Exercices corrigés — Calcul Littéral, Développements Et Factorisations (3e)

Programme A.

• Choisir un nombre \(x\).
• Multiplier ce nombre par \(3\).
• Ajouter \(5\).
• Élever le résultat au carré.
• Soustraire \(25\).

1. (a) Écrire l’expression obtenue en fonction de \(x\).
2. (b) Développer et réduire cette expression.
3. (c) Factoriser l’expression obtenue.
4. (d) Trouver les valeurs de \(x\) pour lesquelles le résultat vaut \(0\).

Programme A : choisir \(x\), ajouter \(4\), puis multiplier par \(x-2\).

Programme B : choisir \(x\), calculer \(x^2+2x-8\).

1. (a) Écrire l’expression du programme A.
2. (b) Développer et réduire cette expression.
3. (c) Les deux programmes donnent-ils toujours le même résultat ? Justifier.
4. (d) Calculer le résultat commun pour \(x=7\).

Programme.

• Choisir un nombre \(x\).
• Calculer \((x+6)^2\).
• Soustraire \((x-6)^2\).
• Diviser le résultat par \(24\).

1. (a) Écrire l’expression obtenue avant la division par \(24\).
2. (b) Développer et réduire cette expression.
3. (c) Écrire le résultat final du programme.
4. (d) Quel nombre faut-il choisir pour obtenir \(5\) ?

Une figure est formée d’un grand carré de côté \(x+5\) dont on retire un petit carré de côté \(5\).

1. (a) Écrire l’aire de la figure en fonction de \(x\).
2. (b) Développer et réduire cette aire.
3. (c) Factoriser cette aire.
4. (d) Calculer l’aire pour \(x=7\).

Un rectangle a pour longueur \(x+8\) et pour largeur \(x-3\), avec \(x>3\).

1. (a) Écrire l’aire \(A(x)\) du rectangle.
2. (b) Développer et réduire \(A(x)\).
3. (c) Calculer l’aire pour \(x=7\).
4. (d) Pour quelle valeur de \(x\) l’aire vaut-elle \(0\) si l’on utilise seulement l’expression algébrique ?

On considère deux rectangles :

• Rectangle 1 : longueur \(2x+3\), largeur \(x-1\).
• Rectangle 2 : longueur \(x+6\), largeur \(x-2\).

1. (a) Écrire les deux aires \(A_1\) et \(A_2\).
2. (b) Développer et réduire \(A_1\).
3. (c) Développer et réduire \(A_2\).
4. (d) Déterminer \(x\) pour que les deux aires soient égales.

On considère deux expressions :

\[ A=(x+4)(x-1) \]

\[ B=x^2+3x-4. \]

1. (a) Développer et réduire \(A\).
2. (b) Les expressions \(A\) et \(B\) sont-elles égales pour tout \(x\) ?
3. (c) Calculer \(A\) et \(B\) pour \(x=-2\).
4. (d) Expliquer pourquoi un seul exemple ne suffit pas pour démontrer une égalité générale.

Un élève écrit :

\[ (x-5)^2=x^2-25. \]

1. (a) Dire si cette égalité est vraie ou fausse.
2. (b) Développer correctement \((x-5)^2\).
3. (c) Tester avec \(x=7\).
4. (d) Donner une phrase claire pour expliquer l’erreur.

On considère l’équation :

\[ (x+2)^2=9. \]

1. (a) Passer tous les termes du même côté.
2. (b) Factoriser l’expression obtenue.
3. (c) Résoudre l’équation.
4. (d) Vérifier les solutions.

Un rectangle a pour longueur \(3x+2\) et pour largeur \(x+5\).

1. (a) Écrire son périmètre \(P(x)\).
2. (b) Développer et réduire \(P(x)\).
3. (c) Déterminer \(x\) si le périmètre vaut \(54\).
4. (d) Calculer alors la longueur et la largeur.

On considère :

\[ F=(x+7)(2x-3)-5(2x-3). \]

1. (a) Repérer le facteur commun.
2. (b) Factoriser \(F\).
3. (c) Développer pour vérifier.
4. (d) Résoudre \(F=0\).

On considère :

\[ G=(2x+1)^2-49. \]

1. (a) Factoriser \(G\).
2. (b) Développer \(G\) pour vérifier.
3. (c) Résoudre \(G=0\).
4. (d) Calculer \(G\) pour \(x=3\).

On considère :

\[ A=(x+3)^2-(x-3)^2 \]

\[ B=12x. \]

1. (a) Développer \(A\).
2. (b) Montrer que \(A=B\).
3. (c) Calculer rapidement \(A\) pour \(x=25\).
4. (d) Expliquer pourquoi la forme \(B\) est plus efficace pour calculer.

Un carré a pour côté \(x+4\). On lui enlève un rectangle de dimensions \(x+4\) et \(3\).

1. (a) Écrire l’aire restante sous forme factorisée.
2. (b) Développer et réduire cette aire.
3. (c) Factoriser la forme développée pour retrouver la forme initiale.
4. (d) Calculer l’aire restante pour \(x=8\).

On choisit un nombre \(x\). On calcule le produit de son suivant et de son précédent.

1. (a) Écrire l’expression obtenue.
2. (b) Développer et réduire cette expression.
3. (c) Montrer que ce produit est toujours inférieur de \(1\) au carré du nombre choisi.
4. (d) Vérifier avec \(x=12\).

On considère :

\[ H=(x-5)^2-(x-5)(2x+1). \]

1. (a) Factoriser \(H\) sans développer.
2. (b) Développer \(H\) pour vérifier.
3. (c) Résoudre \(H=0\).
4. (d) Calculer \(H\) pour \(x=10\) avec la forme la plus rapide.

On considère :

\[ K=(4-x)^2-(x-4)(2x+3). \]

1. (a) Expliquer pourquoi \((4-x)^2=(x-4)^2\).
2. (b) Factoriser \(K\).
3. (c) Développer pour vérifier.
4. (d) Résoudre \(K=0\).

On considère :

\[ L=(2x-3)^2-(x+4)(x-4). \]

1. (a) Développer \((2x-3)^2\).
2. (b) Développer \((x+4)(x-4)\).
3. (c) Réduire \(L\).
4. (d) Calculer \(L\) pour \(x=2\).

On considère :

\[ M=(x+5)^2-(x-2)(x+8)-7x. \]

1. (a) Développer \((x+5)^2\).
2. (b) Développer \((x-2)(x+8)\).
3. (c) Réduire \(M\).
4. (d) Résoudre \(M=14\).

On affirme que, pour tout nombre \(x\) :

\[ (x+10)^2-x^2=20x+100. \]

1. (a) Développer \((x+10)^2\).
2. (b) En déduire \((x+10)^2-x^2\).
3. (c) Vérifier la formule pour \(x=15\).
4. (d) Expliquer pourquoi cette formule peut être utile en calcul mental.

On considère :

\[ N=(3x-5)^2+4x(5-3x). \]

1. (a) Réécrire \(5-3x\) en fonction de \(3x-5\).
2. (b) Factoriser \(N\).
3. (c) Développer pour vérifier.
4. (d) Résoudre \(N=0\).

On considère :

\[ P=9x^2(2x-1)-6x(2x-1)+(2x-1). \]

1. (a) Repérer le facteur commun.
2. (b) Factoriser une première fois.
3. (c) Reconnaître une identité remarquable.
4. (d) Donner la factorisation complète.

On considère :

\[ Q=5x(x-4)-9(4-x)^2. \]

1. (a) Expliquer pourquoi \((4-x)^2=(x-4)^2\).
2. (b) Réécrire \(Q\) avec le facteur \((x-4)\).
3. (c) Factoriser \(Q\).
4. (d) Résoudre \(Q=0\).

On considère :

\[ R=(2x-3)^2+16. \]

1. (a) Expliquer pourquoi \((2x-3)^2\ge 0\).
2. (b) En déduire que \(R\ge 16\).
3. (c) L’équation \(R=0\) peut-elle avoir une solution ?
4. (d) Déterminer la plus petite valeur possible de \(R\).