \text{ le nombre d’élèves.}
\]
\[
\text{Total} = 9x + 24
\]
\[
9x+24=186
\]
\[
9x=186-24=162
\]
\[
x=\frac{162}{9}=18
\]
Conclusion : la classe compte 18 élèves.
Exercice D3 — Forfait (inéquation + entier)
Un forfait coûte 12 € par mois + 0,08 € par minute d’appel.
Tu as un budget de 30 € maximum.
Combien de minutes peux-tu appeler au maximum ?
Correction détaillée
\[
\text{Soit } x \text{ le nombre de minutes.}
\]
\[
12 + 0{,}08x \le 30
\]
\[
0{,}08x \le 18
\]
\[
x \le \frac{18}{0{,}08}
\]
\[
x \le 225
\]
Conclusion : tu peux appeler au maximum 225 minutes.
Exercice D4 — Géométrie (périmètre + contrainte)
Un rectangle a pour longueur \(2x+3\) et largeur \(x-1\).
On veut un périmètre au plus égal à 34.
Déterminer les valeurs possibles de \(x\).
Correction détaillée
\[
P = 2(L+\ell) \le 34
\]
\[
2\big((2x+3)+(x-1)\big) \le 34
\]
\[
2(3x+2)\le 34
\]
\[
3x+2 \le 17
\]
\[
3x \le 15
\]
\[
x \le 5
\]
Contrainte de sens
Une longueur doit être positive : \(x-1>0 \Rightarrow x>1\).
\[
x>1 \quad \text{et} \quad x\le 5
\]
Donc \(x \in ]1 \ ; \ 5]\).
E) Défi final — Mix Brevet+
Exercice E1 — Mix (structure + méthode)
\[
\text{Résoudre : } \quad (x-2)(x+4) \ge (x+4)
\]
Correction détaillée
On ramène tout du même côté, puis on factorise. Attention : on ne divise pas par \(x+4\).
\[
(x-2)(x+4) - (x+4) \ge 0
\]
\[
(x+4)\big((x-2)-1\big)\ge 0
\]
\[
(x+4)(x-3)\ge 0
\]
Étude de signe (très Brevet)
Zéros : \(x=-4\) et \(x=3\).
Le produit est \(\ge 0\) quand les deux facteurs ont le même signe.
\[
x\le -4 \quad \text{ou} \quad x\ge 3
\]
Solution : \(]-\infty \ ; \ -4] \cup [3 \ ; \ +\infty[\).