Nombres réels et inégalités

1. Les ensembles de nombres

En Seconde, on manipule plusieurs ensembles de nombres usuels :

• \(\mathbb{N}\) : ensemble des entiers naturels (par exemple : \(0,1,2,3,\dots\)).
• \(\mathbb{Z}\) : ensemble des entiers relatifs (nombres entiers positifs, négatifs ou nuls : \(\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\)).
• \(\mathbb{D}\) : ensemble des nombres décimaux (écriture avec un nombre fini de chiffres après la virgule, comme \(2{,}5\), \(-3{,}14\)).
• \(\mathbb{Q}\) : ensemble des nombres rationnels (écriture sous la forme \(\dfrac{p}{q}\) avec \(p\in\mathbb{Z}\) et \(q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\)).
• \(\mathbb{R}\) : ensemble des nombres réels. Il contient tous les nombres précédents (rationnels) mais aussi des nombres comme \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(e\), etc., qui ne sont pas rationnels.

On a les inclusions : \[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}. \]

2. Ordre sur \(\mathbb{R}\) et inégalités

Sur la droite graduée, chaque point correspond à un nombre réel, et inversement. Plus un nombre est grand, plus le point associé est à droite.

Pour comparer deux réels \(a\) et \(b\), on utilise les symboles :

• \(a < b\) : « \(a\) est strictement inférieur à \(b\) » ;
• \(a \le b\) : « \(a\) est inférieur ou égal à \(b\) » ;
• \(a > b\) : « \(a\) est strictement supérieur à \(b\) » ;
• \(a \ge b\) : « \(a\) est supérieur ou égal à \(b\) ».

Une inégalité est une phrase mathématique qui compare deux expressions et décrit un ensemble de solutions (un ensemble de réels).

3. Intervalles de réels

3.1. Intervalles bornés

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a < b\). On définit :

• \([a;b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}\) : intervalle fermé ;
• \(]a;b[ = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}\) : intervalle ouvert ;
• \([a;b[ = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x < b\}\) : fermé en \(a\), ouvert en \(b\) ;
• \(]a;b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \le b\}\) : ouvert en \(a\), fermé en \(b\).

Exemple : \([-2;4]\) est l’ensemble des réels compris entre \(-2\) et \(4\), bornes incluses.

3.2. Intervalles non bornés

Pour décrire des intervalles « qui vont à l’infini », on utilise les symboles \(-\infty\) et \(+\infty\) :

• \([a;+\infty[ = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge a\}\) ;
• \(]a;+\infty[ = \{x \in \mathbb{R} \mid x > a\}\) ;
• \(]-\infty;a] = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le a\}\) ;
• \(]-\infty;a[ = \{x \in \mathbb{R} \mid x < a\}\).

4. Valeur absolue et distance

4.1. Valeur absolue

La valeur absolue d’un réel \(x\), notée \(|x|\), est la distance entre le point d’abscisse \(x\) et l’origine 0 sur la droite graduée :

\[ |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0,\\ -x & \text{si } x < 0. \end{cases} \]

Exemples : \(|5| = 5,\quad |-3| = 3,\quad |0| = 0.\)

4.2. Distance entre deux réels

La distance entre deux réels \(a\) et \(b\) est définie par :

\[ d(a,b) = |b-a|. \]

Exemples :

• \(d(2,7) = |7-2| = 5\).
• \(d(-3,4) = |4 - (-3)| = 7\).
• \(d(-1{,}5,\,2{,}5) = |2{,}5 - (-1{,}5)| = 4\).

4.3. Intervalles centrés

Soient \(a \in \mathbb{R}\) et \(r > 0\). L’ensemble des réels à distance au plus \(r\) de \(a\) se note :

\[ \{x \in \mathbb{R} \mid |x-a| \le r\} = [a-r\,;a+r]. \]

Exemple : \(|x-3| \le 2\) est équivalent à \(x \in [1;5]\).

5. Inégalités et écriture des solutions

Résoudre une inégalité (par exemple \(2 \le x < 5\)) revient à déterminer l’ensemble des réels \(x\) qui la vérifient. On exprime alors la solution :

• sur la droite graduée (représentation graphique) ;
• sous forme d’intervalle (écriture symbolique).