Cours — Vecteurs du plan
Vecteurs • relation de Chasles • somme et combinaisons • coordonnées • colinéarité • alignement.
1) Objectifs et réflexes
Compétences attendues (2nde)
- Comprendre ce qu’est un vecteur : direction, sens, longueur (norme).
- Utiliser la relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).
- Calculer des somme et combinaisons : \(\vec{u}+\vec{v}\), \(k\vec{u}\), \(\vec{u}-\vec{v}\).
- Passer au calcul : coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) si \(A(x_A; y_A)\), \(B(x_B; y_B)\).
- Reconnaître la colinéarité et l’alignement.
Pièges fréquents
- \(\overrightarrow{AB}\neq \overrightarrow{BA}\) : en fait \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\).
- Confusion point / vecteur : \(A\) est un point, \(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur.
- En coordonnées : \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A; y_B-y_A)\) (attention à l’ordre).
- “Colinéaire” = “multiples l’un de l’autre”, pas forcément “égaux”.
Réflexe 20/20 : je choisis une méthode (Chasles / coordonnées), je note les étapes, puis je conclus clairement
(colinéaire ? aligné ?).
2) Vecteur : définition et vocabulaire
Vecteur \(\overrightarrow{AB}\)
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) représente le “déplacement” du point \(A\) vers le point \(B\).
Il est caractérisé par :
- une direction (celle de la droite \((AB)\)) ;
- un sens (de \(A\) vers \(B\)) ;
- une norme (sa longueur), notée \(\|\overrightarrow{AB}\|\).
Vecteurs égaux
Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même norme.
Exemple (idée) : si \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\), alors “le déplacement \(A\to B\)” est le même que “\(C\to D\)”.
Opposé
L’opposé de \(\vec{u}\) est \(-\vec{u}\) : même direction, même norme, sens contraire.
\[
\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}
\qquad\text{et}\qquad
\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}.
\]
Exemple 1 — Traduire une phrase en vecteurs
“Aller de \(A\) à \(C\) en passant par \(B\)” signifie :
\[
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.
\]
Conclusion : c’est exactement la relation de Chasles.
3) Coordonnées de vecteurs
Coordonnées d’un point
Dans un repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\), un point s’écrit \(A(x_A; y_A)\).
Les coordonnées sont des nombres (souvent entiers, fractions, décimaux).
Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\)
Si \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\), alors :
\[
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A).
\]
Piège : l’ordre est important : \(\overrightarrow{AB}\) = “arrivée − départ”.
Exemple 2 — Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\)
Soit \(A(2; -1)\) et \(B(-3; 4)\).
- \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A)=(-3-2;\ 4-(-1))=(-5;\ 5)\).
- \(\overrightarrow{BA}=(2-(-3);\ -1-4)=(5;\ -5)\).
- Donc \(\overrightarrow{BA}=-( -5;\ 5)=(5;\ -5)\) : cohérent.
Résultats : \(\boxed{\overrightarrow{AB}=(-5;\ 5)}\) et \(\boxed{\overrightarrow{BA}=(5;\ -5)}\).
Exemple 3 — Milieu et vecteurs (bonus utile)
Si \(M\) est le milieu de \([AB]\), alors :
\[
\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}
\qquad\text{et}\qquad
\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.
\]
En coordonnées, si \(A(x_A; y_A)\), \(B(x_B; y_B)\) :
\[
M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\ \frac{y_A+y_B}{2}\right).
\]
Attention : ceci est un “plus” très souvent utilisé avec les vecteurs.
4) Relation de Chasles
Énoncé
Pour tous points \(A,B,C\) :
\[
\boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}}.
\]
Idée : faire \(A\to B\) puis \(B\to C\) revient à faire directement \(A\to C\).
Réécritures utiles
\[
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}
\qquad
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}
\]
\[
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}
\]
Chaîne de points
Si on “enchaîne” plusieurs segments :
\[
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.
\]
Réflexe : les points “intermédiaires” se simplifient.
Exemple 4 — Simplification “qui tombe”
Simplifier \(S=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\).
- \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) (Chasles).
- Donc \(S=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}\).
- Or \(\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}\), donc \(S=\vec{0}\).
Conclusion : \(\boxed{S=\vec{0}}\).
5) Somme, différence, multiplication par un réel
Règles de calcul (coordonnées)
Si \(\vec{u}=(x; y)\) et \(\vec{v}=(x'; y')\), alors :
\[
\vec{u}+\vec{v}=(x+x';\ y+y')
\qquad
\vec{u}-\vec{v}=(x-x';\ y-y')
\]
\[
k\vec{u}=(kx;\ ky)
\]
Interprétation géométrique (idée)
\(\vec{u}+\vec{v}\) correspond à “enchaîner” deux déplacements.
\(\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})\) : on additionne l’opposé.
Très important : on ne “additionne” pas des points, on additionne des vecteurs.
Exemple 5 — Calculs de combinaisons (niveau piège)
Soit \(\vec{u}=(3; -2)\) et \(\vec{v}=(-5; 4)\). Calculer :
\[
A=2\vec{u}-3\vec{v}
\qquad\text{et}\qquad
B=\vec{u}+\vec{v}-(-\vec{u}).
\]
- \(2\vec{u}=(6; -4)\).
- \(3\vec{v}=(-15; 12)\) donc \(-3\vec{v}=(15; -12)\).
- Donc \(A=(6; -4)+(15; -12)=(21; -16)\).
- \(-\vec{u}=(-3; 2)\) donc \(-(-\vec{u})=\vec{u}\).
- Alors \(B=\vec{u}+\vec{v}+\vec{u}=2\vec{u}+\vec{v}=(6; -4)+(-5; 4)=(1; 0)\).
Résultats : \(\boxed{A=(21; -16)}\) et \(\boxed{B=(1; 0)}\).
Exemple 6 — Vecteurs de points : calcul “arrivée − départ” + combinaison
Soit \(A(1; 2)\), \(B(6; -1)\), \(C(-2; 5)\).
Calculer \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\).
- \(\overrightarrow{AB}=(6-1;\ -1-2)=(5; -3)\).
- \(\overrightarrow{AC}=(-2-1;\ 5-2)=(-3; 3)\).
- Somme : \((5; -3)+(-3; 3)=(2; 0)\).
Conclusion : \(\boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(2; 0)}\) (vecteur horizontal).
6) Colinéarité de vecteurs
Définition
Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s’il existe un réel \(k\) tel que
\[
\boxed{\vec{v}=k\vec{u}}.
\]
Intuition : même direction (parallèles), éventuellement sens contraire si \(k<0\).
Test en coordonnées (rapide)
Si \(\vec{u}=(x; y)\) et \(\vec{v}=(x'; y')\), alors
\[
\vec{u}\ \text{et}\ \vec{v}\ \text{sont colinéaires} \iff xy'-yx'=0.
\]
Piège : tester “\(\frac{x'}{x}=\frac{y'}{y}\)” marche seulement si \(x\neq 0\) et \(y\neq 0\) (sinon attention aux divisions interdites).
Exemple 7 — Colinéarité (méthode déterminant)
Soit \(\vec{u}=(4; -6)\) et \(\vec{v}=(-10; 15)\).
- Calcul : \(xy'-yx'=4\times 15-(-6)\times(-10)=60-60=0\).
- Donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
- On peut même trouver \(k\) : \(-10=4k\Rightarrow k=-\frac{5}{2}\). Vérif : \(15=-6k= -6\times(-\frac{5}{2})=15\) OK.
Conclusion : \(\boxed{\vec{v}=-\frac{5}{2}\vec{u}}\) donc colinéaires.
Exemple 8 — Cas “zéro” (piège classique)
\(\vec{u}=(0; 0)\) (vecteur nul) et \(\vec{v}=(2; -7)\).
- On a toujours \(\vec{0}=0\cdot \vec{v}\) et \(\vec{0}\) est colinéaire à tout vecteur.
- Mais attention : l’égalité \(\vec{v}=k\vec{0}\) est impossible si \(\vec{v}\neq \vec{0}\).
Conclusion à connaître : \(\vec{0}\) est colinéaire à tous les vecteurs, mais on ne peut pas “diviser” par \(\vec{0}\).
7) Alignement de trois points
Critère vectoriel
Les points \(A,B,C\) sont alignés \(\iff\) les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
\[
\boxed{A,B,C\ \text{alignés}\iff \overrightarrow{AB}\ \text{colinéaire à}\ \overrightarrow{AC}}
\]
Version coordonnées (ultra pratique)
Si \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A)\) et \(\overrightarrow{AC}=(x_C-x_A;\ y_C-y_A)\), alors
\[
A,B,C\ \text{alignés} \iff
(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)=0.
\]
Lecture “pente” (si autorisée)
On peut aussi comparer les pentes :
\[
\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}
\]
mais seulement si \(x_B\neq x_A\) et \(x_C\neq x_A\).
Si une différence \(x_B-x_A=0\), on est sur une droite verticale : mieux vaut utiliser le déterminant.
Exemple 9 — Test d’alignement (hard, sans erreurs de signe)
Soit \(A(2; -1)\), \(B(8; 5)\), \(C(-1; -4)\). Les points sont-ils alignés ?
- \(\overrightarrow{AB}=(8-2;\ 5-(-1))=(6; 6)\).
- \(\overrightarrow{AC}=(-1-2;\ -4-(-1))=(-3; -3)\).
- Test : \(xy'-yx'=6\times(-3)-6\times(-3)= -18-(-18)=0\).
Conclusion : \(\boxed{A,B,C\ \text{sont alignés}}\) (car \(\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)).
Exemple 10 — Déterminer un point pour rendre trois points alignés
On connaît \(A(1; 2)\), \(B(5; 6)\). On cherche \(C(x; y)\) tel que \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}\).
- \(\overrightarrow{AB}=(5-1;\ 6-2)=(4; 4)\).
- \(2\overrightarrow{AB}=(8; 8)\).
- \(\overrightarrow{AC}=(x-1;\ y-2)\) donc on impose : \[ (x-1;\ y-2)=(8; 8). \]
- Donc \(x-1=8\Rightarrow x=9\) et \(y-2=8\Rightarrow y=10\).
Résultat : \(\boxed{C(9; 10)}\) (et alors \(A,B,C\) sont alignés).
8) Méthodes “Bac-ready” (même en 2nde)
Méthode A — Simplifier une somme de vecteurs
Objectif : faire apparaître Chasles.
- Regrouper les vecteurs qui s’enchaînent : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).
- Utiliser \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\) pour annuler.
- À la fin : écrire la forme la plus simple (souvent un seul vecteur ou \(\vec{0}\)).
Méthode B — Alignement / colinéarité
Objectif : éviter les divisions.
- Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
- Tester \(xy'-yx'=0\).
- Conclure : colinéaires \(\Rightarrow\) alignement.
Conseil : le déterminant est la méthode la plus “solide” (aucun cas interdit).
Mini-exercice — “démontrer” une égalité vectorielle (corrigé guidé)
Montrer que \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\).
- On introduit un point pour appliquer Chasles : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}\).
- Et \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}\) (car \(C\to B\to D\)).
- Somme : \[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD} =(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB})+(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}). \]
- Or \(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}=\vec{0}\).
- Donc il reste \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\).
Conclusion : \(\boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}}\).
9) Mini-formulaire (à apprendre)
Coordonnées
Si \(A(x_A; y_A)\), \(B(x_B; y_B)\) :
\[
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A).
\]
Si \(\vec{u}=(x; y)\), \(\vec{v}=(x'; y')\) :
\[
\vec{u}+\vec{v}=(x+x';\ y+y')
\quad;\quad
k\vec{u}=(kx;\ ky).
\]
Chasles / colinéarité / alignement
\[
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
\qquad
\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}
\]
\[
\vec{u}\ \parallel\ \vec{v}\iff \exists k,\ \vec{v}=k\vec{u}
\iff xy'-yx'=0
\]
\[
A,B,C\ \text{alignés}\iff \overrightarrow{AB}\ \text{colinéaire à}\ \overrightarrow{AC}
\]
Checklist “copie parfaite”
- Je calcule \(\overrightarrow{AB}\) avec “arrivée − départ”.
- Je simplifie une somme avec Chasles + annulations (\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}\)).
- Pour colinéarité/alignement : je fais \(xy'-yx'\) (zéro ou pas).
- Je conclus avec une phrase : “donc colinéaires” / “donc alignés” / “donc non alignés”.
Rappel notation FR : coordonnées/vecteurs \((x; y)\) et pas \((x, y)\).