Cours — Calcul littéral (3e • Brevet)
Réduire • Développer • Pièges de signes • Identités remarquables • Factoriser • Produit nul.
0) Formules essentielles (par cœur)
\[
\begin{aligned}
&\textbf{Distributivité :}\quad k(a+b)=ka+kb \\
&\textbf{Double distributivité :}\quad (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd \\
&\textbf{Identités remarquables :}\quad
\begin{cases}
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
\end{cases}\\
&\textbf{Factoriser :}\quad pa+pb=p(a+b)
\end{aligned}
\]
⚠️ Réflexe Brevet : avant de développer, regarde si une factorisation est évidente.
1) Réduire (regrouper intelligemment)
Règle : on regroupe uniquement les termes de même nature.
\[ -2x+5+7x-3-(x-4)=4x+6 \]Supprimer les parenthèses avant de réduire.
\[
7x-3x+2-5 = 4x-3
\]
\[
3x^2-5x+2x^2+x = 5x^2-4x
\]
2) Développer (distributivité)
Distributivité simple
\[ k(a+b)=ka+kb \] \[ -2(x+4)=-2x-8 \]
⚠️ Un signe − devant une parenthèse change tous les signes.
\[
-(x-4)=-x+4
\]
\[
-(2x+5)=-2x-5
\]
Double distributivité
\[ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd \] \[ (x-3)(x+5)=x^2+2x-15 \]3) Pièges de signes
Signe − devant un carré
\[ -(x-4)^2=-(x^2-8x+16)=-x^2+8x-16 \]
⚠️ Le « − » s’applique à tout le carré.
4) Identités remarquables
\[
\begin{aligned}
(a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2 \\
(a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2 \\
(a+b)(a-b) &= a^2-b^2
\end{aligned}
\]
Exemples
\[ (x+4)^2=x^2+8x+16 \] \[ (x+3)(x-3)=x^2-9 \]5) Identités de signes (technique clé Brevet)
\[
\begin{aligned}
a-b &= -(b-a) \\
(-a-b)^2 &= (a+b)^2 \\
(-a+b)^2 &= (a-b)^2 = (b-a)^2
\end{aligned}
\]
Idée : sous un carré, les signes disparaissent.
\[ (-x-3)^2=(x+3)^2 \] \[ (3-x)^2=(x-3)^2 \]6) Factoriser
a) Facteur commun
\[ 6x-12=6(x-2) \]b) Différence de carrés
\[ x^2-16=(x-4)(x+4) \]c) Regroupement
\[ x(x-2)+3(x-2)=(x-2)(x+3) \]7) Application Brevet : produit nul
\[
(x-4)(2x+1)=0
\]
\[
x=4 \quad \text{ou} \quad x=-\frac{1}{2}
\]
✅ Checklist anti-erreurs
- Parenthèses supprimées correctement
- Signe « − » vérifié (parenthèse / carré)
- Identité remarquable reconnue
- Factorisation préférée si possible
- Contrôle par redéveloppement
⚡ Mini-exemples (résultats)
\[
(x+2)^2-(x-2)^2=8x
\]
\[
9x^2-24x+16=(3x-4)^2
\]
\[
(x+1)^2-(x+1)=x(x+1)
\]
\[
(3-x)^2=(x-3)^2
\]