Exercices corrigés — Information chiffrée (2nde)

(a) 18 représente 45% du total \(T\). Donc :

\[ 18 = 0{,}45\,T \quad\Rightarrow\quad T=\frac{18}{0{,}45}. \] Or \(0{,}45=\frac{45}{100}=\frac{9}{20}\). Donc \[ T=18\div\frac{9}{20}=18\times\frac{20}{9}=2\times20=40. \] Total : 40 élèves.

(b) Garçons = \(40-18=22\).

(c) De 45% à 54% :

• Variation en points : \(54-45=9\) points.
• Variation relative : \(\dfrac{9}{45}=0{,}2\Rightarrow 20\%\).

Donc +9 points mais +20% relatif.

(d) On ajoute \(x\) élèves, total devient \(40+x\). On veut \(\dfrac{18}{40+x}=0{,}40\).

\[ \frac{18}{40+x}=0{,}40 \Rightarrow 18=0{,}40(40+x)=16+0{,}40x \] \[ 18-16=0{,}40x \Rightarrow 2=0{,}40x \Rightarrow x=\frac{2}{0{,}40}=5. \] Il faut ajouter 5 élèves.

Réponses : (a) 40 ; (b) 22 ; (c) +9 points et +20% relatif ; (d) 5.

(a) \(V_0=120\), \(V_1=138\).

Variation : \(\Delta=138-120=18\).
Taux : \(t=\dfrac{18}{120}=0{,}15\Rightarrow 15\%\).

(b) \(CM=1+t=1+0{,}15=1{,}15\).

(c) Remise 12% : \(CM_2=1-0{,}12=0{,}88\).
Prix final : \[ 120\times1{,}15\times0{,}88 = 120\times(1{,}012) = 121{,}44. \] Prix final : 121,44€.

(d) Si le prix final est 121,44€ et que l'ordre est hausse puis remise, alors : \[ V_f = V_0\times(1{,}15\times0{,}88)=V_0\times1{,}012 \] Donc \[ V_0=\frac{121{,}44}{1{,}012}=120. \] Prix initial : 120€.

Réponses : (a) \(\Delta=18\), \(t=15\%\) ; (b) 1,15 ; (c) 121,44€ ; (d) 120€.

(a) CM hausse 25% : \(1{,}25\). CM baisse 25% : \(0{,}75\).

\[ P_2 = 8000\times1{,}25\times0{,}75 = 8000\times0{,}9375 = 7500. \] Après 2 ans : 7 500.

(b) CM global = \(0{,}9375\). Taux global : \[ t = 0{,}9375-1 = -0{,}0625 \Rightarrow -6{,}25\%. \] Baisse globale : 6,25%.

(c) On veut un seul taux \(x\%\) tel que \(CM=1-\frac{x}{100}=0{,}9375\).

\[ 1-\frac{x}{100}=0{,}9375 \Rightarrow \frac{x}{100}=0{,}0625 \Rightarrow x=6{,}25. \] Baisse unique : 6,25%.

(d) Si −25% puis +25% : \(8000\times0{,}75\times1{,}25\).

Le produit des CM est le même : \(0{,}75\times1{,}25=0{,}9375\). Donc on obtient encore \(7500\).
Même résultat : l'ordre ne change pas car on multiplie.

Réponses : (a) 7 500 ; (b) −6,25% ; (c) 6,25% ; (d) 7 500 (identique).

(a) Prix HT après remises : \[ 1250\times0{,}85\times0{,}90 = 1250\times0{,}765 = 956{,}25. \] HT final : 956,25€.

(b) Prix TTC : \[ 956{,}25\times1{,}20 = 1147{,}50. \] TTC final : 1 147,50€.

(c) CM global remises = \(0{,}765\). Donc \[ 0{,}765 = 1-\frac{r}{100} \Rightarrow \frac{r}{100}=0{,}235 \Rightarrow r=23{,}5. \] Remise unique équivalente : 23,5%.

(d) Si on faisait −25% directement : CM = 0,75.
HT (faux) : \(1250\times0{,}75=937{,}50\).
TTC (faux) : \(937{,}50\times1{,}20=1125\).
TTC correct : 1 147,50€. Différence : \[ 1147{,}50-1125=22{,}50. \] Erreur : 22,50€ TTC.

Réponses : (a) 956,25€ ; (b) 1 147,50€ ; (c) 23,5% ; (d) 22,50€ TTC.

(a) Base 2022 : \(V_{ref}=80\). Pour 2023 : \(V=92\).

\[ I_{2023} = \frac{92}{80}\times100 = 115. \] Indice 2023 : 115.

(b) Pour 2024 : \(V=87{,}4\).

\[ I_{2024} = \frac{87{,}4}{80}\times100 = 109{,}25. \] Indice 2024 : 109,25.

(c) Taux 2023→2024 :

\[ t=\frac{87{,}4-92}{92}=\frac{-4{,}6}{92}=-0{,}05 \Rightarrow -5\%. \] Donc baisse de 5% entre 2023 et 2024.

(d) Nouvelle base : 2023 vaut 100 (référence 92).

\[ I_{2022|base2023} = \frac{80}{92}\times100 \approx 86{,}956\ldots \approx 86{,}96 \] \[ I_{2024|base2023} = \frac{87{,}4}{92}\times100 = 95. \] Base 2023 : 2022 ≈ 86,96 et 2024 = 95.

Réponses : (a) 115 ; (b) 109,25 ; (c) −5% ; (d) 2022 ≈ 86,96 ; 2024 = 95.

(a) Pour A :

• 2021→2022 : \(\dfrac{60-48}{48}=\dfrac{12}{48}=0{,}25\Rightarrow +25\%\).
• 2022→2023 : \(\dfrac{57-60}{60}=\dfrac{-3}{60}=-0{,}05\Rightarrow -5\%\).

(b) CM global de A (2021→2024) :

\[ CM=\frac{68{,}4}{48}=1{,}425. \] Donc +42,5% sur la période.

(c) Base 2021 = 100 :

• A : \(I_{2024}=\dfrac{68{,}4}{48}\times100=142{,}5\).
• B : \(I_{2024}=\dfrac{81}{80}\times100=101{,}25\).

Interprétation : en 2024, A est à 142,5 (donc +42,5% vs 2021), B est à 101,25 (donc +1,25% vs 2021).

(d) Mesure simple de stabilité : l'écart relatif max/min sur 2021–2024.

• A : min = 48, max = 68,4 ⇒ \(\dfrac{68{,}4}{48}=1{,}425\) ⇒ amplitude +42,5%.
• B : min = 72, max = 90 ⇒ \(\dfrac{90}{72}=1{,}25\) ⇒ amplitude +25%.

B est plus stable (amplitude 25% contre 42,5%).

Réponses : (a) +25% puis −5% ; (b) 1,425 ; (c) A : 142,5 ; B : 101,25 ; (d) B (amplitude 25%).

(a) Moyenne pondérée :

\[ \bar p = 0{,}40\times25 + 0{,}35\times40 + 0{,}25\times60 = 10 + 14 + 15 = 39. \] Prix moyen global : 39€.

(b) Type 3 augmente de 12% : nouveau prix type 3 = \(60\times1{,}12=67{,}2\).

\[ \bar p' = 0{,}40\times25 + 0{,}35\times40 + 0{,}25\times67{,}2 = 10 + 14 + 16{,}8 = 40{,}8. \] Nouveau prix moyen global : 40,8€.

(c) On veut obtenir \(40{,}8\) en baissant le type 2 de \(x\%\). Nouveau prix type 2 : \(40(1-\frac{x}{100})\).

\[ 0{,}40\cdot25 + 0{,}35\cdot 40(1-\frac{x}{100}) + 0{,}25\cdot60 = 40{,}8 \] Or \(0{,}40\cdot25=10\) et \(0{,}25\cdot60=15\). Donc : \[ 25 + 14(1-\frac{x}{100}) = 40{,}8 \] \[ 25 + 14 - 14\frac{x}{100} = 40{,}8 \Rightarrow 39 - 0{,}14x = 40{,}8 \Rightarrow -0{,}14x = 1{,}8 \Rightarrow x = -\frac{1{,}8}{0{,}14}\approx -12{,}857\ldots \] Donc il faudrait augmenter le type 2 d’environ 12,86% (pas baisser).

(d) Contre-exemple : si 90% des ventes à 10€ et 10% à 100€, la moyenne vaut \(0{,}9\cdot10+0{,}1\cdot100=19\), pas \((10+100)/2=55\).
Donc on ne peut pas faire une « moyenne simple » sans pondérer.

Réponses : (a) 39€ ; (b) 40,8€ ; (c) \(x\approx -12,86\%\) (donc +12,86%) ; (d) moyenne non pondérée fausse.

(a) Salaire nominal année 2 :

\[ S_2 = 2000\times1{,}04\times1{,}03 = 2000\times1{,}0712 = 2142{,}4. \] Donc 2 142,40€.

(b) Indice du salaire (base 0 = 100) :

\[ I_s = \frac{S_2}{S_0}\times100 = \frac{2142{,}4}{2000}\times100 = 107{,}12. \] Indice salaire : 107,12.

(c) Indice des prix en année 2 : \(I_p=112\). Le pouvoir d'achat (réel) est proportionnel à \(\dfrac{salaire}{prix}\), donc l'indice réel vaut : \[ I_{réel} = \frac{I_s}{I_p}\times100 = \frac{107{,}12}{112}\times100. \]

\[ I_{réel} \approx 95{,}642857\ldots \approx 95{,}64. \] Donc le pouvoir d'achat est inférieur à 100.

(d) Variation du pouvoir d'achat entre 0 et 2 : \[ 95{,}64-100 = -4{,}36\% \text{ environ}. \] Conclusion : le pouvoir d'achat baisse d'environ 4,36%.

Réponses : (a) 2 142,40€ ; (b) 107,12 ; (c) ≈ 95,64 ; (d) ≈ −4,36%.

(a)

• Jan→Fév : \(\dfrac{132-120}{120}=\dfrac{12}{120}=0{,}10\Rightarrow +10\%\).
• Fév→Mar : \(\dfrac{125{,}4-132}{132}=\dfrac{-6{,}6}{132}=-0{,}05\Rightarrow -5\%\).

(b) Mar→Avr : vérifier le +20% :

\[ 125{,}4\times1{,}20=150{,}48. \] Donc c'est bien une hausse de 20%.

(c) CM global Jan→Juin :

\[ CM=\frac{154{,}84}{120}=1{,}290333\ldots \] Donc +29,0333...% sur la période.

(d) Indice base Jan = 100 :

\[ I_{Juin}=\frac{154{,}84}{120}\times100=129{,}0333\ldots \approx 129{,}03. \] Interprétation : en juin, l'indicateur est à 129,03, donc environ +29,03% par rapport à janvier.

Réponses : (a) +10% et −5% ; (b) +20% ; (c) 1,29033... ; (d) 129,03.

(a) Année 1 : \(V_1=400\times1{,}08=432\).
Année 2 : \(V_2=432\times0{,}95=410{,}4\).
Valeur année 2 : 410,40€.

(b) CM global 0→2 :

\[ CM=1{,}08\times0{,}95=1{,}026. \] Taux global : \[ t=1{,}026-1=0{,}026 \Rightarrow +2{,}6\%. \] Donc +2,6% entre 0 et 2.

(c) Année 3 : \(V_3=418{,}32\). Taux 2→3 :

\[ t=\frac{418{,}32-410{,}4}{410{,}4}=\frac{7{,}92}{410{,}4}. \] Or \(410{,}4\times0{,}0193=7{,}92272\) (très proche), donc \[ t\approx 0{,}0193\Rightarrow 1{,}93\%. \] Hausse d'environ 1,93%.

(d) Indices base année 0 = 100 :

• Année 0 : \(I_0=\frac{400}{400}\times100=100\).
• Année 1 : \(I_1=\frac{432}{400}\times100=108\).
• Année 2 : \(I_2=\frac{410{,}4}{400}\times100=102{,}6\).
• Année 3 : \(I_3=\frac{418{,}32}{400}\times100=104{,}58\) (au centième).

Réponses : (a) 410,40€ ; (b) CM=1,026 et +2,6% ; (c) ≈ +1,93% ; (d) 100 ; 108 ; 102,6 ; 104,58.