Fiche SOLIDE — Calcul littéral, développements & factorisations
Objectif Brevet 19–20/20 : choisir la bonne forme (développée / factorisée), maîtriser les signes, reconnaître les identités remarquables masquées.
3e • Brevet
1 colonne • Mobile
Techniques clés
Pièges de signes
1️⃣ Réduire (regrouper intelligemment)
Règle : on regroupe uniquement les termes de même nature.
\[ -3x+8+9x-5-\bigl(2x-7\bigr)=4x+10 \]Supprimer les parenthèses avant de réduire (attention au signe −).
2️⃣ Développer (distributivité)
Distributivité simple
\[ k(a+b)=ka+kb \] \[ -3(x-5)=-3x+15 \] \[ 4(2x+1)=8x+4 \]Double distributivité
\[ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd \] \[ (x+4)(x-7)=x^2-3x-28 \] \[ (2x-3)(x+5)=2x^2+7x-15 \]3️⃣ Pièges de signes (INDISPENSABLE)
Signe − devant une parenthèse :
\[ -(2x-9)=-2x+9 \] \[ -\bigl(x+6\bigr)=-x-6 \]Signe − devant un carré :
\[ -(x+3)^2=-(x^2+6x+9)=-x^2-6x-9 \]
⚠️ Le « − » s’applique à tout le carré, pas seulement au premier terme.
4️⃣ Identités remarquables (par cœur)
\[
\begin{aligned}
(a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2 \\
(a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2 \\
(a+b)(a-b) &= a^2-b^2
\end{aligned}
\]
Exemples
\[ (x-6)^2=x^2-12x+36 \] \[ (2x+5)^2=4x^2+20x+25 \] \[ (x+8)(x-8)=x^2-64 \]⚠️ Identités de signes — technique clé Brevet
\[
\begin{aligned}
a-b &= -(b-a) \\
(-a-b)^2 &= (a+b)^2 \\
(-a+b)^2 &= (a-b)^2 = (b-a)^2
\end{aligned}
\]
Idée essentielle : sous un carré, les signes disparaissent.
\[ (-x+4)^2=(x-4)^2 \] \[ (5-x)^2=(x-5)^2 \]💡 Réflexe Brevet : réécrire pour faire apparaître la forme classique.
6️⃣ Factoriser (écrire sous forme de produit)
a) Facteur commun :
\[ 10x-25=5(2x-5) \]b) Différence de carrés :
\[ x^2-49=(x-7)(x+7) \]c) Regroupement :
\[ x(x+4)-3(x+4)=(x+4)(x-3) \]d) Carré parfait (reconnaître) :
\[ 4x^2+12x+9=(2x+3)^2 \]🧠 Quand développer / quand factoriser ?
- Équation → factoriser (produit nul)
- Simplifier → réduire + forme la plus courte
- Calcul numérique → souvent factoriser si ça raccourcit
✅ Checklist 19–20/20
- Parenthèses supprimées correctement
- Signe « − » vérifié (parenthèse / carré)
- Identité remarquable reconnue (même masquée)
- Factorisation plus efficace que développement
- Vérification éclair par redéveloppement
⚡ Mini-exemples type Brevet (résultats)
\[
(x+3)^2-(x-3)^2=12x
\]
\[
16x^2-24x+9=(4x-3)^2
\]
\[
(x+2)^2-(x+2)= (x+2)(x+1)
\]
\[
(7-x)^2=(x-7)^2
\]