Fiche de révision — Nombres réels et inégalités
À revoir avant les contrôles : vocabulaire, notations et techniques essentielles.
1. Ensembles de nombres
- \(\mathbb{N}\) : entiers naturels (0,1,2,3,…).
- \(\mathbb{Z}\) : entiers relatifs (\(\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\)).
- \(\mathbb{D}\) : nombres décimaux (écriture finie après la virgule).
- \(\mathbb{Q}\) : nombres rationnels \(\dfrac{p}{q}\) avec \(p,q\in\mathbb{Z}, q\ne0\).
- \(\mathbb{R}\) : tous les nombres réels (inclut les rationnels et les irrationnels).
Inclusions : \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).
2. Intervalles de \(\mathbb{R}\)
Intervalles bornés (pour \(a<b\)) :
- \([a;b] = \{x\mid a\le x\le b\}\)
- ]a;b[ = \(\{x\mid a<x<b\}\)
- \([a;b[ = \{x\mid a\le x<b\}\)
- ]a;b] = \(\{x\mid a<x\le b\}\)
Intervalles non bornés :
- \([a;+\infty[ = \{x\mid x\ge a\}\)
- ]a;+\infty[ = \(\{x\mid x>a\}\)
- ]−\(\infty\);a] = \(\{x\mid x\le a\}\)
- ]−\(\infty\);a[ = \(\{x\mid x<a\}\)
3. Valeur absolue
Pour tout réel \(x\) : \[ |x|= \begin{cases} x & \text{si } x\ge0,\\ -x & \text{si } x<0. \end{cases} \]
Interprétation : \(|x|\) est la distance entre \(x\) et 0 sur la droite réelle.
4. Distance entre deux réels
Pour tous réels \(a\) et \(b\), la distance entre \(a\) et \(b\) est : \[ d(a,b)=|b-a|. \]
5. Intervalles centrés
Soient \(a\in\mathbb{R}\) et \(r>0\). L’ensemble des réels à distance au plus \(r\) de \(a\) se note : \[ \{x\in\mathbb{R}\mid |x-a|\le r\} = [a-r\,;a+r]. \]
6. À savoir faire
- Identifier à quels ensembles (\(\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{D},\mathbb{Q},\mathbb{R}\)) appartient un nombre donné.
- Lire et écrire un intervalle : de la phrase à l’intervalle et inversement.
- Représenter un intervalle sur une droite graduée.
- Calculer \(|x|\) pour un réel \(x\).
- Calculer une distance \(d(a,b)=|b-a|\).
- Reconnaître un intervalle centré et le traduire à l’aide d’une valeur absolue.