Fiche ultra-synthèse — Vecteurs du plan (2nde)
Vecteurs • Chasles • calculs (sommes/combinaisons) • coordonnées • colinéarité • alignement.
Objectif : zéro faute + méthodes rapides (niveau solide / 2nde+).
Essentiel (à savoir par cœur)
1 Vecteur : définition
Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est le “déplacement” de \(A\) vers \(B\).
Il est défini par direction, sens, norme.
Il est défini par direction, sens, norme.
Opposé : \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\).
Vecteur nul : \(\vec{0}\) et \(\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}\).
Vecteur nul : \(\vec{0}\) et \(\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}\).
2 Relation de Chasles
\[
\boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}}
\]
Chaîne :
\[
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.
\]
Annulation : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}\).
3 Coordonnées d’un vecteur
Si \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\) alors :
\[
\boxed{\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A)}
\]
Piège : “arrivée − départ” (ordre important).
4 Somme / combinaison (coordonnées)
| Opération | Formule |
|---|---|
| Somme | \((x; y)+(x'; y')=(x+x';\ y+y')\) |
| Différence | \((x; y)-(x'; y')=(x-x';\ y-y')\) |
| Multiplication | \(k(x; y)=(kx;\ ky)\) |
Exemple : \((3; -2)+(-5; 4)=(-2; 2)\).
5 Colinéarité
\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires \(\iff \exists k,\ \vec{v}=k\vec{u}\).
Test béton (sans division) : si \(\vec{u}=(x; y)\), \(\vec{v}=(x'; y')\),
\[
\boxed{\vec{u}\parallel \vec{v}\iff xy'-yx'=0.}
\]
6 Alignement
\(A,B,C\) alignés \(\iff \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires.
\(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A)\) ; \(\overrightarrow{AC}=(x_C-x_A;\ y_C-y_A)\).
Tester : \((x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)=0\).
Tester : \((x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)=0\).
Méthodes (procédures rapides 20/20)
A Simplifier une expression vectorielle (Chasles)
- Repérer des enchaînements : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).
- Remplacer \(\overrightarrow{BA}\) par \(-\overrightarrow{AB}\) pour annuler.
- Regrouper jusqu’à obtenir un seul vecteur (ou \(\vec{0}\)).
\(S=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}
=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}\).
B Calculer une combinaison en coordonnées
- Mettre tous les vecteurs en coordonnées (si besoin via “arrivée − départ”).
- Faire les opérations coordonnée par coordonnée.
- Conclure proprement avec le résultat \((x; y)\).
\(\vec{u}=(3; -2)\), \(\vec{v}=(-5; 4)\) :
\(2\vec{u}-3\vec{v}=(6; -4)-( -15; 12)=(21; -16)\).
\(2\vec{u}-3\vec{v}=(6; -4)-( -15; 12)=(21; -16)\).
C Colinéarité (méthode déterminant)
- Écrire \(\vec{u}=(x; y)\) et \(\vec{v}=(x'; y')\).
- Calculer \(D=xy'-yx'\).
- Si \(D=0\) ⇒ colinéaires ; sinon ⇒ non colinéaires.
\((4; -6)\) et \((-10; 15)\) : \(4\times 15-(-6)\times(-10)=60-60=0\) ⇒ colinéaires.
D Alignement (version coordonnée)
- Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
- Tester \(xy'-yx'=0\).
- Conclure : alignés / non alignés.
\(A(2; -1)\), \(B(8; 5)\), \(C(-1; -4)\) :
\(\overrightarrow{AB}=(6; 6)\), \(\overrightarrow{AC}=(-3; -3)\),
\(6\times(-3)-6\times(-3)=0\) ⇒ alignés.
\(\overrightarrow{AB}=(6; 6)\), \(\overrightarrow{AC}=(-3; -3)\),
\(6\times(-3)-6\times(-3)=0\) ⇒ alignés.
Pièges classiques (à éviter)
1 Ordre des points
\(\overrightarrow{AB}\neq \overrightarrow{BA}\) et
\(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\).
En coordonnées : \((x_B-x_A;\ y_B-y_A)\) (pas l’inverse).
En coordonnées : \((x_B-x_A;\ y_B-y_A)\) (pas l’inverse).
2 Divisions interdites
Pour colinéarité, éviter \(\frac{x'}{x}=\frac{y'}{y}\) si \(x=0\) ou \(y=0\).
Utiliser plutôt \(xy'-yx'=0\).
Utiliser plutôt \(xy'-yx'=0\).
3 Point vs vecteur
On additionne des vecteurs, pas des points.
Toujours écrire \(\overrightarrow{AB}\), \(\vec{u}\), \(\vec{v}\).
Toujours écrire \(\overrightarrow{AB}\), \(\vec{u}\), \(\vec{v}\).
Astuce : si tu hésites, passe en coordonnées : c’est mécanique et ça fait gagner des points.
Mini-tests (30–60 secondes) — corrigés
Q1 Chasles
Simplifier \(S=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\).
Corrigé : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\), puis \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\). Donc \(S=\overrightarrow{AD}\).
Q2 Coordonnées
Avec \(A(2; -1)\), \(B(-3; 4)\), calculer \(\overrightarrow{AB}\).
Corrigé : \(\overrightarrow{AB}=(-3-2;\ 4-(-1))=(-5;\ 5)\).
Q3 Combinaison
Si \(\vec{u}=(1; -3)\) et \(\vec{v}=(4; 2)\), calculer \(2\vec{u}+\vec{v}\).
Corrigé : \(2\vec{u}=(2; -6)\), donc \(2\vec{u}+\vec{v}=(2+4;\ -6+2)=(6;\ -4)\).
Q4 Colinéarité
Dire si \((3; -6)\) et \((-2; 4)\) sont colinéaires.
Corrigé : \(3\times 4-(-6)\times(-2)=12-12=0\) ⇒ colinéaires (ici \((-2;4)=-\frac{2}{3}(3;-6)\)).
Q5 Alignement
\(A(0; 0)\), \(B(2; 3)\), \(C(4; 6)\) : alignés ?
Corrigé : \(\overrightarrow{AB}=(2;3)\), \(\overrightarrow{AC}=(4;6)\). Test : \(2\times 6-3\times 4=12-12=0\) ⇒ alignés.
Q6 Point inconnu
Avec \(A(1;2)\), \(B(5;6)\), trouver \(C\) tel que \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}\).
Corrigé : \(\overrightarrow{AB}=(4;4)\) donc \(2\overrightarrow{AB}=(8;8)\). Ainsi \((x-1;\ y-2)=(8;8)\) ⇒ \(C(9;10)\).
Checklist (avant contrôle)
Je sais faire
- Passer d’une phrase à une égalité vectorielle.
- Utiliser Chasles pour simplifier (enchaîner / annuler).
- Calculer \(\overrightarrow{AB}\) en coordonnées sans erreur de signe.
- Calculer \(\vec{u}+\vec{v}\), \(\vec{u}-\vec{v}\), \(k\vec{u}\) coordonnée par coordonnée.
- Tester la colinéarité avec \(xy'-yx'=0\) (méthode solide).
- Tester l’alignement via \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
Réflexes 20/20
1) Pour colinéarité/alignement : déterminant (zéro division).
2) Une ligne = une étape : ça sécurise les points.
3) Toujours conclure par une phrase : “donc colinéaires / alignés”.
2) Une ligne = une étape : ça sécurise les points.
3) Toujours conclure par une phrase : “donc colinéaires / alignés”.
À bannir : inverser \(A\) et \(B\) dans \(\overrightarrow{AB}\), oublier le “\(-\)”,
ou comparer des rapports quand une coordonnée vaut 0.