Exercice 1 – Vecteurs égaux, opposés et vecteur nul

Soient \(A,B,C,D\) quatre points du plan.

Exercice 2 – Relation de Chasles – calculs directs

Réduire chacune des expressions à un seul vecteur ou au vecteur nul.

Exercice 3 – Hexagone régulier – calcul vectoriel géométrique

\(ABCDEF\) est un hexagone régulier de centre \(O\). Sans utiliser de coordonnées, simplifier les vecteurs suivants en utilisant uniquement des points de la figure.

Exercice 4 – Construire une somme de deux vecteurs dans un repère

Dans le repère ci-dessous, les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont donnés ainsi qu'un point \(A\). Le repère sert uniquement à faciliter la construction : ne pas calculer de coordonnées.

1. Construire à partir de \(A\) un représentant de \(\vec{u}\).
2. À son extrémité, construire un représentant de \(\vec{v}\).
3. Construire alors, d'origine \(A\), le vecteur \(\vec{u}+\vec{v}\).
4. Refaire la construction dans l'ordre \(\vec{v}\) puis \(\vec{u}\). Que constate-t-on ?

Exercice 5 – Somme, différence et multiple dans un repère

On considère les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et un point \(O\) représentés dans le repère ci-dessous. Utiliser le quadrillage pour construire les vecteurs demandés, sans calcul de coordonnées.

Construire, à partir du point \(O\), un représentant de chacun des vecteurs suivants :

Exercice 6 – Multiples d'un vecteur – placement de points

On donne un segment \([AB]\) de longueur \(8\) cm. Construire et justifier la position des points suivants :

Pour chaque point, préciser s'il appartient au segment \([AB]\), à la demi-droite \([AB)\) ou seulement à la droite \((AB)\).

Exercice 7 – Équation vectorielle sur une droite

\(A\) et \(B\) sont deux points distincts. Pour chacune des relations suivantes, déterminer le réel \(x\) tel que \(\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}\), puis placer \(M\) sur une figure.

Exercice 8 – Milieu – caractérisations vectorielles

\(I\) est le milieu de \([AB]\).

1. Exprimer \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{IB}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\).
2. Montrer que \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0\).
3. Soit \(M\) tel que \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec0\). Démontrer que \(M=I\).
4. Montrer que pour tout point \(X\), on a
   \[\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}=2\overrightarrow{XI}.\]

Exercice 9 – Parallélogramme – relations vectorielles

\(ABCD\) est un parallélogramme.

1. Donner un vecteur égal à \(\overrightarrow{AB}\) et un vecteur égal à \(\overrightarrow{AD}\).
2. Montrer que \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\).
3. Simplifier \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\).
4. \(O\) est le centre du parallélogramme. Montrer que
   \[\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec0.\]
5. En déduire que, pour tout point \(M\),
   \[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}.\]

Exercice 10 – Triangle – décomposer dans la base $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$

\(ABC\) est un triangle. Exprimer uniquement en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :

Exercice 11 – Points fractionnaires dans un triangle – retrouver un parallélisme

\(ABC\) est un triangle. Les points \(M\) et \(N\) sont définis par

1. Exprimer \(\overrightarrow{AN}\) en fonction de \(\overrightarrow{AC}\).
2. Exprimer \(\overrightarrow{MN}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
3. Montrer que \(\overrightarrow{MN}=\dfrac34\overrightarrow{BC}\).
4. Quelle propriété géométrique retrouve-t-on ?

Exercice 12 – Trois points construits – démontrer un alignement

Soit \(ABC\) un triangle. On définit \(D,E,F\) par

1. Faire une figure et conjecturer la position relative de \(D,E,F\).
2. Exprimer \(\overrightarrow{DE}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
3. Exprimer \(\overrightarrow{DF}\) dans la même base.
4. Démontrer la conjecture.

Exercice 13 – Repère lié à un triangle

\(ABC\) est un triangle. \(I\) est le milieu de \([BC]\) et \(J\) le milieu de \([AI]\). On travaille dans le repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\).

1. Déterminer les coordonnées de \(B\) et \(C\).
2. Déterminer les coordonnées de \(I\) puis de \(J\).
3. Calculer les coordonnées du vecteur
   \[\vec u=2\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+2\overrightarrow{JC}.\]
4. En déduire une relation vectorielle simple vérifiée par \(J\).

Exercice 14 – Médianes – identité vectorielle

Dans le triangle \(ABC\), \(A'\) est le milieu de \([BC]\), \(B'\) celui de \([CA]\) et \(C'\) celui de \([AB]\).

1. Montrer que \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AA'}\).
2. Écrire deux relations analogues pour \(2\overrightarrow{BB'}\) et \(2\overrightarrow{CC'}\).
3. En déduire
   \[\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\vec0.\]

Exercice 15 – Reconnaître des vecteurs colinéaires

Dans chacun des cas suivants, déterminer si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires. Lorsqu'ils le sont, donner le coefficient de colinéarité.

Exercice 16 – Colinéarité avec paramètre

On donne \(\vec u=(m;m+1)\) et \(\vec v=(4;m+1)\), où \(m\in\mathbb R\).

1. Écrire la condition de colinéarité de \(\vec u\) et \(\vec v\).
2. Résoudre l'équation obtenue.
3. Vérifier chaque valeur trouvée dans les vecteurs initiaux.

Exercice 17 – Alignement de trois points construits

\(ABC\) est un triangle. Les points \(E,F,D\) sont définis par

1. Exprimer \(\overrightarrow{AD}\) en fonction de \(\overrightarrow{AC}\).
2. Exprimer \(\overrightarrow{AF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\).
3. Exprimer \(\overrightarrow{DE}\) et \(\overrightarrow{DF}\) dans la base \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\).
4. Montrer que \(D,E,F\) sont alignés.

Exercice 18 – Parallélogramme – un parallélisme non immédiat

\(ABCD\) est un parallélogramme. \(E\) et \(F\) vérifient

1. Exprimer \(\overrightarrow{EF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
2. Exprimer \(\overrightarrow{AC}\) dans la même base.
3. Les droites \((EF)\) et \((AC)\) sont-elles parallèles ? Justifier.

Exercice 19 – Rectangle et quadrilatère intérieur

\(ABCD\) est un rectangle. Les points \(I,J,K,L\) sont définis par

On travaille dans le repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})\).

1. Déterminer les coordonnées de \(I,J,K,L\).
2. Calculer \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{LK}\).
3. Déduire la nature du quadrilatère \(IJKL\).
4. Montrer que le centre du rectangle \(ABCD\) est aussi le milieu de \([IK]\).

Exercice 20 – Trapèze puis alignement

Dans un repère, on donne

1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\). En déduire que \(ABCD\) est un trapèze.
2. \(I\) est le milieu de \([CD]\). Déterminer ses coordonnées.
3. \(M\) est défini par \(\overrightarrow{DM}=\dfrac25\overrightarrow{DB}\). Déterminer ses coordonnées.
4. Démontrer que \(A,M,I\) sont alignés.

Exercice 21 – Alignement et parallélisme par déterminant

On donne les points

Exercice 22 – Centre de gravité – raisonnement vectoriel

Dans le triangle \(ABC\), \(I\) est le milieu de \([BC]\). On considère le point \(G\) tel que

1. Montrer que \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}\).
2. En déduire que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac23\overrightarrow{AI}\).
3. Que peut-on en conclure sur la position de \(G\) ?
4. Écrire une relation analogue sur les deux autres médianes.

Exercice 23 – Alignement par colinéarité

\(ABC\) est un triangle. Les points \(N\) et \(P\) sont définis par

1. Exprimer \(\overrightarrow{BC}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
2. En déduire une expression de \(\overrightarrow{AN}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
3. Chercher un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AP}\).
4. Que peut-on conclure sur les points \(A,N,P\) ?

Exercice 24 – Deux points définis par des combinaisons

Dans un triangle \(ABC\), les points \(M\) et \(N\) vérifient

1. Exprimer \(\overrightarrow{MN}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
2. Exprimer \(\overrightarrow{BC}\) dans la même base.
3. Montrer que \(\overrightarrow{MN}\) est un multiple de \(\overrightarrow{BC}\).
4. Que peut-on conclure sur les droites \((MN)\) et \((BC)\) ?

Exercice 25 – Point défini par une combinaison de vecteurs

On donne \(A(4;2)\), \(B(-2;1)\) et \(C(-3;5)\). Le point \(M\) est défini par

1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
2. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AM}\).
3. En déduire les coordonnées de \(M\).
4. Vérifier le résultat directement à partir des coordonnées de \(A\) et de \(M\).

Exercice 26 – Translation et image d'un point

On donne \(A(-3;2)\), \(B(4;-1)\) et \(C(1;5)\).

1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\).
2. \(D\) est l'image de \(C\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\). Déterminer \(D\).
3. Déterminer \(E\) tel que \(\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AB}\).
4. Vérifier que \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\) et interpréter géométriquement.

Exercice 27 – Quatrième sommet d'un parallélogramme

On donne \(A(1;2)\), \(B(5;3)\) et \(C(7;-1)\). On cherche \(D\) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme dans cet ordre.

1. Écrire une égalité vectorielle caractérisant le parallélogramme.
2. Déterminer les coordonnées de \(D\).
3. Vérifier que les diagonales \([AC]\) et \([BD]\) ont le même milieu.
4. Calculer ce milieu.

Exercice 28 – Distances, milieux et nature d'un triangle

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(3;-1)\), \(B(7;5)\) et \(C(-3;3)\).

1. Calculer les coordonnées des milieux \(I,J,K\) de \([AB]\), \([AC]\), \([BC]\).
2. Calculer \(AB^2\), \(AC^2\) et \(BC^2\).
3. Déterminer la nature du triangle \(ABC\) en justifiant.
4. Calculer l'aire du triangle \(ABC\).

Exercice 29 – Alignement et parallélisme

Exercice 30 – Coordonnée inconnue et colinéarité

On donne \(A(2;2)\), \(B(x;3)\) et \(C(6;x)\).

1. Exprimer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
2. Déterminer la ou les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(A,B,C\) sont alignés.
3. Pour chaque valeur trouvée, vérifier directement la colinéarité.

Exercice 31 – Équation vectorielle avec un point mobile

On donne \(A(1;3)\) et \(B(5;-1)\). Déterminer le point \(M(x;y)\) tel que

1. Écrire l'égalité sur les deux coordonnées.
2. Résoudre le système obtenu.
3. Transformer l'égalité vectorielle pour exprimer directement \(M\) à partir de \(A\) et \(B\).
4. Interpréter géométriquement la position de \(M\) sur la droite \((AB)\).

Exercice 32 – Repère $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ et alignement

\(ABC\) est un triangle. \(K\) est le milieu de \([AC]\), \(I\) celui de \([BK]\), et \(J\) est défini par

Dans le repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\) :

1. Déterminer les coordonnées de \(K\).
2. Déterminer les coordonnées de \(I\).
3. Déterminer les coordonnées de \(J\).
4. Démontrer que \(A,I,J\) sont alignés.

Exercice 33 – Quadrilatère des milieux – théorème de Varignon

Dans un repère orthonormé, on donne

\(I,J,K,L\) sont les milieux respectifs de \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\), \([DA]\).

1. Déterminer les coordonnées de \(I,J,K,L\).
2. Calculer \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{LK}\).
3. Calculer \(\overrightarrow{JK}\) et \(\overrightarrow{IL}\).
4. En déduire la nature de \(IJKL\).
5. Calculer \(IJ\), \(IL\) et \(JL\). Le quadrilatère \(IJKL\) est-il un rectangle ?

Exercice 34 – Cercle de diamètre et vecteurs

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(-1;1)\) et \(B(5;3)\). Soit \(K\) le milieu de \([AB]\) et \(\mathcal C\) le cercle de diamètre \([AB]\). On considère \(C(1;5)\).

1. Déterminer les coordonnées de \(K\) et calculer \(KA^2\).
2. Calculer \(KC^2\). Le point \(C\) appartient-il à \(\mathcal C\) ?
3. Calculer \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\).
4. En déduire la nature du triangle \(ACB\).
5. Montrer que \(AC=BC\) et conclure complètement sur le triangle \(ACB\).

Exercice 35 – Deux vecteurs de référence – résoudre une combinaison linéaire

On donne \(\vec{u}_1=(3;-2)\) et \(\vec{u}_2=(-1;4)\).

Exercice 36 – Combinaison de deux vecteurs – système exact

On donne \(\vec{u}_1=(2;-1)\), \(\vec{u}_2=(1;3)\) et \(\vec{u}_3=(7;7)\).

Exercice 37 – Parallélisme avec paramètre – utiliser un vecteur directeur

On donne \(\vec{u}_1=(3;-2)\) et un vecteur \(\vec{u}_2=(m;4)\).

Exercice 38 – Position sur une droite – paramètre vectoriel

On considère \(A(1;-2)\) et \(B(7;4)\). Tout point \(M\) de la droite \((AB)\) peut s'écrire \(\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}\).

Exercice 39 – Partager un segment dans un rapport – écriture vectorielle

On donne \(A(-3;-2)\) et \(B(6;4)\). Le point \(M\in[AB]\) vérifie \(AM=2MB\).

Exercice 40 – Trois points, deux méthodes

On donne \(A(-2;1)\), \(B(3;3)\) et \(C(0;-1)\).

1. Déterminer \(D\) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
2. Déterminer le centre \(L\) du parallélogramme.
3. Déterminer le centre de gravité \(G\) du triangle \(ABD\).
4. \(E\) est le symétrique de \(C\) par rapport à \(D\). Déterminer \(E\).
5. Les points \(E,G,B\) sont-ils alignés ? Justifier par un calcul vectoriel.

Exercice 41 – Trois milieux et un point extérieur

Dans un triangle \(ABC\), \(K,L,M\) sont les milieux respectifs de \([AB]\), \([AC]\), \([BC]\). \(P\) est le milieu de \([LC]\) et \(Q\) est le symétrique de \(K\) par rapport à \(B\).

1. Dans le repère \((A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\), déterminer les coordonnées de \(P,M,Q\).
2. Les points \(P,M,Q\) sont-ils alignés ?
3. Donner une justification par déterminant.

Exercice 42 – Parallélisme caché dans un triangle

Soit \(ABC\) un triangle. On définit \(D\) et \(E\) par

1. Exprimer \(\overrightarrow{AD}\) en fonction de \(\overrightarrow{BC}\).
2. Exprimer \(\overrightarrow{AE}\) en fonction de \(\overrightarrow{CB}\).
3. Montrer que \(A,D,E\) sont alignés.
4. Calculer \(\overrightarrow{DE}\) en fonction de \(\overrightarrow{BC}\).
5. En déduire que \((DE)\) et \((BC)\) sont parallèles.

Exercice 43 – Deux droites définies vectoriellement – approfondissement

Dans un repère, on considère les droites

1. Écrire les coordonnées d'un point \(M\) de \(d\) en fonction de \(\lambda\).
2. Écrire les coordonnées d'un point \(M\) de \(d'\) en fonction de \(\mu\).
3. Déterminer \(\lambda\) et \(\mu\) au point d'intersection.
4. Donner les coordonnées du point d'intersection et vérifier dans les deux écritures.

Exercice 44 – Synthèse – parallélogramme, milieu et centre de gravité

On donne \(A(-2;1)\), \(B(4;3)\) et \(C(1;7)\). On définit \(D\) par

et \(E\) par

1. Déterminer les coordonnées de \(D\).
2. Montrer que \(ABDC\) est un parallélogramme.
3. Déterminer les coordonnées de \(E\).
4. Montrer que \(E\) est le milieu de \([AD]\) puis aussi de \([BC]\).
5. Soit \(G\) le centre de gravité du triangle \(ABC\). Déterminer \(G\).
6. Comparer les vecteurs \(\overrightarrow{AG}\) et \(\overrightarrow{AE}\).

Exercice 45 – Défi de fin de chapitre – construction, conjecture, preuve

\(ABC\) est un triangle. On définit \(M,N,P\) par

1. Construire \(M,N,P\) sur une figure soignée.
2. Conjecturer la nature du quadrilatère \(AMPN\).
3. Exprimer \(\overrightarrow{MP}\) et \(\overrightarrow{NP}\).
4. Démontrer la conjecture.
5. Soit \(Q\) tel que \(\overrightarrow{AQ}=\dfrac56\overrightarrow{AB}+\dfrac56\overrightarrow{AC}\). Étudier l'alignement éventuel de \(M,P,Q\).

Exercice 46 – Intersection des médianes – démonstration coordonnée

Dans le triangle \(ABC\), \(A(0;0)\), \(B(6;0)\), \(C(0;9)\). On note \(M\) le milieu de \([BC]\) et \(N\) le milieu de \([AC]\).

1. Déterminer \(M\) et \(N\).
2. Déterminer \(G\) tel que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac23\overrightarrow{AM}\).
3. Vérifier que \(\overrightarrow{BG}=\dfrac23\overrightarrow{BN}\).
4. Conclure sur l'intersection des médianes \((AM)\) et \((BN)\).

Exercice 47 – Parallélogramme avec paramètre – condition vectorielle

On donne \(A(0;0)\), \(B(4;1)\), \(D(3;4)\) et \(C(7;k)\).

1. Exprimer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) en fonction de \(k\).
2. Déterminer \(k\) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
3. Pour cette valeur, vérifier également \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).
4. Écrire \(\overrightarrow{AC}\) comme somme de deux vecteurs côtés du parallélogramme.

Exercice 48 – Intersection de deux droites – écriture vectorielle paramétrique

On considère la droite \(d\) passant par \(A(0;1)\) de vecteur directeur \(\vec{u}_1=(2;1)\), et la droite \(d'\) passant par \(B(4;0)\) de vecteur directeur \(\vec{u}_2=(-1;1)\).

1. Écrire les coordonnées d'un point \(M\in d\) en fonction d'un paramètre \(t\).
2. Écrire les coordonnées d'un point \(N\in d'\) en fonction d'un paramètre \(s\).
3. Résoudre le système obtenu pour que \(M=N\).
4. Donner le point d'intersection et justifier qu'il est unique.