Exercices corrigés — Vecteurs Du Plan (2nde)

Cette page propose des exercices corrigés de mathématiques en 2nde sur Vecteurs Du Plan. Tu vas t’entraîner sur coordonnées, opérations sur les vecteurs, alignement, géométrie analytique avec des questions progressives et des corrections pour vérifier chaque étape.
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✏️ Exercices — Vecteurs du plan

30 exercices progressifs et avancés : relation de Chasles, sommes et combinaisons, coordonnées de vecteurs, translations, colinéarité, alignement et synthèses vectorielles.

Exercice 1 — Relation de Chasles — simplifier des sommes de vecteurs
2nde

On considère quatre points distincts \(A,B,C,D\).

ABCD
  1. (a) Simplifier \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\).
  2. (b) Simplifier \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\).
  3. (c) Simplifier \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\).
  4. (d) Montrer que \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}=\vec{0}\).
Exercice 2 — Translation — coordonnées d’un vecteur et points images
2nde

Dans un repère, \(A(-3;2)\), \(B(4;-1)\) et \(C(1;5)\).

  1. (a) Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).
  2. (b) Le point \(D\) est l’image de \(C\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\). Déterminer \(D\).
  3. (c) Déterminer \(E\) tel que \(\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AB}\).
  4. (d) Vérifier que \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\) et interpréter géométriquement.
Exercice 3 — Parallélogramme — retrouver le quatrième sommet avec les vecteurs
2nde

On donne \(A(1;2)\), \(B(5;3)\) et \(C(7;-1)\). On cherche \(D\) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme dans cet ordre.

ABCD
  1. (a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
  2. (b) Utiliser \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) pour déterminer \(D\).
  3. (c) Vérifier que \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\).
  4. (d) Écrire une relation de Chasles reliant \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
Exercice 4 — Coordonnées — somme et combinaison de vecteurs
2nde

On considère \(A(-2;4)\), \(B(3;-1)\) et \(C(6;2)\).

  1. (a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
  2. (b) Vérifier par les coordonnées la relation de Chasles \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).
  3. (c) Calculer \(2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\).
  4. (d) Déterminer le point \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\).
Exercice 5 — Points inconnus — résoudre des équations vectorielles
2nde

On donne \(A(2;-3)\) et \(B(7;1)\).

  1. (a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\).
  2. (b) Déterminer \(C\) tel que \(\overrightarrow{BC}=(-2;6)\).
  3. (c) Déterminer \(D\) tel que \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\).
  4. (d) Simplifier \(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\), puis vérifier le résultat avec les coordonnées.
Exercice 6 — Chasles sur un quadrilatère — expressions plus longues
2nde

Dans un quadrilatère \(ABCD\), simplifier les expressions suivantes sans utiliser de coordonnées.

ABCD
  1. (a) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\).
  2. (b) \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\).
  3. (c) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}\).
  4. (d) \(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\).
Exercice 7 — Deux vecteurs de référence — résoudre une combinaison linéaire
2nde

On donne \(\vec{U}_1=(3;-2)\) et \(\vec{U}_2=(-1;4)\).

  1. (a) Calculer \(2\vec{U}_1-3\vec{U}_2\).
  2. (b) Calculer \(-\vec{U}_1+2\vec{U}_2\).
  3. (c) Déterminer \(a\) et \(b\) tels que \(a\vec{U}_1+b\vec{U}_2=(7;2)\).
  4. (d) Vérifier la solution trouvée par substitution.
Exercice 8 — Combinaisons — reconnaître des décompositions
2nde

On travaille avec \(\vec{U}_1=(2;1)\) et \(\vec{U}_2=(-1;3)\).

  1. (a) Calculer \(3\vec{U}_1+2\vec{U}_2\).
  2. (b) Calculer \(2\vec{U}_1-\vec{U}_2\).
  3. (c) Exprimer \((4;9)\) comme combinaison de \(\vec{U}_1\) et \(\vec{U}_2\).
  4. (d) Exprimer \((5;-1)\) comme combinaison de \(\vec{U}_1\) et \(\vec{U}_2\).
Exercice 9 — Vecteurs colinéaires — parallélisme dans un repère
2nde

On donne \(A(-4;1)\), \(B(2;4)\), \(C(1;-2)\) et \(D(5;0)\).

ABCDE
  1. (a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\).
  2. (b) Montrer que ces deux vecteurs sont colinéaires et préciser le coefficient de proportionnalité.
  3. (c) En déduire la position relative des droites \((AB)\) et \((CD)\).
  4. (d) Déterminer \(E\in[AB]\) tel que \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\).
Exercice 10 — Critère de colinéarité — déterminant de deux vecteurs
2nde

On considère \(\vec{U}_1=(4;-6)\), \(\vec{U}_2=(-2;3)\) et \(\vec{U}_3=(6;4)\).

  1. (a) Calculer \(4\times3-(-6)\times(-2)\) et conclure pour \(\vec{U}_1\) et \(\vec{U}_2\).
  2. (b) Trouver \(\lambda\) tel que \(\vec{U}_2=\lambda\vec{U}_1\).
  3. (c) Calculer le déterminant de \(\vec{U}_1\) et \(\vec{U}_3\).
  4. (d) Les vecteurs \(\vec{U}_2\) et \(\vec{U}_3\) sont-ils colinéaires ? Justifier sans approximation.
Exercice 11 — Alignement avec paramètre — déterminer une coordonnée
2nde

On considère \(A(-2;1)\), \(B(4;5)\) et \(C(k;9)\).

  1. (a) Exprimer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) en fonction de \(k\).
  2. (b) Déterminer \(k\) pour que \(A,B,C\) soient alignés.
  3. (c) Pour cette valeur de \(k\), écrire \(\overrightarrow{AC}\) comme multiple de \(\overrightarrow{AB}\).
  4. (d) En déduire la position de \(B\) sur \([AC]\).
Exercice 12 — Parallélisme avec paramètre — utiliser un vecteur directeur
2nde

On donne \(\vec{U}_1=(3;-2)\) et un vecteur \(\vec{U}_3=(m;4)\).

  1. (a) Écrire la condition de colinéarité de \(\vec{U}_1\) et \(\vec{U}_3\).
  2. (b) Déterminer \(m\) pour que \(\vec{U}_1\) et \(\vec{U}_3\) soient colinéaires.
  3. (c) Pour cette valeur, trouver \(\lambda\) tel que \(\vec{U}_3=\lambda\vec{U}_1\).
  4. (d) Si \(d\) a pour vecteur directeur \(\vec{U}_1\) et \(d'\) pour vecteur directeur \(\vec{U}_3\), conclure sur \(d\) et \(d'\).
Exercice 13 — Position sur une droite — paramètre vectoriel
2nde

On considère \(A(1;-2)\) et \(B(7;4)\). Tout point \(M\) de la droite \((AB)\) peut s’écrire \(\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}\).

  1. (a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\).
  2. (b) Déterminer le point \(M\) correspondant à \(\lambda=\dfrac13\).
  3. (c) Déterminer le point \(N\) correspondant à \(\lambda=-\dfrac12\).
  4. (d) Le point \(P(10;7)\) appartient-il à \((AB)\) ? Si oui, déterminer \(\lambda\) et préciser sa position par rapport au segment \([AB]\).
Exercice 14 — Alignement et rapport — lecture géométrique d’un coefficient
2nde

On donne \(A(-3;2)\), \(B(1;4)\) et \(C(5;6)\).

ABC
  1. (a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
  2. (b) Montrer que \(A,B,C\) sont alignés.
  3. (c) Écrire \(\overrightarrow{AC}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\).
  4. (d) En déduire \(\dfrac{AB}{AC}\) et la position exacte de \(B\) sur \([AC]\).
Exercice 15 — Médiane d’un triangle — formule vectorielle
2nde

Dans le triangle \(ABC\), \(A(0;0)\), \(B(6;0)\) et \(C(2;4)\). Le point \(M\) est le milieu de \([BC]\).

  1. (a) Déterminer les coordonnées de \(M\).
  2. (b) Calculer \(\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
  3. (c) Vérifier \(\overrightarrow{AM}=\dfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\).
  4. (d) Le point \(G\) vérifie \(\overrightarrow{AG}=\dfrac23\overrightarrow{AM}\). Déterminer \(G\).
Exercice 16 — Identités vectorielles — démonstrations sans coordonnées
2nde

Soient \(A,B,C,M,N\) des points quelconques du plan.

  1. (a) Montrer que \(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\).
  2. (b) Montrer que \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{MN}\).
  3. (c) Montrer que \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\vec0\).
  4. (d) Simplifier \(3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AC}\).
Exercice 17 — Combinaison de deux vecteurs — système exact
2nde

On donne \(\vec{U}_1=(2;-1)\), \(\vec{U}_2=(1;3)\) et \(\vec{U}_3=(7;7)\).

  1. (a) Calculer \(5\vec{U}_1-\vec{U}_2\).
  2. (b) Déterminer \(a,b\) tels que \(a\vec{U}_1+b\vec{U}_2=\vec{U}_3\).
  3. (c) Vérifier que la décomposition de \(\vec{U}_3\) trouvée est unique.
  4. (d) Déterminer \(p,q\) tels que \(p\vec{U}_1+q\vec{U}_2=(0;14)\).
Exercice 18 — Point défini par une combinaison — interprétation par un milieu
2nde

On considère \(A(-1;2)\), \(B(3;5)\) et \(C(5;-1)\). Le point \(M\) est défini par \(\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\).

ABCM
  1. (a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
  2. (b) Déterminer \(\overrightarrow{AM}\) puis les coordonnées de \(M\).
  3. (c) Montrer algébriquement que \(M=2B-C\) au sens des coordonnées.
  4. (d) En déduire une interprétation géométrique simple concernant \(B,C,M\).
Exercice 19 — Parallélogramme avec paramètre — condition vectorielle
2nde

On donne \(A(0;0)\), \(B(4;1)\), \(D(3;4)\) et \(C(7;k)\).

  1. (a) Exprimer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) en fonction de \(k\).
  2. (b) Déterminer \(k\) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
  3. (c) Pour cette valeur, vérifier également \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).
  4. (d) Écrire \(\overrightarrow{AC}\) comme somme de deux vecteurs côtés du parallélogramme.
Exercice 20 — Intersection de deux droites — écriture vectorielle paramétrique
2nde

On considère la droite \(d\) passant par \(A(0;1)\) de vecteur directeur \(\vec{U}_1=(2;1)\), et la droite \(d'\) passant par \(B(4;0)\) de vecteur directeur \(\vec{U}_2=(-1;1)\).

  1. (a) Écrire les coordonnées d’un point \(M\in d\) en fonction d’un paramètre \(t\).
  2. (b) Écrire les coordonnées d’un point \(N\in d'\) en fonction d’un paramètre \(s\).
  3. (c) Résoudre le système obtenu pour que \(M=N\).
  4. (d) Donner le point d’intersection et justifier qu’il est unique.
Exercice 21 — Centre de gravité — somme de trois vecteurs
2nde

Dans le triangle \(ABC\), \(A(-2;1)\), \(B(4;3)\), \(C(1;8)\). On pose \(G(1;4)\).

  1. (a) Calculer \(\overrightarrow{GA}\), \(\overrightarrow{GB}\) et \(\overrightarrow{GC}\).
  2. (b) Vérifier \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec0\).
  3. (c) Calculer le milieu \(M\) de \([BC]\) et \(\overrightarrow{AM}\).
  4. (d) Montrer que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac23\overrightarrow{AM}\).
Exercice 22 — Milieu — caractérisations vectorielles équivalentes
2nde

On donne \(A(-4;2)\), \(B(2;6)\) et \(M(-1;4)\).

  1. (a) Calculer \(\overrightarrow{MA}\) et \(\overrightarrow{MB}\).
  2. (b) Montrer que \(\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}\).
  3. (c) En déduire que \(M\) est le milieu de \([AB]\).
  4. (d) Montrer réciproquement que si un point \(N\) vérifie \(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}=\vec0\), alors \(N\) est le milieu de \([AB]\).
Exercice 23 — Parallélisme par combinaison vectorielle — points au tiers
2nde

Dans le triangle \(ABC\), \(A(0;0)\), \(B(6;0)\), \(C(2;6)\). Les points \(P\) et \(Q\) vérifient \(\overrightarrow{AP}=\dfrac13\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AQ}=\dfrac13\overrightarrow{AC}\).

  1. (a) Déterminer les coordonnées de \(P\) et \(Q\).
  2. (b) Calculer \(\overrightarrow{PQ}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
  3. (c) Montrer que \(\overrightarrow{PQ}=\dfrac13\overrightarrow{BC}\).
  4. (d) En déduire le parallélisme de \((PQ)\) et \((BC)\), puis comparer les longueurs \(PQ\) et \(BC\).
Exercice 24 — Parallélogramme avec coordonnée inconnue — deux méthodes
2nde

On considère \(A(-1;1)\), \(B(3;2)\), \(D(1;5)\) et \(C(k;6)\).

ABCD
  1. (a) Déterminer \(k\) en utilisant \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).
  2. (b) Retrouver \(k\) en utilisant l’égalité des milieux des diagonales.
  3. (c) Pour la valeur trouvée, calculer \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BD}\).
  4. (d) Les diagonales sont-elles colinéaires ? Justifier.
Exercice 25 — Partager un segment dans un rapport — écriture vectorielle
2nde

On donne \(A(-3;-2)\) et \(B(6;4)\). Le point \(M\in[AB]\) vérifie \(AM=2MB\).

  1. (a) Traduire la condition en une relation entre \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AB}\).
  2. (b) Déterminer les coordonnées de \(M\).
  3. (c) Déterminer \(N\) tel que \(\overrightarrow{AN}=-\dfrac13\overrightarrow{AB}\).
  4. (d) Préciser la position de \(N\) par rapport à \(A\) et \(B\).
Exercice 26 — Alignement avec paramètre — position relative après résolution
2nde

On considère \(A(1;2)\), \(B(5;-1)\) et \(C(k;5)\).

  1. (a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
  2. (b) Déterminer \(k\) pour que \(A,B,C\) soient alignés.
  3. (c) Pour cette valeur, écrire \(\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}\).
  4. (d) En déduire une relation de milieu entre \(A,B,C\).
Exercice 27 — Intersection des médianes — démonstration coordonnée
2nde

Dans le triangle \(ABC\), \(A(0;0)\), \(B(6;0)\), \(C(0;9)\). On note \(M\) le milieu de \([BC]\) et \(N\) le milieu de \([AC]\).

  1. (a) Déterminer \(M\) et \(N\).
  2. (b) Déterminer \(G\) tel que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac23\overrightarrow{AM}\).
  3. (c) Vérifier que \(\overrightarrow{BG}=\dfrac23\overrightarrow{BN}\).
  4. (d) Conclure sur l’intersection des médianes \((AM)\) et \((BN)\).
Exercice 28 — Deux écritures paramétriques — résoudre une intersection vectorielle
2nde

On considère \(d: M=A+\lambda\vec{U}_1\) avec \(A(0;0)\), \(\vec{U}_1=(2;1)\), et \(d': M=C+\mu\vec{U}_2\) avec \(C(6;0)\), \(\vec{U}_2=(-1;1)\).

  1. (a) Écrire les coordonnées de \(M\) sur \(d\).
  2. (b) Écrire les coordonnées de \(M\) sur \(d'\).
  3. (c) Déterminer \(\lambda\) et \(\mu\) au point d’intersection.
  4. (d) Donner les coordonnées du point d’intersection et vérifier les deux écritures vectorielles.
Exercice 29 — Équation vectorielle avec un point mobile — résoudre exactement
2nde

On donne \(A(1;3)\) et \(B(5;-1)\). On cherche \(M\) tel que \(\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}\).

  1. (a) Écrire l’égalité sur les deux coordonnées si \(M(x;y)\).
  2. (b) Résoudre et déterminer \(M\).
  3. (c) Transformer l’égalité vectorielle pour exprimer \(M\) à partir de \(A\) et \(B\).
  4. (d) Interpréter géométriquement la relation entre \(A,B,M\).
Exercice 30 — Synthèse finale — Chasles, combinaison, parallélogramme et milieu
2nde

On considère \(A(-2;1)\), \(B(4;3)\), \(C(1;7)\). On définit \(D\) par \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) et \(E\) par \(\overrightarrow{AE}=\dfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\).

ABCDE
  1. (a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), puis déterminer \(D\) et \(E\).
  2. (b) Montrer que \(ABDC\) est un parallélogramme.
  3. (c) Montrer que \(E\) est à la fois le milieu de \([AD]\) et le milieu de \([BC]\).
  4. (d) On pose \(M_t=A+t(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\). Déterminer \(t\) pour avoir \(M_t=E\), puis \(M_t=D\), et en déduire l’alignement de \(A,E,D\).
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