Cours — Calcul Littéral, Développements Et Factorisations (3e)
Cette page propose un cours de mathématiques en 3ème sur Calcul Littéral, Développements Et Factorisations. Tu y retrouves les notions essentielles, les méthodes à connaître et des exemples pour travailler réduction d’expressions, développement, factorisation, identités remarquables.
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Cours de mathématiques en 3ème : Calcul Littéral, Développements Et Factorisations
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Exercices corrigés de mathématiques en 3ème : Calcul Littéral, Développements Et Factorisations
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Quiz de maths 3ème : Calcul Littéral, Développements Et Factorisations
3e
Chapitres
Cours — Calcul littéral
Réduire • Développer • Pièges de signes • Identités remarquables • Factoriser • Produit nul • Équations simples.
1) Objectifs et plan de travail
Compétences attendues en 3e
- Réduire une expression littérale.
- Développer avec la distributivité simple et double.
- Gérer correctement les signes devant une parenthèse.
- Utiliser les identités remarquables.
- Factoriser par facteur commun ou identité remarquable.
- Résoudre une équation produit nul simple.
Pièges fréquents
- Un signe « − » devant une parenthèse change tous les signes.
- On ne peut réduire que les termes de même nature.
- \((a+b)^2\neq a^2+b^2\) : il manque le terme \(2ab\).
- Avant de développer, vérifier si une factorisation est plus utile.
Réflexe Brevet : on commence souvent par simplifier l’expression : supprimer les parenthèses, réduire, puis choisir entre développer ou factoriser selon la question.
2) Formules essentielles à connaître par cœur
Distributivité et identités remarquables
\[
\begin{aligned}
&k(a+b)=ka+kb \\
&(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd \\
&(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\
&(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \\
&(a+b)(a-b)=a^2-b^2 \\
&pa+pb=p(a+b)
\end{aligned}
\]
Méthode propre : écrire la formule utilisée avant de remplacer les lettres par les nombres ou expressions de l’exercice.
3) Réduire une expression littérale
Règle
Réduire, c’est regrouper les termes de même nature : les \(x^2\) avec les \(x^2\), les \(x\) avec les \(x\), et les nombres seuls avec les nombres seuls.
| Expression | Regroupement | Résultat |
|---|---|---|
| \(7x-3x+2-5\) | \((7x-3x)+(2-5)\) | \(4x-3\) |
| \(3x^2-5x+2x^2+x\) | \((3x^2+2x^2)+(-5x+x)\) | \(5x^2-4x\) |
| \(-2x+5+7x-3-(x-4)\) | \(-2x+5+7x-3-x+4\) | \(4x+6\) |
Exemple corrigé — réduire \(-2x+5+7x-3-(x-4)\)
On commence par supprimer la parenthèse :
\[
-(x-4)=-x+4.
\]
Donc :
\[
-2x+5+7x-3-(x-4)=-2x+5+7x-3-x+4.
\]
On regroupe :
\[
(-2x+7x-x)+(5-3+4)=4x+6.
\]
4) Développer avec la distributivité
Distributivité simple
\[
k(a+b)=ka+kb
\]
\[
-2(x+4)=-2x-8
\]
Double distributivité
\[
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
\]
\[
(x-3)(x+5)=x^2+5x-3x-15=x^2+2x-15
\]
Attention : si le facteur est négatif, il faut distribuer aussi le signe négatif.
5) Pièges de signes
Signe − devant une parenthèse
\[
-(x-4)=-x+4
\]
\[
-(2x+5)=-2x-5
\]
Signe − devant un carré
\[
-(x-4)^2=-(x^2-8x+16)=-x^2+8x-16
\]
Piège classique : \(-(x-4)^2\) n’est pas égal à \((-x+4)^2\). Le signe « − » est à l’extérieur du carré.
6) Identités remarquables
Les trois formules à maîtriser
\[
\begin{aligned}
(a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2 \\
(a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2 \\
(a+b)(a-b) &= a^2-b^2
\end{aligned}
\]
| Expression | Formule | Résultat |
|---|---|---|
| \((x+4)^2\) | \((a+b)^2\) | \(x^2+8x+16\) |
| \((x-3)^2\) | \((a-b)^2\) | \(x^2-6x+9\) |
| \((x+3)(x-3)\) | \((a+b)(a-b)\) | \(x^2-9\) |
Exemple corrigé — développer \((2x-5)^2\)
On utilise \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), avec \(a=2x\) et \(b=5\) :
\[
(2x-5)^2=(2x)^2-2\times2x\times5+5^2=4x^2-20x+25.
\]
7) Factoriser
Idée principale
Factoriser, c’est transformer une somme ou une différence en produit. C’est l’opération inverse du développement.
| Type | Expression | Factorisation |
|---|---|---|
| Facteur commun | \(6x-12\) | \(6(x-2)\) |
| Différence de carrés | \(x^2-16\) | \((x-4)(x+4)\) |
| Regroupement | \(x(x-2)+3(x-2)\) | \((x-2)(x+3)\) |
Réflexe : chercher d’abord un facteur commun visible, puis regarder si une identité remarquable apparaît.
8) Application Brevet : produit nul
Propriété
Si un produit est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul.
\[
A\times B=0 \iff A=0 \quad \text{ou} \quad B=0.
\]
Exemple corrigé — résoudre \((x-2)(x+5)=0\)
D’après la propriété du produit nul :
\[
x-2=0 \quad \text{ou} \quad x+5=0.
\]
Donc :
\[
x=2 \quad \text{ou} \quad x=-5.
\]
Les solutions sont \(\boxed{2}\) et \(\boxed{-5}\).
9) Méthodes Brevet
1 Réduire proprement
- Supprimer les parenthèses.
- Regrouper les termes semblables.
- Vérifier les signes.
2 Développer
- Distribuer chaque terme.
- Utiliser les identités remarquables quand elles apparaissent.
- Réduire à la fin.
3 Factoriser
- Chercher un facteur commun.
- Reconnaître une différence de carrés.
- Contrôler en redéveloppant rapidement.
4 Résoudre
- Mettre l’équation sous la forme produit nul.
- Annuler chaque facteur.
- Donner clairement les solutions.
10) Formulaire final
\[
\begin{aligned}
k(a+b)&=ka+kb \\
(a+b)(c+d)&=ac+ad+bc+bd \\
(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2 \\
(a-b)^2&=a^2-2ab+b^2 \\
(a+b)(a-b)&=a^2-b^2 \\
pa+pb&=p(a+b) \\
A\times B=0&\iff A=0\ \text{ou}\ B=0
\end{aligned}
\]
Dernier contrôle : dans une expression littérale, les erreurs les plus fréquentes viennent des signes et des parenthèses.
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