(a) \(S_1=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\)

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Puis \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\).
Donc \(\boxed{S_1=\overrightarrow{AD}}\).

(b) \(S_2=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\)

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}\). Donc
\(S_2=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\).
Or \(-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DA}\), donc \(S_2=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\).
Regroupons \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}\) : ce n’est pas une chaîne directe. On regroupe plutôt \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{?}\) : non plus (même départ D).
On remplace \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}?\) Non. Faisons une chaîne propre : \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}\) est faux en général.
Méthode sûre : écrire \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DC}\) ? En fait : \[ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\Rightarrow \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DC}. \] Donc \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}\). Alors \[ S_2=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{DC}. \] Donc \(\boxed{S_2=2\overrightarrow{DC}}\).

(c) \(S_3=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{SP}\)

Regroupons en chaîne : \(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}\).
Et \(\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{SP}=\overrightarrow{RP}\).
Donc \(S_3=\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RP}=\vec{0}\).
Ainsi \(\boxed{S_3=\vec{0}}\).

(d) \(S_4=\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PN}\)

\(-\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{PM}\), donc \(S_4=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}\).
Regroupons \(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PN}\).
Donc \(S_4=\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{PN}=2\overrightarrow{PN}\).
Ainsi \(\boxed{S_4=2\overrightarrow{PN}}\).

Réponses : (a) \(\overrightarrow{AD}\) ; (b) \(2\overrightarrow{DC}\) ; (c) \(\vec{0}\) ; (d) \(2\overrightarrow{PN}\).

(a)

\(\overrightarrow{AB}=(5-(-3);\ -2-4)=(8;\ -6)\).
\(\overrightarrow{BC}=(1-5;\ 7-(-2))=(-4;\ 9)\).
\(\overrightarrow{CD}=(-4-1;\ -5-7)=(-5;\ -12)\).

(b)

\(\overrightarrow{AC}=(1-(-3);\ 7-4)=(4;\ 3)\).
Vérification : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(8; -6)+(-4; 9)=(4; 3)=\overrightarrow{AC}\). ✅

(c)

\(\overrightarrow{AD}=(-4-(-3);\ -5-4)=(-1;\ -9)\).
\(\overrightarrow{DC}=(1-(-4);\ 7-(-5))=(5;\ 12)\).
Somme : \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=(-1; -9)+(5; 12)=(4; 3)=\overrightarrow{AC}\).

(d)

\(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=(-8;\ 6)\).
\(\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}=(4;\ -9)\).
\(\overrightarrow{DC}=(5;\ 12)\).
Donc \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}=(-8;6)+(4;-9)+(5;12)=(1;9)\).

Réponses : (a) \((8; -6)\), \((-4; 9)\), \((-5; -12)\) ; (b) \((4; 3)\) ; (c) \((4; 3)\) ; (d) \((1; 9)\).

(a) \(2\vec{u}-3\vec{v}=2(3; -5)-3(-2; 4)=(6; -10)-(-6; 12)=(12; -22)\).

(b) \(-\vec{u}+4\vec{v}=(-3; 5)+4(-2; 4)=(-3;5)+(-8;16)=(-11;21)\).

(c) Cherchons \(k\) :
Sur la première coordonnée : \(6=3k\Rightarrow k=2\).
Sur la seconde : \(-10=-5k\Rightarrow k=2\). Même \(k\).
Donc \(\boxed{\vec{w}=2\vec{u}}\) (colinéaire à \(\vec{u}\)).

(d) Déterminant : \(3\cdot4-(-5)\cdot(-2)=12-10=2\neq0\).
Donc \(\boxed{\vec{u}\not\parallel\vec{v}}\) (non colinéaires).

Réponses : (a) \((12; -22)\) ; (b) \((-11; 21)\) ; (c) \(k=2\) ; (d) non colinéaires.

(a) \(\overrightarrow{AB}=(8-2;\ 5-(-1))=(6;\ 6)\).

(b) \(\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}=3(6;6)=(18;18)\).
Donc \(C=(x_A+18;\ y_A+18)=(2+18;\ -1+18)=(20;\ 17)\).

(c) \(\overrightarrow{AD}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-\dfrac{1}{2}(6;6)=(-3; -3)\).
Donc \(D=(2-3;\ -1-3)=(-1;\ -4)\).

(d) Milieu de \([CD]\) : \[ M\left(\frac{20+(-1)}{2};\ \frac{17+(-4)}{2}\right)=\left(\frac{19}{2};\ \frac{13}{2}\right)=(9{,}5;\ 6{,}5). \] Or \(B(8;5)\neq(9{,}5;6{,}5)\). Donc \(\boxed{B\text{ n’est pas le milieu de }[CD]}\).

Réponses : (a) \((6;6)\) ; (b) \(C(20;17)\) ; (c) \(D(-1;-4)\) ; (d) faux.

(a) Déterminant : \(4\cdot15-(-6)\cdot(-10)=60-60=0\). Donc colinéaires.
Coefficient : \(-10=4k\Rightarrow k=-\frac{10}{4}=-\frac{5}{2}\). Vérif : \(15=(-6)k=(-6)(-5/2)=15\). OK.
\(\boxed{\vec{v}=-\frac{5}{2}\vec{u}}\).

(b) Déterminant : \(0\cdot(-21)-7\cdot0=0\). Colinéaires.
\(\vec{v}=(0;-21)=-3(0;7)\). Donc \(\boxed{k=-3}\).

(c) Déterminant : \(5\cdot3-0\cdot(-2)=15\neq0\). Donc \(\boxed{\text{non colinéaires}}\).

(d) Déterminant : \((-3)\cdot(-4)-9\cdot1=12-9=3\neq0\). Donc \(\boxed{\text{non colinéaires}}\).

Réponses : (a) oui, \(k=-\frac{5}{2}\) ; (b) oui, \(k=-3\) ; (c) non ; (d) non.

(a) \(\overrightarrow{AB}=(6;6)\). \(\overrightarrow{AC}=(-3;-3)\).
Déterminant : \(6\cdot(-3)-6\cdot(-3)=0\) ⇒ alignés. \(\boxed{\text{alignés}}\).

(b) \(\overrightarrow{AB}=(1-(-3);\ 10-2)=(4;8)\). \(\overrightarrow{AC}=(5-(-3);\ 19-2)=(8;17)\).
Déterminant : \(4\cdot17-8\cdot8=68-64=4\neq0\) ⇒ \(\boxed{\text{non alignés}}\).

(c) \(\overrightarrow{AB}=(6;-4)\). \(\overrightarrow{AC}=(9;-6)\).
Déterminant : \(6\cdot(-6)-(-4)\cdot9=-36+36=0\) ⇒ alignés. \(\boxed{\text{alignés}}\).

(d) \(\overrightarrow{AB}=(-2-4;\ 7-1)=(-6;6)\). \(\overrightarrow{AC}=(10-4;\ -5-1)=(6;-6)\).
Déterminant : \((-6)\cdot(-6)-6\cdot6=36-36=0\) ⇒ alignés. \(\boxed{\text{alignés}}\).

Réponses : (a) oui ; (b) non ; (c) oui ; (d) oui.

(a) \(\overrightarrow{AB}=(5-(-1);\ -1-2)=(6;\ -3)\).
\(\overrightarrow{BC}=(7-5;\ 6-(-1))=(2;\ 7)\).

(b) \(D=A+\overrightarrow{BC}=(-1;2)+(2;7)=(1;9)\). Donc \(\boxed{D(1;9)}\).

(c) \(\overrightarrow{AD}=(1-(-1);\ 9-2)=(2;7)=\overrightarrow{BC}\). ✅
\(\overrightarrow{DC}=(7-1;\ 6-9)=(6;-3)=\overrightarrow{AB}\). ✅

(d) Milieu des diagonales = milieu de \([AC]\) :
\[ M\left(\frac{-1+7}{2};\ \frac{2+6}{2}\right)=(3;4). \] (Vérif avec \([BD]\) : \(\frac{5+1}{2}=3\), \(\frac{-1+9}{2}=4\)).
\(\boxed{M(3;4)}\).

Réponses : (a) \((6;-3)\), \((2;7)\) ; (b) \(D(1;9)\) ; (c) vérifié ; (d) \(M(3;4)\).

(a) \(\overrightarrow{AP}=(x-1;\ y+2)=(5;-1)\). Donc
\(x-1=5\Rightarrow x=6\) et \(y+2=-1\Rightarrow y=-3\).
\(\boxed{P(6;-3)}\).

(b) \(\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{AP}\).
\((7-x;\ 4-y)=2(x-1;\ y+2)=(2x-2;\ 2y+4)\). Donc :
\[ \begin{cases} 7-x=2x-2\\ 4-y=2y+4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 9=3x\\ -y=2y \end{cases} \Rightarrow x=3,\ y=0. \] \(\boxed{P(3;0)}\).

(c) On obtient \(P(6;-3)\) dans (a) et \(P(3;0)\) dans (b). Ce n’est pas le même point.
Donc \(\boxed{\text{conditions incompatibles}}\).

(d) Le point compatible avec \(\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{AP}\) est \(P(3;0)\).
Alors \(\overrightarrow{AP}=(3-1;\ 0-(-2))=(2;2)\).
\(\boxed{\overrightarrow{AP}=(2;2)}\).

Réponses : (a) \(P(6;-3)\) ; (b) \(P(3;0)\) ; (c) incompatibles ; (d) \(\overrightarrow{AP}=(2;2)\).

(a) \(\overrightarrow{AB}=(4-(-2);\ -5-1)=(6;\ -6)\).
\(\overrightarrow{AC}=(1-(-2);\ -2-1)=(3;\ -3)\).

(b) Déterminant : \(6\cdot(-3)-(-6)\cdot3=-18+18=0\).
Donc \(\boxed{A,B,C\ \text{sont alignés}}\).

(c) \(\overrightarrow{CD}=(10-1;\ -11-(-2))=(9;\ -9)\).
Test colinéarité \(\overrightarrow{AB}(6;-6)\) et \(\overrightarrow{CD}(9;-9)\) :
\(6\cdot(-9)-(-6)\cdot9=-54+54=0\). Donc colinéaires (ici \(\overrightarrow{CD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}\)).
\(\boxed{\overrightarrow{AB}\parallel\overrightarrow{CD}}\).

(d) \(\overrightarrow{AD}=(10-(-2);\ -11-1)=(12;\ -12)\).
Or \(\overrightarrow{AB}=(6;\ -6)\). On voit \(\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}\).
Donc \(\boxed{k=2}\) existe et \(\boxed{D\in(AB)}\).

Réponses : (a) \((6;-6)\), \((3;-3)\) ; (b) alignés ; (c) colinéaires ; (d) oui, \(k=2\).

(a) \(\overrightarrow{AB}=(6-0;\ 2-0)=(6;2)\).
\(\overrightarrow{AC}=(1-0;\ 5-0)=(1;5)\).

(b) \[ \vec{u}=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}=3(6;2)-2(1;5)=(18;6)-(2;10)=(16;-4). \] Donc \(\boxed{\vec{u}=(16;-4)}\).

(c) \(\overrightarrow{AP}=\vec{u}=(16;-4)\). Comme \(A(0;0)\), on a \(P(16;-4)\).
\(\boxed{P(16;-4)}\).

(d) Test alignement \(A,C,P\) : comparer \(\overrightarrow{AC}=(1;5)\) et \(\overrightarrow{AP}=(16;-4)\).
Déterminant : \(1\cdot(-4)-5\cdot16=-4-80=-84\neq0\). Donc pas colinéaires.
\(\boxed{A,C,P\ \text{ne sont pas alignés}}\).
Interprétation : la combinaison \(3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\) “fabrique” un point \(P\) qui n’est pas sur la droite \((AC)\) (donc déplacement avec composante hors de cette direction).

Réponses : (a) \((6;2)\), \((1;5)\) ; (b) \((16;-4)\) ; (c) \(P(16;-4)\) ; (d) non alignés.