Cours — Information chiffrée
Pourcentages • évolutions • coefficients multiplicateurs • indices • lecture & interprétation de données (tableaux/graphes).
1) Objectifs et vocabulaire indispensable
Compétences (2nde)
- Traduire un pourcentage en fraction/decimal et inversement.
- Calculer une partie, un total, un taux.
- Calculer une évolution (hausse/baisse) et un taux d’évolution.
- Utiliser le coefficient multiplicateur (CM) et raisonner sur les évolutions successives.
- Comprendre et manipuler des indices (base 100) et des variations d’indices.
- Lire, comparer et interpréter des données (tableaux/graphes).
Pièges fréquents
- “Augmenter de 20%” ≠ “multiplier par 1,20” puis refaire encore 20% sur l’ancien : on applique sur la valeur de départ.
- Revenir en arrière : une hausse de 25% puis une baisse de 25% ne ramène pas au départ.
- Points de pourcentage : passer de 12% à 15% = +3 points, mais +25% en relatif.
- Indice : “indice 120” ne veut pas dire 120%, mais “+20% par rapport à la base 100”.
Traduction rapide : “\(p\%\)” signifie “\(\dfrac{p}{100}\) de …”. Donc \(p\% = \dfrac{p}{100}\) (en écriture décimale : on divise par 100).
2) Pourcentages
Définition et conversions
\[
p\%=\frac{p}{100}
\]
Exemples :
- \(12\%=0{,}12=\dfrac{12}{100}=\dfrac{3}{25}\)
- \(2{,}5\%=0{,}025=\dfrac{25}{1000}=\dfrac{1}{40}\)
- \(150\%=1{,}5\) (possible : plus que le total de base)
Les 3 formules-clés
| Situation | Formule |
|---|---|
| Calculer la partie | \(\text{partie} = \text{total} \times \dfrac{p}{100}\) |
| Trouver le taux | \(p = \dfrac{\text{partie}}{\text{total}} \times 100\) |
| Trouver le total | \(\text{total}=\dfrac{\text{partie}}{p/100}\) (si \(p\neq 0\)) |
Exemple 1 — Partie / taux / total (niveau piège)
- (a) \(18\%\) de 250 : \(250\times 0{,}18=45\) → \(\boxed{45}\).
- (b) 42 sur 280 : \(p=\dfrac{42}{280}\times 100=15\%\) → \(\boxed{15\%}\).
- (c) 96 est \(12\%\) d’un total \(T\) : \(96=0{,}12T\Rightarrow T=\dfrac{96}{0{,}12}=800\) → \(\boxed{800}\).
Piège : “\(12\%\) d’un total” signifie “\(\dfrac{12}{100}\times T\)”, donc on divise par \(0{,}12\) pour retrouver \(T\).
3) Évolutions : variation absolue et taux d’évolution
Variation absolue
Si on passe de \(V_0\) (valeur initiale) à \(V_1\) (valeur finale) :
\[
\Delta = V_1 - V_0
\]
(\(\Delta>0\) : hausse ; \(\Delta<0\) : baisse)
Taux d’évolution (relatif)
\[
t=\frac{V_1 - V_0}{V_0}
\qquad\Rightarrow\qquad
t\times 100\% \ \text{(en pourcentage)}
\]
Traduction : “de combien de fois \(V_0\) la variation représente-t-elle ?”
Exemple 2 — Calculer un taux d’évolution (sans erreur)
Un prix passe de \(80\) € à \(92\) €.
- Variation : \(\Delta=92-80=12\).
- Taux : \(t=\dfrac{12}{80}=0{,}15\) donc \(\boxed{15\%}\).
Conclusion : augmentation de \(\boxed{15\%}\).
Piège : on divise toujours par la valeur initiale \(V_0\), pas par \(V_1\).
Exemple 3 — “Points de pourcentage” vs “%”
Un taux passe de \(12\%\) à \(15\%\).
- En points : \(15-12=3\) points.
- En % relatif : \(\dfrac{15-12}{12}=\dfrac{3}{12}=0{,}25\) donc \(\boxed{+25\%}\).
Réflexe : “points” = différence directe ; “%” = différence rapportée à l’ancien.
4) Coefficient multiplicateur (CM)
Définition
Si le taux d’évolution est \(t\) (en décimal), alors :
\[
V_1 = V_0(1+t)
\]
Le nombre \(\boxed{CM=1+t}\) est le coefficient multiplicateur.
Hausse / baisse
| Énoncé | CM |
|---|---|
| Augmenter de \(p\%\) | \(\boxed{1+\dfrac{p}{100}}\) |
| Diminuer de \(p\%\) | \(\boxed{1-\dfrac{p}{100}}\) |
| Multiplier par \(k\) | \(\boxed{CM=k}\) |
Exemple 4 — Appliquer un CM (très classique)
Un salaire de \(1\,600\) € augmente de \(2{,}5\%\).
- \(CM=1+0{,}025=1{,}025\).
- \(V_1=1\,600\times 1{,}025=1\,640\).
Nouveau salaire : \(\boxed{1\,640\text{ €}}\).
Exemple 5 — Retrouver la valeur initiale (retour en arrière)
Après une baisse de \(20\%\), un prix vaut \(96\) €.
- Baisse \(20\%\) → \(CM=1-0{,}20=0{,}8\).
- \(96=V_0\times 0{,}8\Rightarrow V_0=\dfrac{96}{0{,}8}=120\).
Prix initial : \(\boxed{120\text{ €}}\).
Piège : “remonter de 20%” ne compense pas une baisse de 20%. On doit diviser par le CM pour revenir.
5) Évolutions successives : on multiplie les CM
Règle
Deux évolutions successives de coefficients \(CM_1\) puis \(CM_2\) donnent :
\[
V_2 = V_0 \times CM_1 \times CM_2
\]
Donc le coefficient global est \(\boxed{CM_{\text{global}}=CM_1CM_2}\).
Exemple 6 — “+10% puis −10%” (piège de concours)
On part de \(V_0\).
- +10% → \(CM_1=1{,}10\).
- −10% → \(CM_2=0{,}90\).
- Global : \(CM=1{,}10\times 0{,}90=0{,}99\).
Conclusion : on obtient \(V_2=0{,}99V_0\), donc une baisse globale de \(\boxed{1\%}\).
Exemple 7 — Trouver une hausse pour “compenser” une baisse
Après une baisse de \(25\%\), quel pourcentage d’augmentation faut-il pour revenir au prix initial ?
- Baisse 25% → \(CM_1=0{,}75\).
- Pour revenir : \(CM_1\times CM_2=1\Rightarrow CM_2=\dfrac{1}{0{,}75}=\dfrac{4}{3}\approx 1{,}333\).
- Donc il faut une hausse de \((1{,}333-1)\times 100\%\approx 33{,}3\%\).
Hausse nécessaire : \(\boxed{33{,}3\%}\) (environ).
6) Indices (souvent base 100)
Définition (base 100)
Un indice compare une valeur \(V\) à une valeur de référence \(V_{\text{ref}}\).
\[
I=\frac{V}{V_{\text{ref}}}\times 100
\]
- \(I=100\) : égal à la référence
- \(I=120\) : +20% par rapport à la référence
- \(I=85\) : −15% par rapport à la référence
Revenir à la valeur
Si l’indice vaut \(I\) (base 100), alors :
\[
V=V_{\text{ref}}\times \frac{I}{100}
\]
Exemple : \(V_{\text{ref}}=50\) et \(I=112\) → \(V=50\times 1{,}12=56\).
Exemple 8 — Construire et interpréter un tableau d’indices
On fixe l’année 2022 comme base : \(V_{\text{ref}}=80\).
| Année | Valeur \(V\) | Indice \(I=\dfrac{V}{80}\times100\) | Interprétation |
|---|---|---|---|
| 2022 | 80 | 100 | Référence |
| 2023 | 92 | \(\dfrac{92}{80}\times100=115\) | \(+15\%\) vs 2022 |
| 2024 | 76 | \(\dfrac{76}{80}\times100=95\) | \(-5\%\) vs 2022 |
Piège : l’indice compare toujours à la base, pas forcément à l’année précédente.
7) Lecture et interprétation de données
Tableaux : réflexes
- Identifier l’unité (€, km, %, kWh…).
- Distinguer valeur, variation, taux.
- Comparer correctement : “différence” vs “pourcentage”.
- Contrôler la cohérence : un taux de 300% signifie “multiplié par 4”.
Graphes : erreurs fréquentes
- Axes tronqués : une petite variation peut sembler énorme si l’axe ne part pas de 0.
- Confondre “pente” (variation) et “valeur”.
- Lire le mauvais repère (abscisse/ordonnée).
Exemple 9 — Interpréter un mini-tableau (taux vs variation)
Tableau (prix en €) :
| Mois | Jan | Fév | Mar |
|---|---|---|---|
| Prix | 120 | 150 | 135 |
- De Jan à Fév : \(\Delta=150-120=30\) ; taux \(=\dfrac{30}{120}=0{,}25\Rightarrow \boxed{+25\%}\).
- De Fév à Mar : \(\Delta=135-150=-15\) ; taux \(=\dfrac{-15}{150}=-0{,}10\Rightarrow \boxed{-10\%}\).
- De Jan à Mar : \(\Delta=135-120=15\) ; taux \(=\dfrac{15}{120}=0{,}125\Rightarrow \boxed{+12{,}5\%}\).
Message important : le taux dépend du point de départ. Un “−15” n’a pas le même pourcentage selon qu’on part de 120 ou de 150.
8) Méthodes “copie parfaite”
Méthode A — Taux d’évolution
1) Identifier V0 (initial) et V1 (final)
2) Calculer Δ = V1 − V0
3) Calculer t = Δ / V0
4) Convertir en % : t×100
2) Calculer Δ = V1 − V0
3) Calculer t = Δ / V0
4) Convertir en % : t×100
Méthode B — CM et retours
+p% ⇒ CM = 1 + p/100
−p% ⇒ CM = 1 − p/100
Aller : V1 = V0 × CM
Retour : V0 = V1 / CM
−p% ⇒ CM = 1 − p/100
Aller : V1 = V0 × CM
Retour : V0 = V1 / CM
Exemple 10 — Méthode complète sur une phrase “piège”
“Un article coûte 50 €. Il augmente de 12%, puis bénéficie d’une remise de 15%. Quel est le prix final ?”
- Augmentation 12% → \(CM_1=1{,}12\).
- Remise 15% → \(CM_2=0{,}85\).
- Prix final : \(50\times 1{,}12\times 0{,}85 = 50\times 0{,}952 = 47{,}6\).
Prix final : \(\boxed{47{,}60\text{ €}}\).
Piège : on ne fait pas \(12-15=-3\%\). Les évolutions successives se font par multiplication des CM.
9) Mini-formulaire (à connaître)
Pourcentages
partie = total × p/100
p = (partie/total) × 100
total = partie / (p/100)
p = (partie/total) × 100
total = partie / (p/100)
Évolutions
Δ = V1 − V0
t = (V1 − V0) / V0
CM = 1 + t
V1 = V0 × CM
V0 = V1 / CM
t = (V1 − V0) / V0
CM = 1 + t
V1 = V0 × CM
V0 = V1 / CM
Indices (base 100)
I = (V / Vref) × 100
V = Vref × (I/100)
V = Vref × (I/100)
Rappel notation : intervalles en français \([a ; b]\).
Checklist “20/20”
- Je repère \(V_0\) et \(V_1\) avant de calculer.
- Pour un taux : je divise par \(V_0\) (valeur initiale).
- Pour une évolution : j’utilise le CM (\(+p\%\Rightarrow 1+p/100\), \(-p\%\Rightarrow 1-p/100\)).
- Évolutions successives : je multiplie les coefficients.
- Indices : je sais passer de \(V\) à \(I\) et de \(I\) à \(V\).
- Je distingue points et % relatif.