Exercices corrigés — Fonctions De Référence (2nde)

1. \(f(x)=3x-5\) est une fonction affine, car elle est de la forme \(mx+p\) avec \(m=3\) et \(p=-5\).
2. \(g(x)=x^2\) est la fonction carré.
3. \(h(x)=\dfrac1x\) est la fonction inverse. Son domaine est \(\mathbb R\setminus\{0\}\).
4. \(u(x)=\sqrt{x}\) est la fonction racine carrée. Son domaine est \([0 ; +\infty[\).
5. \(v(x)=(x-2)^2+3\) est construite à partir de la fonction carré : on remplace \(x\) par \(x-2\), puis on ajoute 3.
6. \(w(x)=\dfrac{2}{x+1}\) est construite à partir de la fonction inverse. Elle n’est pas définie pour \(x=-1\), car le dénominateur serait nul.

1) \(f(x)=2x^2-3x+1\)

C’est un polynôme, donc il est défini pour tout réel : \[ \boxed{D_f=\mathbb R} \]

2) \(g(x)=\dfrac{4}{x-5}\)

Le dénominateur ne doit pas être nul : \[ x-5\ne0\Rightarrow x\ne5 \] Donc : \[ \boxed{D_g=\mathbb R\setminus\{5\}} \]

3) \(h(x)=\sqrt{x+3}\)

Il faut : \[ x+3\ge0 \] \[ x\ge -3 \] Donc : \[ \boxed{D_h=[-3 ; +\infty[} \]

4) \(u(x)=\dfrac{1}{2x+6}\)

Il faut : \[ 2x+6\ne0 \] \[ 2x\ne -6 \] \[ x\ne -3 \] Donc : \[ \boxed{D_u=\mathbb R\setminus\{-3\}} \]

5) \(v(x)=\sqrt{5-2x}\)

Il faut : \[ 5-2x\ge0 \] \[ -2x\ge -5 \] En divisant par \(-2\), on inverse le sens : \[ x\le \frac52 \] Donc : \[ \boxed{D_v=]-\infty ; \frac52]} \]

1) Images

\[ f(-3)=(-3)^2-4=9-4=5 \] \[ f(0)=0^2-4=-4 \] \[ f(2)=2^2-4=4-4=0 \]

2) Résoudre \(f(x)=0\)

\[ x^2-4=0 \] \[ (x-2)(x+2)=0 \] Donc : \[ x=2\quad\text{ou}\quad x=-2 \] Les antécédents de 0 sont \(-2\) et \(2\).

3) Résoudre \(f(x)=5\)

\[ x^2-4=5 \] \[ x^2=9 \] \[ x=-3\quad\text{ou}\quad x=3 \] Les antécédents de 5 sont \(-3\) et \(3\).

4) Résoudre \(f(x)<0\)

\[ x^2-4<0 \] \[ (x-2)(x+2)<0 \] Le produit est strictement négatif entre les racines \(-2\) et \(2\).
Donc : \[ \boxed{x\in]-2 ; 2[} \]

1) Comparer \(f(-5)\) et \(f(-2)\)

\[ f(-5)=25 \] \[ f(-2)=4 \] Donc : \[ f(-5)>f(-2) \] Même si \(-5<-2\), l’image est plus grande : sur les négatifs, la fonction carré est décroissante.

2) Comparer \(f(1)\) et \(f(4)\)

\[ f(1)=1 \] \[ f(4)=16 \] Donc : \[ f(1)

3) Pourquoi pas croissante sur \(\mathbb R\) ?

Une fonction croissante devrait conserver l’ordre : si \(a Or : \[ -5<-2 \] mais : \[ f(-5)=25>4=f(-2) \] Donc la fonction carré n’est pas croissante sur \(\mathbb R\).

4) Résoudre \(x^2\le9\)

\[ x^2\le9 \] revient à : \[ -3\le x\le3 \] Donc : \[ \boxed{x\in[-3 ; 3]} \]

1) Domaine

Le dénominateur ne doit pas être nul, donc : \[ \boxed{D_f=\mathbb R\setminus\{0\}} \]

2) Images

\[ f(-4)=\frac1{-4}=-\frac14 \] \[ f\left(\frac12\right)=\frac{1}{\frac12}=2 \] \[ f(5)=\frac15 \]

3) Résoudre \(f(x)=2\)

\[ \frac1x=2 \] Comme \(x\ne0\), on multiplie par \(x\) : \[ 1=2x \] \[ x=\frac12 \] Donc l’antécédent de 2 est \(\dfrac12\).

4) Résoudre \(f(x)<0\)

\[ \frac1x<0 \] Comme le numérateur \(1\) est positif, le quotient est négatif lorsque le dénominateur est négatif : \[ x<0 \] Donc : \[ \boxed{x\in]-\infty ; 0[} \]

1) Comparer \(f(2)\) et \(f(5)\)

\[ f(2)=\frac12 \] \[ f(5)=\frac15 \] Comme \(\frac12>\frac15\), on a : \[ f(2)>f(5) \] Cela confirme que la fonction inverse est décroissante sur \(]0 ; +\infty[\).

2) Comparer \(f(-4)\) et \(f(-1)\)

\[ f(-4)=-\frac14 \] \[ f(-1)=-1 \] Or : \[ -\frac14>-1 \] Donc : \[ f(-4)>f(-1) \] Sur \(]-\infty ; 0[\), la fonction inverse est aussi décroissante.

3) Pourquoi pas décroissante sur \(\mathbb R\) ?

Elle n’est pas définie en \(0\). Son domaine est séparé en deux intervalles : \[ ]-\infty ; 0[\quad\text{et}\quad]0 ; +\infty[ \] On étudie donc ses variations sur chacun de ces intervalles, mais pas sur tout \(\mathbb R\).

4) Résoudre \(\dfrac1x\ge\dfrac12\)

On travaille avec \(x\ne0\). On ramène tout à gauche : \[ \frac1x-\frac12\ge0 \] \[ \frac{2-x}{2x}\ge0 \] Le facteur \(2\) est positif, donc on étudie : \[ \frac{2-x}{x}\ge0 \] Les valeurs importantes sont \(x=0\) (interdit) et \(x=2\) (zéro du numérateur).

On cherche \(\ge0\), donc : \[ \boxed{x\in]0 ; 2]} \]

1) Domaine

Il faut \(x\ge0\). Donc : \[ \boxed{D_f=[0 ; +\infty[} \]

2) Images

\[ f(0)=\sqrt0=0 \] \[ f(9)=\sqrt9=3 \] \[ f\left(\frac14\right)=\sqrt{\frac14}=\frac12 \]

3) Résoudre \(f(x)=4\)

\[ \sqrt{x}=4 \] En élevant au carré : \[ x=16 \] Donc l’antécédent de 4 est \(16\).

4) Résoudre \(f(x)<3\)

On cherche : \[ \sqrt{x}<3 \] Comme \(x\ge0\), on obtient : \[ 0\le x<9 \] Donc : \[ \boxed{x\in[0 ; 9[} \]

1) Résoudre \(f(x)=g(x)\)

\[ x^2=2x+3 \] \[ x^2-2x-3=0 \] On factorise : \[ x^2-2x-3=(x-3)(x+1) \] Donc : \[ (x-3)(x+1)=0 \] \[ x=3\quad\text{ou}\quad x=-1 \]

2) Résoudre \(f(x)>g(x)\)

On résout : \[ x^2>2x+3 \] \[ x^2-2x-3>0 \] \[ (x-3)(x+1)>0 \] Le produit est positif à l’extérieur des racines \(-1\) et \(3\). Donc : \[ \boxed{x\in]-\infty ; -1[\cup]3 ; +\infty[} \]

3) Points d’intersection

Pour \(x=3\) : \[ y=g(3)=2\times3+3=9 \] Pour \(x=-1\) : \[ y=g(-1)=2\times(-1)+3=1 \] Les points d’intersection sont : \[ \boxed{(3 ; 9)\text{ et }(-1 ; 1)} \]

1) Résoudre \(f(x)=g(x)\)

\[ \frac1x=x \] Comme \(x\ne0\), on multiplie par \(x\) : \[ 1=x^2 \] \[ x^2=1 \] Donc : \[ x=-1\quad\text{ou}\quad x=1 \]

2) Résoudre \(f(x)>g(x)\)

\[ \frac1x>x \] \[ \frac1x-x>0 \] \[ \frac{1-x^2}{x}>0 \] On factorise : \[ 1-x^2=(1-x)(1+x) \] On étudie donc : \[ \frac{(1-x)(1+x)}{x}>0 \] Les valeurs importantes sont \(-1\), \(0\) et \(1\).

On cherche strictement positif, donc : \[ \boxed{x\in]-\infty ; -1[\cup]0 ; 1[} \]

3) Interprétation graphique

Les solutions de \(f(x)=g(x)\) sont les abscisses des points d’intersection des courbes. Ici : \[ x=-1\quad\text{et}\quad x=1 \] Les points sont : \[ (-1 ; -1)\quad\text{et}\quad(1 ; 1) \]

1) Domaine commun d’étude

La fonction \(\sqrt{x}\) impose : \[ x\ge0 \] La fonction affine \(x-2\) est définie sur \(\mathbb R\).
Le domaine commun est donc : \[ [0 ; +\infty[ \]

2) Résoudre \(\sqrt{x}=x-2\)

Comme \(\sqrt{x}\ge0\), il faut que : \[ x-2\ge0 \] donc : \[ x\ge2 \] On peut alors élever au carré : \[ \sqrt{x}=x-2 \] \[ x=(x-2)^2 \] \[ x=x^2-4x+4 \] \[ 0=x^2-5x+4 \] On factorise : \[ x^2-5x+4=(x-1)(x-4) \] Donc : \[ x=1\quad\text{ou}\quad x=4 \]

3) Vérification

On avait la condition \(x\ge2\). Donc \(x=1\) est à refuser.
On vérifie \(x=4\) : \[ \sqrt4=2 \] \[ 4-2=2 \] Donc \(x=4\) convient.
Conclusion : \[ \boxed{x=4} \]

1) Valeurs possibles de \(x\)

Le côté vaut \(x+2\). Il doit être strictement positif : \[ x+2>0 \] \[ x>-2 \] Donc : \[ x\in]-2 ; +\infty[ \]

2) Aire

\[ A(x)=(x+2)^2 \]

3) Résoudre \(A(x)=49\)

\[ (x+2)^2=49 \] Donc : \[ x+2=7\quad\text{ou}\quad x+2=-7 \] \[ x=5\quad\text{ou}\quad x=-9 \] Mais \(x>-2\), donc \(x=-9\) est refusé.
Conclusion : \[ \boxed{x=5} \]

4) Résoudre \(A(x)<25\)

\[ (x+2)^2<25 \] \[ -5-2\).
Intersection : \[ ]-7 ; 3[\cap]-2 ; +\infty[=]-2 ; 3[ \] Donc : \[ \boxed{x\in]-2 ; 3[} \]

1) Domaine commun

\(x^2\) et \(2x\) sont définies sur \(\mathbb R\), mais \(\sqrt{x}\) impose \(x\ge0\).
Donc le domaine commun est : \[ \boxed{[0 ; +\infty[} \]

2) Résoudre \(f(x)=g(x)\)

\[ x^2=2x \] \[ x^2-2x=0 \] \[ x(x-2)=0 \] Donc : \[ x=0\quad\text{ou}\quad x=2 \] Les deux valeurs appartiennent au domaine commun.

3) Résoudre \(g(x)=h(x)\)

\[ 2x=\sqrt{x} \] Comme \(x\ge0\), les deux membres sont définis. On élève au carré : \[ 4x^2=x \] \[ 4x^2-x=0 \] \[ x(4x-1)=0 \] Donc : \[ x=0\quad\text{ou}\quad x=\frac14 \] Vérification :
Pour \(x=0\), \(2x=0\) et \(\sqrt{x}=0\), donc ça convient.
Pour \(x=\frac14\), \(2x=\frac12\) et \(\sqrt{\frac14}=\frac12\), donc ça convient.

4) Comparer \(f(x)\) et \(g(x)\) sur \([0 ; +\infty[\)

On étudie : \[ f(x)-g(x)=x^2-2x \] \[ x^2-2x=x(x-2) \] Sur \([0 ; +\infty[\), les valeurs importantes sont \(0\) et \(2\).
Le produit \(x(x-2)\) est :

• nul pour \(x=0\) et \(x=2\),
• négatif sur \(]0 ; 2[\),
• positif sur \(]2 ; +\infty[\).

• \(f(x)=g(x)\) pour \(x=0\) ou \(x=2\),
• \(f(x)
• \(f(x)>g(x)\) pour \(x\in]2 ; +\infty[\).

1) Coefficient directeur

On utilise : \[ m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \] Avec \(A(-2 ; 7)\) et \(B(4 ; -5)\) : \[ m=\frac{-5-7}{4-(-2)}=\frac{-12}{6}=-2 \]

2) Expression de \(f\)

Donc \(f(x)=-2x+p\).
Comme \(A(-2 ; 7)\) appartient à la droite : \[ f(-2)=7 \] \[ -2\times(-2)+p=7 \] \[ 4+p=7 \] \[ p=3 \] Donc : \[ \boxed{f(x)=-2x+3} \]

3) Antécédent de 1

On résout : \[ -2x+3=1 \] \[ -2x=-2 \] \[ x=1 \] L’antécédent de 1 est \(1\).

4) Résoudre \(f(x)>0\)

\[ -2x+3>0 \] \[ -2x>-3 \] En divisant par \(-2\), on inverse le sens : \[ x<\frac32 \] Donc : \[ \boxed{x\in]-\infty ; \frac32[} \]

1) Tableau de variations

On résume les informations : \[ f(-4)=-2,\quad f(-1)=5,\quad f(3)=-3,\quad f(6)=1 \] La fonction monte de \(-2\) à \(5\), descend de \(5\) à \(-3\), puis remonte de \(-3\) à \(1\).

2) Maximum

La plus grande valeur indiquée est \(5\), atteinte pour \(x=-1\).
Donc le maximum connu est : \[ \boxed{5} \]

3) Minimum

La plus petite valeur indiquée est \(-3\), atteinte pour \(x=3\).
Donc le minimum connu est : \[ \boxed{-3} \]

4) Solutions de \(f(x)=0\)

Sur \([-4 ; -1]\), la fonction passe de \(-2\) à \(5\), donc elle coupe au moins une fois le niveau 0.
Sur \([-1 ; 3]\), elle passe de \(5\) à \(-3\), donc elle coupe au moins une fois le niveau 0.
Sur \([3 ; 6]\), elle passe de \(-3\) à \(1\), donc elle coupe au moins une fois le niveau 0.
Il y a donc au minimum : \[ \boxed{3\text{ solutions}} \]

1) Forme canonique simple

On reconnaît : \[ x^2-6x+9=x^2-2\times x\times3+3^2 \] Donc : \[ \boxed{f(x)=(x-3)^2} \]

2) Images

\[ f(1)=(1-3)^2=(-2)^2=4 \] \[ f(5)=(5-3)^2=2^2=4 \] Donc : \[ \boxed{f(1)=f(5)=4} \]

3) Explication

Les nombres 1 et 5 sont symétriques par rapport à 3 : \[ 3-1=2\quad\text{et}\quad 5-3=2 \] Ils sont à la même distance de 3. Comme \(f(x)=(x-3)^2\), leurs images sont égales.

4) Minimum

Un carré est toujours positif ou nul : \[ (x-3)^2\ge0 \] Il vaut 0 lorsque : \[ x-3=0\Rightarrow x=3 \] Donc le minimum de \(f\) est : \[ \boxed{0\text{ atteint pour }x=3} \]

1) Domaine

Une aire est positive ou nulle, donc : \[ \boxed{D_c=[0 ; +\infty[} \]

2) Calculs

\[ c(16)=\sqrt{16}=4 \] \[ c(2{,}25)=\sqrt{2{,}25}=1{,}5 \] \[ c\left(\frac{49}{4}\right)=\sqrt{\frac{49}{4}}=\frac72 \]

3) Résoudre \(c(A)>5\)

\[ \sqrt{A}>5 \] Comme \(A\ge0\), on peut élever au carré : \[ A>25 \] Donc : \[ \boxed{A\in]25 ; +\infty[} \]

4) Interprétation

Le côté du carré est supérieur à 5 cm exactement lorsque son aire est strictement supérieure à \(25\) cm².

1) Calculs pour 3 heures

\[ A(3)=4\times3+6=18 \] \[ B(3)=2\times3+18=24 \] Pour 3 heures, l’offre A coûte 18 €, l’offre B coûte 24 €.

2) Résoudre \(A(x)=B(x)\)

\[ 4x+6=2x+18 \] \[ 2x=12 \] \[ x=6 \] Les deux offres coûtent le même prix pour 6 heures.

3) Résoudre \(A(x)