Exercice 1 — Classer les nombres
Pour chaque nombre ci-dessous, préciser tous les ensembles auxquels il appartient parmi \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\).
- a) \(5\)
- b) \(-3\)
- c) \(\dfrac{7}{4}\)
- d) \(-2{,}5\)
- e) \(\sqrt{2}\)
- f) \(\pi\)
Exercice 2 — Placer des nombres sur une droite graduée
Sur une même droite graduée, placer les nombres suivants :
\[ -4,\quad -1{,}5,\quad 0,\quad \frac{1}{2},\quad 1{,}2,\quad 3. \]
Choisir une unité adaptée (par exemple 1 cm pour 1 unité) et placer précisément les nombres fractionnaires et décimaux.
Exercice 3 — Écrire un intervalle
Pour chaque phrase, écrire l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle.
- « Les réels compris entre 2 et 5, bornes incluses. »
- « Les réels strictement plus grands que -1. »
- « Les réels inférieurs ou égaux à 4. »
- « Les réels strictement compris entre -2 et 3. »
Exercice 4 — De l’inégalité à l’intervalle
Pour chaque inégalité, donner l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle.
- a) \(2 \le x \le 5\)
- b) \(x > -1\)
- c) \(x \le 0\)
- d) \(-3 < x < 1\)
- e) \(x \ge 2{,}5\)
Exercice 5 — De l’intervalle à l’inégalité
Traduire chaque intervalle sous forme d’une inégalité (ou d’un système d’inégalités) sur \(x\).
- a) \([1;4]\)
- b) \(\,]-2;3[\)
- c) \([0;+\infty[\)
- d) \(\,]-\infty;-5]\)
- e) \([2{,}5;7[\)
Exercice 6 — Distances sur la droite réelle
Calculer la distance entre les deux nombres réels suivants :
- a) \(2\) et \(7\)
- b) \(-3\) et \(4\)
- c) \(-1{,}5\) et \(2{,}5\)
- d) \(-4\) et \(-1\)
Rappel : pour deux réels \(a\) et \(b\), la distance est \(d(a,b) = |b-a|\).
Exercice 7 — Valeur absolue
Calculer les valeurs absolues suivantes :
- a) \(|5|\)
- b) \(|-7|\)
- c) \(|2{,}3|\)
- d) \(|-4{,}8|\)
- e) \(|0|\)
Exercice 8 — Intervalles centrés et valeur absolue
On considère l’ensemble des réels \(x\) tels que \(|x-3|\le 2\).
- Montrer que cet ensemble est l’intervalle \([1;5]\).
- Représenter cet intervalle sur une droite graduée.
- Donner deux nombres appartenant à cet intervalle et deux nombres n’y appartenant pas.
Exercice 9 — Appartenance à un intervalle
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier à chaque fois.
- a) \(2 \in [1;4]\)
- b) \(5 \in [1;4]\)
- c) \(0 \in \,]0;2]\)
- d) \(-1 \in \,]-2;3[\)
- e) \(4 \in [4;+\infty[\)
Exercice 10 — Problème de distance
Sur une ligne de bus, les arrêts sont repérés par des abscisses sur une droite graduée. L’arrêt A a pour abscisse \(-1{,}5\) et l’arrêt B a pour abscisse \(2{,}5\).
- Calculer la distance entre A et B.
- Un arrêt C est au milieu de A et B. Quelle est son abscisse ?
- Vérifier que la distance AC est égale à la distance CB.