1. Proportions et pourcentages
On modélise souvent une information chiffrée par une \textbf{proportion} ou un \textbf{pourcentage}.
- Une proportion est un nombre compris entre \(0\) et \(1\), noté par exemple \(p = 0{,}32\).
- Le pourcentage correspondant est \(p \times 100\), ici \(32\%\).
Si une partie vaut \(V_p\) et le total vaut \(V_t\), la proportion est : \[ p = \frac{V_p}{V_t}, \quad \text{et le pourcentage est } p\times 100. \]
Exemple : dans une classe de 30 élèves, 18 sont demi-pensionnaires : \(\displaystyle p = \frac{18}{30} = 0{,}6\), soit \(60\%\) de demi-pensionnaires.
2. Pourcentage d’évolution et coefficient multiplicateur
a) Pourcentage d’augmentation ou de diminution
On fait passer une valeur de \(V_{\text{initial}}\) à \(V_{\text{final}}\). Le \textbf{taux d’évolution} (ou pourcentage d’évolution) est : \[ t = \frac{V_{\text{final}} - V_{\text{initial}}}{V_{\text{initial}}}. \] En pourcentage, on prend \(t \times 100\).
Exemple : un prix passe de \(50\)~\euro{} à \(65\)~\euro. \(\displaystyle t = \frac{65 - 50}{50} = \frac{15}{50} = 0{,}3\), soit une hausse de \(30\%\).
b) Coefficient multiplicateur
Pour une évolution de taux \(t\), on associe le \textbf{coefficient multiplicateur} : \[ C = 1 + t. \] On a alors : \[ V_{\text{final}} = C \times V_{\text{initial}}. \]
- Si \(t > 0\), il s’agit d’une \textbf{augmentation} (coefficient supérieur à 1).
- Si \(t < 0\), il s’agit d’une \textbf{diminution} (coefficient compris entre 0 et 1).
Exemple : une diminution de \(15\%\) correspond à \(t = -0{,}15\), donc \(C = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\). Un prix de 80~\euro{} devient \(80 \times 0{,}85 = 68\)~\euro.
3. Évolutions successives et taux global
Lorsqu’un même montant subit plusieurs évolutions successives, on multiplie les coefficients multiplicateurs.
Si l’on applique successivement un taux \(t_1\) puis un taux \(t_2\), avec coefficients \[ C_1 = 1 + t_1, \qquad C_2 = 1 + t_2, \] alors le coefficient global est : \[ C_{\text{global}} = C_1 \times C_2, \] et le taux d’évolution global est \[ t_{\text{global}} = C_{\text{global}} - 1. \]
Exemple : une population augmente de \(10\%\) la première année (coefficient \(1{,}10\)), puis de \(5\%\) la deuxième (coefficient \(1{,}05\)). Le coefficient global est \(1{,}10 \times 1{,}05 = 1{,}155\), soit une hausse globale de \(15{,}5\%\).
4. Moyenne pondérée
Dans de nombreuses situations, on manipule une \textbf{moyenne pondérée} plutôt qu’une moyenne simple.
Si l’on a des valeurs \(x_1, x_2, \dots, x_n\) affectées de poids (ou effectifs) \(n_1, n_2, \dots, n_n\), la moyenne est : \[ \overline{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_n x_n}{n_1 + n_2 + \cdots + n_n}. \]
Exemple : un élève obtient les notes suivantes : \(12\) avec coefficient 2, \(15\) avec coefficient 3, et \(8\) avec coefficient 1. \[ \overline{x} = \frac{2\times 12 + 3\times 15 + 1\times 8}{2+3+1} = \frac{24 + 45 + 8}{6} = \frac{77}{6} \approx 12{,}8. \]
5. Indices base 100
Pour comparer des évolutions dans le temps, on utilise souvent des \textbf{indices} en base 100.
Si une grandeur prend la valeur \(V_0\) à la date de référence (base 100) et \(V\) à une autre date, l’indice correspondant est : \[ I = \frac{V}{V_0} \times 100. \]
- Si \(I = 100\), la valeur n’a pas changé.
- Si \(I > 100\), la valeur a augmenté (par exemple, \(I = 115\) correspond à +15\%).
- Si \(I < 100\), la valeur a diminué (par exemple, \(I = 92\) correspond à -8\%).
Exemple : un indice de production industrielle est de 100 en 2020 (année de base). En 2023, il est de 121. Cela signifie que la production est \(21\%\) plus élevée qu’en 2020.
6. Interpréter une information chiffrée
Une même information peut être présentée sous plusieurs formes (tableau, diagramme, pourcentage, indice). Il est essentiel de :
- repérer le \textbf{total} et les \textbf{parties} ;
- identifier clairement la \textbf{population de référence} (pays, année, classe, etc.) ;
- bien distinguer \textbf{taux d’évolution} et \textbf{pourcentage dans un ensemble} ;
- vérifier l’ordre de grandeur (un pourcentage ne peut pas dépasser \(100\%\) dans certaines situations, etc.).